一元一次方程应用题(精选拔高-题型全-含详细答案-可编辑) (1)

初中数学同步课程 一元一次方程 1 13 一元一次方程的应用 1 列方程解应用题的基本步骤和方法 列方程解应用题的基本步骤和方法 步骤要求注意事项 审题 读懂题目 弄清题意 找出能够表 示应用题全部含义的相等关系 审题是分析解题的过程 解答过程中不 用体现出来 设元 设未知数 把各个量用含未知数的代数式表 示出来 设未知数一般是问什么 就直接设什 么为 x 即直接设元 直接设元有困难时 可以间接设元 列方程根据等量关系列出方程避免列出恒等式 解方程 解这个方程 求出未知数的值如果是间接设元 求出的未知数还需要 利用其他算式得到所求的量 检验 把方程的解代入方程检验 或根据 实际问题进行检验 列一元一次方程解应用题检验的步骤在 解答过程中不用写出来 方程的解要符合实际问题 作答写出答案 作出结论 这一步在列方程解应用题中必不可少 是一种规范要求 注意 1 初中列方程解应用题时 怎么列简单就怎么列怎么列简单就怎么列 即所列的每一个方程都直接的表示题意 不用 担心未知数过多 简化审题和列方程的步骤 把难度转移到解方程的步骤上 2 解方程的步骤不用写出 直接写结果即可 3 设未知数时 要标明单位 在列方程时 如果题中数据的单位不统一 必须把单位换算成统一 单位 尤其是行程问题里需要注意这个问题 2 设未知数的方法 设未知数的方法 设未知数的方法一般来讲 有以下几种 1 直接设元 题目里要求的未知量是什么 就把它设为未知数 多适用于要求的未知数只有一 个的情况 2 间接设元 有些应用题 若直接设未知数很难列出方程 或者所列的方程比较复杂 可以选 择间接设未知数 而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用 3 辅助设元 有些应用题不仅要直接设未知数 而且要增加辅助未知数 但这些辅助未知数本 身并不需要求出 它们的作用只是为了帮助列方程 同时为了求出真正的未知量 可以在解题时消去 4 部分设元 与 整体设元 转换 当整体设元有困难时 可以考虑设其一部分为未知数 反之 亦然 如 数字问题 初中数学同步课程 一元一次方程 2 13 模块一 数字问题 1 多位数字的表示方法 一个两位数的十位数字 个位数字分别为 a b 其中 a b 均为整数 则这个19a 09b 两位数可以表示为 10ab 一个三位数的百位数字为 a 十位数字为 b 个位数字为 c 其中均为整数 且 19a 09b 则这个三位数表示为 09c 10010abc 2 奇数与偶数的表示方法 偶数可表示为 2k 奇数可表示为 其中 k 表示整数 21k 3 三个相邻的整数的表示方法 可设中间一个整数为 a 则这三个相邻的整数可表示 为 1 1aa a 例 1 一次数学测验中 小明认为自己可以得满分 不料卷子发下来一看得了 96 分 原来是由于粗心 把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了 结果自己的答案比正确答案大了 36 而正确答案的 个位数字是十位数字的 2 倍 正确答案是多少 解析 此题中数据 96 与列方程无关 与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量 设正确答案的十位数字为 则个位数字为 x2x 依题意 得 解之得 102 102 36xxxx 4x 于是 所以正确答案应为 48 28x 答案 48 例 2 某年份的号码是一个四位数 它的千位数字是 2 如果把 2 移到个位上去 那么所得的新四位数 比原四位数的 2 倍少 6 求这个年份 解析 设这个年份的百位数字 十位数字 个位数字组成的三位数为 x 则这个四位数字可以表示为 根据题意可列方程 解得2 1000 x 1022 2 10006xx 499x 答案 2499 年 例 3 有一个四位数 它的个位数字是 8 如果将个位数字 8 调到千位上 则这个数就增加 117 求这 个四位数 解析 设由原数中的千位数字 百位数字和十位数字组成的三位数为x 则这个四位数可以表示为 