2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题六 第二讲圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题.docx

教学资料范本2020版高三数学二轮复习（全国理）讲义：专题六 第二讲圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题编 辑：_时 间：_高考考点考点解读圆锥曲线的定义、标准方程与性质1.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线的渐近线方程2考查圆锥曲线的定义、性质直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题1.位置关系的判定2几何或代数关系式的证明圆锥曲线中的最值(范围)及与弦有关的问题1.考查弦长问题2求直线的方程或圆锥曲线的方程备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：(1)掌握求圆锥曲线标准方程、离心率的方法(2)会利用圆锥曲线的性质解决相关问题(3)掌握根据直线与圆锥曲线的位置关系求弦长或面积的方法(4)会解决直线与圆锥曲线相交产生的与弦有关的问题及最值问题预测2020年命题热点为：(1)根据圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程、离心率或离心率的范围(2)直线与圆锥曲线位置关系有关的计算、证明、最值、轨迹问题Z 1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0.b0)的渐近线方程为yx；焦点坐标F1(c,0).F2(c,0).双曲线1(a0.b0)的渐近线方程为yx.焦点坐标F1(0.c).F2(0.c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(.0).准线方程为x.抛物线x22py(p0)的焦点坐标为(0.).准线方程为y.3弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1.y1).B(x2.y2)时.|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦.若A(x1.y1).B(x2.y2).则x1x2.y1y2p2；弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)；以弦AB为直径的圆与准线相切.Y 1忽视定位条件：在圆锥曲线问题的研究中.应先定位.后定形.缺少了定位往往会做无用功定位条件是：焦点或准线.定形条件是：a.b.p.2搞清楚双曲线渐近线的斜率：在求双曲线的渐近线方程时.一定要注意双曲线渐近线的斜率是还是.3忽略一元二次方程的判别式致误：对于以直线与圆锥曲线相交为前提的问题.应用直线与曲线的方程求参数值或探究问题时.应注意判别式大于等于零这一条件1(20xx全国卷.5)双曲线1(a0.b0)的离心率为.则其渐近线方程为( A )AyxByxCyx Dyx解析因为e.所以3.即2.所以渐近线方程为yx.2(20xx全国卷.8)设抛物线C：y24x的焦点为F.过点且斜率为的直线与C交于M.N两点.则FMFN( D )A5B6C7D8解析由题意知直线MN的方程为y(x2).F(1,0)设M(x1.y1).N(x2.y2).与抛物线方程联立有可得或所以FM(0,2).FN(3,4).所以FMFN03248.3(文)(20xx全国卷.10)已知双曲线C：1(a0.b0)的离心率为.则点到C的渐近线的距离为( D )A B2 C D2解析方法一(直接法)：由已知.双曲线C的一条渐近线为yx.即bxay0.所以点(4,0)到C的渐近线的距离为d.因为a2b2c2.离心率e.所以e22.a2.b2c2.b2.所以d2.方法二(数形结合)：画图草图.记C的递增的渐近线斜率为k.倾斜角为.点P(4,0)到C的渐近线的距离为d.则ktan(借助以角为内角的直角三角形.对边为b.邻边为a.由勾股定理求得斜边c).所以sin.又离心率e.记ct.则at.所以bt.sin.在RtOPQ中.sin.所以.所以d2.(理)(20xx全国卷.11)设F1.F2是双曲线C：1(a0.b0)的左.右焦点.O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线.垂足为P.若.则C的离心率为( C )A B2 C D解析选C方法一：设渐近线的方程为bxay0.则直线PF2的方程为axbyac0.由可得P.由F1(c,0)及|PF1|OP|.得.化简可得3a2c2.即e.方法二：因为|PF2|b.|OF2|c.|PO|a.在RtPOF2中.设PF2O.