高三数学一轮复习 8.3圆的方程课件.ppt

备考方向要明了 考什么 怎么考 1 掌握确定圆的几何要素 2 掌握圆的标准方程与一般方程 圆的方程 圆心坐标 半径 圆的性质等是高考考查圆的基础知识时最常涉及的要素 大多以填空题的形式考查 有时也会穿插在解答题中 如2012年高考t12 归纳知识整合 1 圆的定义 1 在平面内 到的距离等于的点的轨迹叫做圆 2 确定一个圆的要素是和 定点 定长 圆心 半径 2 圆的方程 1 标准方程 两个条件 圆心 a b 标准方程 x a 2 y b 2 r2 半径r 2 圆的一般方程 一般方程 x2 y2 dx ey f 0 方程表示圆的充要条件为 圆心坐标 半径r d2 e2 4f 0 探究 1 方程x2 y2 dx ey f 0一定表示圆吗 提示 不一定 只有当d2 e2 4f 0时 上述方程才表示圆 2 如何实现圆的一般方程与标准方程的互化 提示 一般方程与标准方程互化 可用下图表示 3 点与圆的位置关系 1 理论依据 与的距离与半径的大小关系 2 三个结论圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 点在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆外 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆内 点 圆心 x0 a 2 y0 b 2 r2 自测牛刀小试 1 教材习题改编 圆x2 y2 4x 6y 0的圆心坐标是 解析 圆的方程可化为 x 2 2 y 3 2 13 所以圆心坐标是 2 3 答案 2 3 2 2013 宿迁模拟 已知方程x2 y2 2kx 4y 3k 8 0表示一个圆 则实数k的取值范围是 解析 由 2k 2 42 4 3k 8 4 k2 3k 4 0 解得k4 答案 k4 答案 1 a 1 3 若点 2a a 1 在圆x2 y 1 2 5的内部 则a的取值范围是 解析 点 2a a 1 在圆x2 y 1 2 5的内部 2a 2 a2 5 解得 1 a 1 4 以线段ab x y 2 0 0 x 2 为直径的圆的方程为 答案 x 1 2 y 1 2 2 5 教材习题改编 经过圆 x 1 2 y 1 2 2的圆心 且与直线2x y 0垂直的直线方程是 答案 x 2y 3 0 求圆的方程 例1 1 经过点a 5 2 b 3 2 且圆心在直线2x y 3 0上的圆的方程为 2 已知圆c的圆心是直线x y 1 0与x轴的交点 且圆c与直线x y 3 0相切 则圆c的方程为 答案 1 x2 y2 4x 2y 5 0 或 x 2 2 y 1 2 10 2 x 1 2 y2 2 求圆的方程的两种方法求圆的方程时 应根据条件选用合适的圆的方程 一般来说 求圆的方程有两种方法 几何法 通过研究圆的性质进而求出圆的基本量 代数法 即设出圆的方程 用待定系数法求解 若条件中圆心坐标明确时 常设为圆的标准方程 不明确时 常设为一般方程 1 求下列圆的方程 1 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 2 过三点a 1 12 b 7 10 c 9 2 与圆有关的最值问题 例2 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 求 2 y x的最大值和最小值 3 x2 y2的最大值和最小值 保持本例条件不变 求点p x y 到直线3x 4y 12 0的距离的最大值和最小值 与圆有关的最值问题及解决方法 2 形如t ax by型的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 3 形如 x a 2 y b 2型的最值问题 可转化为动点到定点的距离的最值问题 与圆有关的轨迹问题 例3 已知圆x2 y2 4上一定点a 2 0 b 1 1 为圆内一点 p q为圆上的动点 1 求线段ap中点的轨迹方程 2 若 pbq 90 求线段pq中点的轨迹方程 自主解答 1 设ap的中点为m x y 由中点坐标公式可知 p点坐标为 2x 2 2y 因为p点在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段ap中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 2 设pq的中点为n x y 在rt pbq中 pn bn 设o为坐标原点 连接on 则on pq 所以 op 2 on 2 pn 2 on 2 bn 2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段pq中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 求轨迹方程的一般步骤 1 建系设点 建立平面直角坐标系 设动点坐标为 x y 2 列式 列出几何等式 3 坐标化 用坐标表示得到方程 4 化简 化简几何等式得到的方程 5 证明作答 除去不合题意的点 作答 3 如图 已知点a 1 0 与点b 1 0 c是圆x2 y2 1上的动点 连接bc并延长至d 使得 cd bc 求ac与od的交点p的轨迹方程 1 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 2 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 在解决与圆有关的问题时 借助于圆的几何性质 往往会使得思路简洁明了 简化思路 简便运算 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在任意一弦的垂直平分线上 3 两圆相切时 切点与两圆圆心共线 创新交汇 高考中与圆有关的交汇问题 1 近年来高考对圆锥曲线的要求相对降低 因此圆的相关问题成了高考命题的一个新热点 圆的性质使其具有很强的交汇性 对圆的考查可以与集合 直线 向量 三角函数 不等式 线性规划等知识交汇命题 2 对于这类问题 要特别注意圆的定义及其性质的运用 同时要有丰富的相关知识储备 解题时只有做到平心静气地认真研究 不断寻求解决问题的方法和技巧 才能真正把握好问题 1 本题有以下创新点 1 考查形式的创新 以集合的形式给出了几何图形 虽然两几何图形常见但不落俗套 2 考查内容的创新 本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式 而是借助于参数考查直线与圆 直线与圆环的位置关系 同时也考查了分类讨论思想 2 解决本题的关键有以下两点 1 弄清集合代表的几何意义 2 结合直线与圆的位置关系求得m的取值范围 3 解决直线和圆位置关系问题要注意以下几点 1 根据题设条件 合理选择利用代数方法还是几何方法判断其位置关系 2 凡是涉及参数的问题 一定要注意参数的变化对位置关系的影响 以便确定是否分类讨论 1 若直线l ax by 4 0 a 0 b 0 始终平分圆c x2 y2 8x 2y 1 0 则ab的最大值是 答案 1 1 2012 西安模拟 一动圆与两圆x2 y2 1和x2 y2 8x 12 0都外切 则动圆圆心的轨迹为 解析 设圆x2 y2 1的圆心为o 0 0 圆x2 y2 8x 12 0的圆心为o1 4 0 o 为动圆的圆心 r为动圆的半径 则 o o1 o o r 2 r 1 1 由双曲线的定义知 动圆圆心的轨