则调换后的新数可以表示为 根据题意可列方程 解得108x 8000 x 1088000117xx 所以这个四位数为 8758875x 答案 8758 初中数学同步课程 一元一次方程 3 13 例 4 五一放假 小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游 他们在公路上匀速行驶 下表是小明每隔 1 小时看到的路边里程碑上数的信息 你能确定小明在 7 00 时看到的里程碑上的数是多少吗 解析 设小明在 7 00 时看到的两位数的十位数字是x 则个位数字是 根据题意可列方程 7x 解得 所以 100710 710 71007xxxxxxxx 1x 76x 答案 小明在 7 00 时看到的两位数是 16 模块二 日历问题 1 在日历问题中 横行相邻两数相差 1 竖列相邻两数相差 7 2 日历中一个竖列上相邻 3 个数的和的最小值时 24 最大值时 72 且这个和一定是 3 的倍数 3 一年中 每月的天数是有规律的 一 三 五 七 八 十 十二这七个月每月都是 31 天 四 六 九 十一这四个月每月都是 30 天 二月平年 28 天 闰年 29 天 所以 日历表中日期的取 值是有范围的 例 5 下表是 2011 年 12 月的日历表 请解答问题 在表中用形如下图的平行四边形框框出 4 个数 1 若框出的 4 个数的和为 74 请你通过列方程的办法 求出它分别是哪 4 天 2 框出的 4 个数的和可能是 26 吗 为什么 解析 1 设第一个数是x 则根据平行四边形框框出 4 个数得其他 3 天可分别表示为 1x 6x 7x 根据题意可列方程 解得 16774xxxx 15x 所以它分别是 15 16 21 22 2 设第一个数为x 则 本月 3 号是周六 由平行四边形框框出 4 个数 41426x 3x 时间里程碑上数的特征 7 00是一个两位数 它的个位数字与十位数字之和是 7 8 00十位数字和个位数字与 7 00 时所看到的正好颠倒了 9 00比 7 00 时看到的两位数中间多一个 0 初中数学同步课程 一元一次方程 4 13 得出结论 无法构成平行四边形 答案 1 15 16 21 22 2 无法构成平行四边形 例 6 如图 框内的四个数字的和为 28 请通过平移长方形框的方法 使框内的数字之和为 68 这样 的长方形的位置有几个 能否使框内的四个数字之和为 49 若能 请找出这样的位置 若不能 请说明理由 解析 1 设四个数字是 a 根据题意可列方程 1a 7a 8a 解得 则平移后的四个数是 13 14 20 21 17868aaaa 13a 2 设四个数字是 x 则 不合题意 舍去 1x 7x 8x 41649x 33 4 x 答案 平移后的四个数是 13 14 20 21 这样的长方形的位置只有 1 个 不存在能使四个数字的和为 49 的长方形 例 7 把 2012 个正整数 1 2 3 4 2012 按如图方式排列成一个表 1 用如图方式框住表中任意 4 个数 记左上角的一个数为 x 则另三个数用含 x 的式子表示出 来 从小到大依次是 2 由 1 中能否框住这样的 4 个数 它们的和会等于 244 吗 若能 则求出 x 的值 若不能 则说明理由 解析 1 记左上角的一个数为x 另三个数用含x的式子表示为 8x 16x 24x 2 不能 假设能够框住这样的 4 个数 则 解得 81624244xxxx 49x 49 是第七行最后一个数 不可以用如图方式框住 答案 1 2 不能 8x 16x 24x 模块三 和差倍分问题 初中数学同步课程 一元一次方程 5 13 和 差 倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几 1 当较大量是较小量的几倍多几时 较大量较小量倍数 多余量 2 当较大量是较小量的几倍少几时 较大量较小量倍数 所少量 例 8 一部拖拉机耕一片地 第一天耕了这片地的 第二天耕了剩下部分的 还剩下 42 公顷没耕 2 3 1 3 完 则这片地共有多少公顷 解析 设这片地共有 x 公顷 第一天耕了这片地的 则耕地公顷 