则有cos；在PF1F2中.cos.b24c26a24b24c26a23c23a2c23a2e.4(20xx天津卷.7)已知双曲线1(a0.b0)的离心率为2.过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A.B两点设A.B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2.且d1d26.则双曲线的方程为( C )A1 B1C1 D1解析因为双曲线的离心率为2.所以2.c2a.ba.不妨令A(2a,3a).B(2a.3a).双曲线其中一条渐近线方程为yx.所以d1.d2；依题意得：6.解得：a.b3.所以双曲线方程为：1.5(20xx北京卷.10)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y24ax截得的线段长为4.则抛物线的焦点坐标为(1,0).解析由已知.直线l：x1.又因为l被抛物线截得的线段长为4.抛物线图象关于x轴对称.所以点(1,2)在抛物线上.即224a1.解得a1.故抛物线方程为y24x.焦点坐标为(1,0)6(20xx江苏卷.8)在平面直角坐标系xOy中.若双曲线1(a0.b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c.则其离心率的值是2.解析由题意画图可知.渐近线yx与坐标轴的夹角为60.故.c2a2b24a2.故e2.7(文)(20xx全国卷.20)设抛物线C：y22x.点A.B.过点A的直线l与C交于M.N两点(1)当l与x轴垂直时.求直线BM的方程(2)证明：ABMABN.解析(1)当l与x轴垂直时.l的方程为x2.可得M的坐标为(2,2)或(2.2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)当l与x轴垂直时.AB为MN的垂直平分线.所以ABMABN.当l与x轴不垂直时.设l的方程为yk(x2)(k0).M(x1.y1).N(x2.y2).则x10.x20.由得ky22y4k0.可知y1y2.y1y24.直线BM.BN的斜率之和为kBMkBN.将x12.x22及y1y2.y1y2的表达式代入式分子.可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0.可知BM.BN的倾斜角互补.所以ABMABN.综上.ABMABN.(理)(20xx全国卷.19)设椭圆C：y21的右焦点为F.过F的直线l与C交于A.B两点.点M的坐标为.(1)当l与x轴垂直时.求直线AM的方程(2)设O为坐标原点.证明：OMAOMB解析(1)由已知得F(1,0).l的方程为x1.代入y21可得.点A的坐标为或.所以直线AM的方程为yx或yx.(2)当l与x轴重合时.OMAOMB0.当l与x轴垂直时.OM为线段AB的垂直平分线.所以OMAOMB当l与x轴不重合也不垂直时.设l的方程为yk(x1)(k0).A(x1.y1).B(x2.y2).则x1.x2.直线MA.MB的斜率之和为kMAkMB.由y1kx1k.y2kx2k得kMAkMB.将yk(x1)代入y21得(2k21)x24k2x2k220.所以.x1x2.x1x2.则2kx1x23k(x1x2)4k0.从而kMAkMB0.故MA.MB的倾斜角互补.所以OMAOMB综上.OMAOMB 例1 (1)已知双曲线M：1(a0.b0)与抛物线yx2有公共焦点F.F到M的一条渐近线的距离为.则双曲线方程为( A )Ay21By21C1 D1解析抛物线yx2.即x28y的焦点为F(0,2).即c2.双曲线的渐近线方程为yx.可得F到渐近线的距离为db.即有a1.则双曲线的方程为y21.(2)已知方程1表示双曲线.且该双曲线两焦点间的距离为4.则n的取值范围是( A )A(1,3) B(1.)C(0,3) D(0.)解析解法一：1表示双曲线.则(m2n)(3m2n)0.所以m2n3m2.由双曲线性质知：c2(m2n)(3m2n)4m2.其中c是半焦距.所以焦距2c22|m|4.解得|m|1.所以1n0.解得m2n3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4.得m2n3m2n4.且m21.所以1n3.(3)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点.焦点在x轴上.左、右焦点分别为F1、F2.且它们在第一象限的交点为P.PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10.双曲线的离心率的取值范围为(1,2)则该椭圆的离心率的取值范围是( C )A(.) B(.)C(.) D(.1)解析设椭圆的半焦距为c.长半轴长为a.由椭圆的定义及题意知.|PF1|2a|PF2|2a2c10.得到ac50.因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2).所以12.c.椭圆的离心率e1.且10.n0).双曲线常设为mx2ny21(mn0)3焦点三角形的作用在焦点三角形中.可以将圆锥曲线的定义.三角形中边角关系.如正余弦定理、勾股定理结合起来G 1本例(3)中若椭圆改为双曲线1(ab.b0)过F2的直线与双曲线交于A.B两点.其他条件不变.则e2(e为双曲线离心率)的值为52.解析(1)如图所示：因为|AF1|AF2|2a.|BF1|BF2|2a.|AF1|AF2|BF2|.所以|BF2|2a.|BF1|4a.所以|AF1|2a.|AF2|2a2a.因为|F1F2|2|AF1|2|AF2|2.所以(2c)2(2a)2(2a2a)2.所以e252.2在本例(3)中若条件变为“在双曲线1(a0.b0)中.A1.A2是左、右顶点.F是右焦点.B是虚轴的上端点.若在线段BF上存在点P.使得PA1A2构成以A1A2为斜边的直角三角形”.试求双曲线离心率e的取值范围解析由题意知以线段A1A2为直径的圆和线段BF有公共点.则原点到直线BF的距离小于或等于a.又直线BF的方程为1.即bxcybc0.所以a.整理得a43a2c2c40.即e43e210.解得e2.又e1.所以10.即m1时.x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|.即42(m1).解得m7.所以直线AB的方程为yx7.(理)设椭圆1(ab0)的左焦点为F.右顶点为A.离心率为.已知A是抛物线y22px(p0)的焦点.F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l上两点P.Q关于x轴对称.直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A).直线BQ与x轴相交于点D若APD的面积为.求直线AP的方程解析(1)设点F的坐标为(c,0)依题意.得.a.ac.解得a1.c.p2.进而得b2a2c2.所以椭圆的方程为x21.抛物线的方程为y24x.(2)设直线AP的方程为xmy1(m0).与直线l的方程x1联立.可得点P(1.).故点Q(1.).将xmy1与x21联立.消去x.整理得(3m24)y26my0.解得y0或y.由点B异于点A.可得点B(.)由点Q(1.).可得直线BQ的方程为()(x1)(1)(y)0.令y0.解得x.故点D(.0)所以|AD|1.又因为APD的面积为.故.整理得3m22|m|20.解得|m|.所以m.所以直线AP的方程为3xy30或3xy30.规律总结1有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法(1)涉及弦长的问题中.应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题.可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)面积问题常采用S底高.其中底往往是弦长.而高用点到直线距离求解即可.选择底很重要.选择容易坐标化的弦长为底有时根据所研究三角形的位置.灵活选择其面积表达形式.若求多边形的面积问题.常转化为三角形的面积后进行求解(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时.应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用2弦中点问题的解决方法(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.在使用根与系数的关系时.要注意使用条件0.在用“点差法”时.要检验直线与圆锥曲线是否相交3与相交有关的向量问题的解决方法在解决直线与圆锥曲线相交.所得弦端点的有关的向量问题时.一般需利用相应的知识.将该关系转化为端点坐标满足的数量关系.再将其用横(纵)坐标的方程表示.从而得到参数满足的数量关系.进而求解G 已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c.原点O到经过两点(c,0).(0.b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图.AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径.若椭圆E经过A.B两点.求椭圆E的方程解析(1)过点(c,0).(0.b)的直线方程为bxcybc0.则原点O到该直线的距离d.由dc得a2b2.解得离心率.(2)由(1)知.椭圆E的方程为x24y24b2.由题意.圆心M(2,1)是线段AB的中点.且|AB|.易知.AB与x轴不垂直.设其直线方程为yk(x2)1.