第二天耕了剩下部分的 则 2 3 2 3 x 1 3 第二天耕地 公顷 根据题意可列方程 解得 121 1 339 xx 21 42 39 xxx 189x 答案 189 例 9 牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方 一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来 他对 牧羊人说 你赶的这群羊大概有 100 只吧 牧羊人答道 如果这群羊增加一倍 再加上原来 这群羊的一半 又加上原来这群羊一半的一半 连你这只羊也算进去 才刚好凑满 100 只 问 牧羊人的这群羊共有多少只 解析 设这群羊共有只 根据题意可列方程 解得 x 11 21100 24 xxx 36x 答案 36 例 10 有粗细不同的两支蜡烛 细蜡烛之长时粗蜡烛之长的倍 细蜡烛点完需 小时 粗蜡烛点21 完需小时 有一次停电 将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃 来电时 发现两支蜡烛所剩2 的长度一样 问停电的时间有多长 解析 设停电时间为小时 粗蜡烛长 米 则细蜡烛长米 那么细蜡烛每小时点燃米 粗蜡烛没xl2l2l 小时点燃米 根据题意可列方程 解得 2 l 22 2 l ll xlx 2 3 x 答案 停电时间为小时 2 3 例 11 2006 年我市在全国率先成为大面积实施 三免一补 的州市 据悉 2010 年我市筹措农村 义务教育经费与 三免一补 专项资金 3 6 亿元 由中央 省 市 县 区 四级共同投入 其 中 中央投入的资金约 2 98 亿元 市级投入的资金分别是县 区 级 省级投入资金的 1 5 倍 18 倍 且 2010 年此项资金比 2009 年增加 1 69 亿元 1 2009 年我市筹措农村义务教育经费与 三免一补 专项资金多少亿元 2 2010 年省 市 县 区 各级投入的农村义务教育经费与 三免一补 专项资金各多少亿 元 3 如果按 2009 2010 年筹措此项资金的年平均增长率计算 预计 2011 年 我市大约需要筹措 农村义务教育经费与 三免一补 专项资金多少亿元 结果保留一位小数 解析 1 亿元 3 61 1 691 91 初中数学同步课程 一元一次方程 6 13 2 设市级投入 x 亿元 则县级投入亿元 省级投入亿元 2 3 x 1 18 x 由题意得 解得 所以 亿元 亿元 21 2 983 6 318 xx 0 36x 2 0 24 3 x 1 0 02 18 x 3 亿元 1 69 3 616 8 1 91 答案 1 1 91 亿元 2 省 市 县分别投入 0 02 亿元 0 36 亿元 0 24 亿元 3 6 8 亿元 模块四 行程问题 一 一 行程问题 路程 速度 时间相遇路程 速度和 相遇时间追及路程 速度差 追及时间 二 二 流水行船问题 顺流速度 静水速度 水流速度逆流速度 静水速度 水流速度 水流速度 顺流速度 逆流速度 1 2 三 三 火车过桥问题 火车过桥问题是一种特殊的行程问题 需要注意从车头至桥起 到车尾离桥止 火车所行距离等于桥 长加上车长 列车过桥问题的基本数量关系为 车速 过桥时间 车长 桥长 例 12 有甲 乙 丙三人同时同地出发 绕一个花圃行走 乙 丙二人同方向行走 甲与乙 丙背 向而行 甲每分钟走 40 米 乙每分钟走 38 米 丙每分钟走 36 米 出发后 甲和乙相遇后 3 分 钟和丙相遇 求花圃的周长 解析 设甲 乙相遇时间为 t 分钟 则甲 丙相遇时间为分钟 根据题意 由相遇路程相等可列 3t 方程 383634036t 答案 8892 米 例 13 某人从家里骑摩托车到火车站 如果每小时行 30 千米 那么比火车开车时间早到 15 分钟 若每小时行 18 千米 则比火车开车时间迟到 15 分钟 现在此人打算在火车开车前 10 分钟到达 火车站 则此人此时骑摩托车的速度应为多少 解析 设此人从家里出发到火车开车的时间为小时 x 根据题意可列方程 解得 1515 30 18 6060 xx 1x 此人打算在火车开车前 10 