代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1.y1).B(x2.y2).则x1x2.x1x2.由x1x24.得4.解得k.从而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|.得.解得b23.故椭圆E的方程为1. 例3 (20xx衡水一模)已知椭圆C1：1(ab0)的离心率为e且与双曲线C2：1有共同焦点(1)求椭圆C1的方程；(2)在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l.求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；(3)设椭圆C1的左、右顶点分别为A.B.过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E.若C点满足.连接AC交DE于点P.求证：PDPE.解析(1)由e.可得：.即.所以.a24b2.又因为c22b21.即a2b22b21.联立解得：a24.b21.所以椭圆C1的方程为y21.(2)因为l与椭圆C1相切于第一象限内的一点.所以直线l的斜率必存在且为负.设直线l的方程为ykxm(k0).联立消去y整理可得：(k2)x22kmxm210.根据题意可得方程只有一实根.所以(2km)24(k2)(m21)0.整理可得：m24k21.因为直线l与两坐标轴的交点分别为(.0).(0.m)且kb0)的一个顶点.C1的长轴是圆C2：x2y24的直径.l1.l2是过点P且互相垂直的两条直线.其中l1交圆C2于A.B两点.l2交椭圆C1于另一点D(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD的面积取最大值时直线l1的方程解析(1)由已知可得b1.且2a4.即a2.所以椭圆C1的方程是y21.(2)因为直线l1l2.且都过点P(0.1).所以设直线l1：ykx1.即kxy10.直线l2：yx1.即xkyk0.所以圆心(0,0)到直线l1的距离为d.所以直线l1被圆x2y24所截得的弦长为|AB|2.由k2x24x28kx0.64k20.所以xDxP.所以|DP|.所以SABD|AB|DP|.当k2k时等号成立.此时直线l1的方程为yx1.A组1抛物线y22px(p0)的焦点为F.O为坐标原点.M为抛物线上一点.且|MF|4|OF|.MFO的面积为4.则抛物线方程为( B )Ay26xBy28xCy216x Dy2x解析依题意.设M(x.y).因为|OF|.所以|MF|2p.即x2p.解得x.yp.又MFO的面积为4.所以p4.解得p4.所以抛物线方程为y28x.2若双曲线1(a0.b0)和椭圆1(mn0)有共同的焦点F1、F2.P是两条曲线的一个交点.则|PF1|PF2| ( D )Am2a2 B C(ma) Dma解析不妨设F1、F2分别为左、右焦点.P在双曲线的右支上.由题意得|PF1|PF2|2.|PF1|PF2|2.|PF1|.|PF2|.故|PF1|PF2|ma.3(文)若双曲线1的一条渐近线经过点(3.4).则此双曲线的离心率为( D )A BC D解析由题利用双曲线的渐近线经过点(3.4).得到关于a.b的关系式.然后求出双曲线的离心率即可因为双曲线1的一条渐近线经过点(3.4).3b4a.9(c2a2)16a2.e.故选D(理)已知双曲线1(b0).以原点为圆心.双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点.四边形的ABCD的面积为2b.则双曲线的方程为( D )A1 B1C1 D1解析根据圆和双曲线的对称性.可知四边形ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为yx.圆的方程为x2y24.不妨设交点A在第一象限.由yx.x2y24得xA.yA.故四边形ABCD的面积为4xAyA2b.解得b212.故所求的双曲线方程为1.故选D4(20xx重庆一模)已知圆(x1)2y2的一条切线ykx与双曲线C：1(a0.b0)有两个交点.则双曲线C的离心率的取值范围是( D )A(1.) B(1,2)C(.) D(2.)解析由题意.圆心到直线的距离d.所以k.因为圆(x1)2y2的一条切线ykx与双曲线C：1(a0.b0)有两个交点.所以.所以14.所以e2.5(20xx济南一模)已知抛物线C：y28x的焦点为F.准线为l.P是l上一点.Q是直线PF与C的一个交点.若4.则|QF|( B )AB3CD2解析如图所示.因为4.所以.过点Q作QMl垂足为M.则MQx轴.所以.所以|MQ|3.由抛物线定义知|QF|QM|3.6(20xx泉州一模)已知抛物线C：y22px(p0)的准线l.过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A.