分钟到达 骑摩托车的速度应为 千米 时 15 30 1 60 27 10 1 60 答案 27 初中数学同步课程 一元一次方程 7 13 例 14 甲 乙两车同时从 A B 两地出发 相向而行 在 A B 两地之间不断往返行驶 甲车到达 B 地后 在 B 地停留了 2 个小时 然后返回 A 地 乙车到达 A 地后 马上返回 B 地 两车在返回 的途中又相遇了 相遇的地点距离 B 地 288 千米 已知甲车的速度是每小时 60 千米 乙车的速 度是每小时 40 千米 请问 A B 两地相距多少千米 解析 设 A B 两地相距 x 千米 根据题意可列方程 解得 2288288 2 4060 xx 420 x 答案 420 千米 例 15 某人骑自行车从 A 地先以每小时 12 千米的速度下坡后 再以每小时 9 千米的速度走平路到 B 地 共用了 55 分钟 回来时 他以每小时 8 千米的速度通过平路后 再以每小时 4 千米的速 度上坡 从 B 地到 A 地共用小时 问 A B 两地相距多少千米 1 1 2 解析 间接设未知数 设从 A 地到 B 地共用 x 小时 根据题意可列方程 解得 所以 A B 两地相距 千米 553 1293438 602 tttt 1 4 t 55 1299 60 tt 答案 9 千米 例 16 一人步行从甲地去乙地 第一天行若干千米 自第二天起 每一天都比前一天多走同样的路 程 这样 10 天可以到达乙地 如果每天都以第一天所行的相同路程步行 用 15 天才能到达乙地 如果每天都以第一种走法的最后一天所行的路程步行到乙地 需要几天 解析 设 a 是第一次第一天走的路程 b 是第二天起每天多走的路程 x 是所求的天数 则根据题意可列方程 1523456789aaababababababababab 解得 9ab 又 解得 159ax ab 7 5x 答案 7 5 天 例 17 一只小船从甲港到乙港逆流航行需 2 小时 水流速度增加一倍后 再从甲港到乙港航行需 3 小时 水流速度增加后 从乙港返回甲港需航行多少小时 解析 设小船在静水中的速度为 原来的水速为 则 解得 故所求时间ab2 3 2 abab 4ab 为 小时 2 1 2 ab ab 答案 1 初中数学同步课程 一元一次方程 8 13 例 18 一个人乘木筏在河面顺流而下 漂到一座桥下时此人想锻炼一下身体 便跳入水中逆水游泳 10 分钟后转身追赶木筏 终于在离桥 1500 米远的地方追上木筏 假设水流速度及此人游泳的速 度都一直不变 那么水流速度为多少 解析 因为向上游了分钟 所以返回追赶也要分钟 流水中的相遇时间与追及时间都与水流速度1010 无关 即水流分钟的路程为米 水流速度为 千米 时 201500 1 1 54 5 3 答案 水流速度为千米 时4 5 例 19 一小船由 A 港到 B 港顺流需行 6 小时 由 B 港到 A 港逆流需行 8 小时 一天 小船从早晨 6 点由 A 港出发顺流行至 B 港时 发现一救生圈在途中掉落在水中 立即返回 1 小时后找到救 生圈 问 1 若小船按水流速度由 A 港漂流到 B 港需多少小时 2 救生圈是何时掉入水中的 解析 1 设小船在静水中的速度为 水流速度为 则 解得 故小船按ab6 8 abab 7ab 水流速度由 A 港漂流到 B 港所需时间为 小时 6 48 ab b 2 设小船行驶小时后 救生圈掉入水中 则 将x 61 1 6 xbabx ab 代入上式 得到 故救生圈是上午 11 点掉入水中的7ab 5x 答案 485 模块五 工程问题 工作总量 工作时间 工作效率各部分工作量之和 1 例 20 有甲 乙 丙三个水管 独开甲管 5 小时可以注满一池水 甲 乙两管齐开 2 小时可注满 一池水 甲 丙两管齐开 3 小时注满一池水 现把三管一齐开 过了一段时间后甲管因故障停 开 停开后 2 小时水池注满 问三管齐开了多少小时 解析 由题意知 甲管注水效率为 甲 乙两管的注水效率之和为 甲 丙两管的注水效率之和为 1 5 1 2 设三管齐开了 x 小时 根据题意可列方程 解得 1 3 1112 21 5235 xx 4 19 x 答案 小时 4 19 例 21 检修一住宅区的自来水管道 甲单独完成需 14 天 乙单独完成需 18 天 丙单独完成需 12 天 前 7 天由甲 乙两人合作 但乙中途离开了一段时间 后 2 天由乙 丙两人合作完成 问乙 初中数学同步课程 一元一次方程 9 13 中途离开了几天 解析 设乙中途离开了 x 天 根据题意可列方程 解得 1111 7721 14181812 x 3x 答案 乙中途离开了 3 天 例 22 某中学库存若干套桌凳 准备修理后支援贫困山区学校 现有甲 乙两木工组 甲每天修桌 凳 16 套 乙每天修桌凳比甲多 8 套 甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用 20 天 学校每天付 甲组 80 元修理费 付乙组 120 元修理费 1 问该中学库存多少套桌凳 2 在修理过程中 学校要派一名工人进行质量监督 学校负担他每天 10 元生活补助费 现有 三种修理方案 由甲单独修理 由乙单独修理 甲 乙合作同时修理 你认为哪种方案省 时又省钱为什么 解析 1 设该中学库存 x 套桌凳 根据题意可列方程 解得 20 1624 xx 960 x 2 方案 所需费用 元 960 80105400 16 方案 所需费用 元 960 120105200 24 方案 所需费用 元 960 80120105040 1624 综上 方案 最省钱 答案 1 960 套 2 方案 最省钱 模块六 商品销售问题 在现实生活中 购买商品和销售商品时 经常会遇到进价 标价 售价 打折等概念 在了解这些基 本概念的基础上 还必须掌握以下几个等量关系 利润 售价 进价 1 标价进价利润率 100 利润 利润率 进价 利润 进价 利润率实际售价 标价 打折率 例 23 某商场经销一种商品 由于进货时价格比原进价降低了 使得利润增加了 8 个百分点 6 4 求经销这种商品原来的利润率 解析 设经销这种商品原来的利润率为 原进价为 根据题意可列方程 xa 解得 1 16 4 18 axax 17 x 初中数学同步课程 一元一次方程 10 13 答案 17 例 24 某商品月末的进货价为比月初的进货价降了 8 而销售价不变 这样 利润率月末比月初 高 10 问月初的利润率是多少 解析 设月初进货价为 a 元 月初利润率为 x 则月初的销售价为元 月末进货价为 1ax 元 销售价为元 根据月初销售价与月末销售价相等可列方程 18 a 18 110 ax 解得 118 110 axax 0 15x 答案 15 例 25 某公司生产一种饮料是由 A B 两种原料液按一定比例配制而成 其中 A 原料液的成本价为 15 元 千克 B 原料液的成本价为 10 元 千克 按现行价格销售每千克获得 70 的利润率 由于市 场竞争 物价上涨 A 原料液上涨 20 B 原料液上涨 10 配制后的总成本增加了 12 公司 为了拓展市场 打算再投入现总成本的 25 做广告宣传 如果要保证每千克利润不变 则此时这 种饮料的利润率是多少 解析 原料液 A 的成本价为 15 元 千克 原料液 B 的成本价为 10 元 千克 涨价后 原 A 价格上涨 20 变为 18 元 B 上涨 10 变为 11 元 总成本上涨 12 设每 100 千克成品中 二原料比例 A 占 x 千克 B 占 100 x 千克 则涨价前每 100 千克成本为 涨价后每 100 千克成本为 1510 100 xx 1811 100 xx 根据题意可列方程 解得 所以 1811 1001510 1001 12 xxxx 100 7 x 600 100 7 x 即二者的比例是 则涨价前每千克的成本为 元 销售价为元 1 6A B 156075 777 127 5 7 利润为 7 5 元 原料涨价后 每千克成本变为 12 元 成本的 25 为 3 元 保证利润为 7 5 元 则利润率为 7 512350 答案 50 模块七 方案决策问题 在实际生活中 做一件事情往往会有多种选择 这就需要从几种方案中 选择最佳方案 如网络 的使用 到不同旅行社购票等 一般都要运用方程解答 把每一种方案的结果先算出来 