与点C的一个交点为点B.若.则p2.解析设直线AB：yx.代入y22px得：3x2(62p)x30.又因为.即M为A.B的中点.所以xB()2.即xB2.得p24p120.解得p2.p6(舍去)7已知双曲线x21的左顶点为A1.右焦点为F2.P为双曲线右支上一点.则的最小值为2.解析由已知得A1(1,0).F2(2,0)设P(x.y)(x1).则(1x.y)(2x.y)4x2x5.令f(x)4x2x5.则f(x)在1.)上单调递增.所以当x1时.函数f(x)取最小值.即取最小值.最小值为2.8已知椭圆C：1.点M与椭圆C的焦点不重合若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A.B.线段MN的中点在椭圆C上.则|AN|BN|12.解析取MN的中点G.G在椭圆C上.因为点M关于C的焦点F1.F2的对称点分别为A.B.故有|GF1|AN|.|GF2|BN|.所以|AN|BN|2(|GF|1|GF|2)4a12.9(20xx郴州三模)已知抛物线E：y28x.圆M：(x2)2y24.点N为抛物线E上的动点.O为坐标原点.线段ON的中点P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)点Q(x0.y0)(x05)是曲线C上的点.过点Q作圆M的两条切线.分别与x轴交于A.B两点.求QAB面积的最小值解析(1)设P(x.y).则点N(2x,2y)在抛物线E：y28x上.所以4y216x.所以曲线C的方程为y24x.(2)设切线方程为yy0k(xx0)令y0.可得xx0.圆心(2,0)到切线的距离d2.整理可得(x4x0)k2(4y02x0y0)ky40.设两条切线的斜率分别为k1.k2.则k1k2.k1k2.所以QAB面积S|(x0)(x0)|y0222(x01)2设tx014.).则f(t)2(t2)在4.)上单调递增.所以f(t).即QAB面积的最小值为.B组1若a1.则双曲线y21的离心率的取值范围是( C )A(.)B(.2)C(1.)D(1,2)解析由题意得双曲线的离心率e.e21.a1.01.112.1eb0)的左焦点.A.B分别为C的左.右顶点P为C上一点.且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M.与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点.则C的离心率为( A )A B C D解析解法一：设E(0.m).则直线AE的方程为1.由题意可知M(c.m).(0.)和B(a,0)三点共线.则.化简得a3c.则C的离心率e.解法二：如图所示.由题意得A(a,0).B(a,0).F(c,0)由PFx轴得P(c.)设E(0.m).又PFOE.得.则|MF|.又由OEMF.得.则|MF|.由得ac(ac).即a3c.所以e.故选A3(文)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A.B两点.交C的准线于D.E两点已知|AB|4.|DE|2.则C的焦点到准线的距离为( B )A2 B4 C6 D8解析由题意.不妨设抛物线方程为y22px(p0).由|AB|4.|DE|2.可取A(.2).D(.).设O为坐标原点.由|OA|OD|.得85.得p4.故选B(理)已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合.e1.e2分别为C1.C2的离心率.则( A )Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cm1 Dmn且e1e2n.又(e1e2)211.所以e1e21.故选A4已知M(x0.y0)是曲线C：y0上的一点.F是曲线C的焦点.过M作x轴的垂线.垂足为点N.若0.则x0的取值范围是( A )A(1,0)(0,1) B(1,0)C(0,1) D(1,1)解析由题意知曲线C为抛物线.其方程为x22y.所以F(0.)根据题意.可知N(x0,0).x00.(x0.y0).(0.y0).所以y0(y0)0.即0y0.因为点M在抛物线上.所以有0.又x00.解得1x00或0x00.b0).由题意可知.将xc代入.解得：y.则|AB|.由|AB|22a.则b22a2.所以双曲线离心率e.7已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1.F2.过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A.B两点.直线AF2与椭圆的另一个交点为点C.若SABC3SBCF2.则椭圆的离心率为.解析如图所示.因为SABC3SBCF2.所以|AF2|2|F2C|.A(c.).直线AF2