进行比较后 得出最佳方案 初中数学同步课程 一元一次方程 11 13 例 26 某开发商进行商铺促销 广告上写着如下条款 投资者购买商铺后 必须由开发商代为租赁 5 年 5 年期满后由开发商以比原商铺标价高 20 的 价格进行回购 投资者可在以下两种购铺方案中做出选择 方案一 投资者按商铺标价一次性付清铺款 每年可以获得的租金为商铺标价的 10 方案二 投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款 2 年后每年可以获得的租金为商铺标价的 10 但要缴纳租金的 10 作为管理费用 1 请问 投资者选择哪种购铺方案 5 年后所获得的投资收益率更高 为什么 注 100 投资收益 投资收益率 实际投资额 2 对同一标价的商铺 甲选择了购铺方案一 乙选择了购铺方案二 那么 5 年后两人获得的 收益将相差 5 万元 问 甲 乙两人各投资了多少万元 解析 1 设商铺标价为 x 万元 则 按方案一购买 则获投资收益 投资收益率为 120 110 50 7xxx 0 7 100 70 x x 按方案二购买 则获投资收益 120 0 8510 1 10 30 62xxx 投资收益率为 0 62 100 72 9 0 85 x x 所以投资者选择方案二获得的投资收益率高 2 由题意得 解得 所以甲投资了 62 5 万元 乙投资了 53 125 万元0 70 625xx 62 5x 答案 略 例 27 有一个只允许单向通过的窄道口 通常情况下 每分钟可以通过 9 人 一天王老师到达道口 时 发现由于拥挤 每分钟只能有 3 人通过道口 此时 自己前面还有 36 个人等待通过 通过 道口后 还需 7 分钟到达学校 1 若绕道而行 要 15 分钟到达学校 从节省时间考虑 王老师应选择绕道去学校还是选择通 过拥挤的道口去学校 2 若在王老师等人的维持下 几分钟后秩序恢复正常 每分钟仍有 3 人通过道口 结果王老 师比拥挤的情况下提前了 6 分钟通过道口 问维持秩序的时间是多少 解析 1 王老师通过道口去学校 需要 故从节省时间角度考虑 他应选择绕道去学 36 71915 3 校 2 设维持秩序时间为 x 分 则维持秩序这段时间内过道口的有 3x 人 维持好秩序后过道口的有 人 根据题意可列方程 解得 363x 36363 6 39 x x 3x 答案 1 从节省时间角度考虑 王老师应选择绕道去学校 2 维持秩序的时间是 3 分钟 例 28 老师带着两名学生到离学校千米远的博物馆参观 老师乘一辆摩托车 速度为千米 3325 初中数学同步课程 一元一次方程 12 13 小时 这辆摩托车后座可带乘一名学生 带人后速度为千米 小时 学生步行的速度为千米205 小时 请你设计一种方案 使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过 小时 3 解析 设学生为甲 乙二人 乙先步行 老师带甲乘摩托车行驶一定路程后 让甲步行 老师返回接乙 然后老师搭乘乙 与步行的甲同时到达博物馆 设老师带甲乘摩托车行驶了千米 则用时小时 比乙多行了 这时老x 20 x 3 205 204 x x 千米 师让甲步行前进 而自己返回接乙 遇到乙时 用了 乙遇到老师时 3 255 440 x x 小时 已经步行了 离博物馆还有 要使师生三人能同时到达博 3 5 20408 xx x 千米 3 33 8 x 千米 物馆 甲 乙二人搭乘摩托车的路程应相同 则有 解得 即甲先乘摩托车 24 3 33 8 xx 24x 千米 用时 1 2 小时 再步行 9 千米 用时 1 8 小时 共计 3 小时 因此 上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过 3 个小时 答案 略 模块八 配套问题 配套 型应用题中有三组数据 1 车间工人的人数 2 每人每天平均能生产的不同的零 件数 3 不同零件的配套比 利用 1 3 得到等量关系 构造方程 一般地说 2 3 两个数据可以预先给定 例如 在给出 2 3 两组数据的基础上 如 何确定车间工人人数