北航数值分析大作业第一题MATLAB.docx

数值分析大作业第一题仅供参考！一、 算法设计：1、，和的求法：1）首先根据幂法求出按模最大，即绝对值最大的特征值，然后根据所求的值对原矩阵进行平移，同理根据幂法求出另一特征值，比较两个值的大小，数值小的为所求，大的为。2）使用反幂法求。 2、与最接近的特征值的求法：根据（k=1,2,39）的值进行原点平移后使用反幂法依次求出与数最接近的特征值。3、和detA的求法：1），其中1和分别是有幂法和反幂法求出的按模最大和最小的特征值。2）对矩阵A进行LU分解（A=L*U），其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵，后者的主对角线元素之积即为det A。二、 源程序format long em=501; %矩阵的维数b=0.16;c=-0.064;er=1e-12; %给定误差或者精度A=zeros(m,m); %生成501维全零方阵I=eye(m); %定义501维单位方阵for q=1:m; %主对角线的赋值 A(q,q)=(1.64-0.024*q)*sin(0.2*q)-0.64*exp(0.1/q);endfor j=1:m-1; %副对角线的赋值 A(j,j+1)=b; A(j+1,j)=A(j,j+1);endfor k=1:m-2; %次副对角线赋值 A(k,k+2)=c; A(k+2,k)=A(k,k+2);end%矩阵已定义好detA=det(A); %计算矩阵A的值作为参考%幂法求解绝对值最大的特征值u2=1:m; %m维行向量u1=u2; %u1为列向量Lambda=1; %Lambda迭代初值preLambda=0; %Lambda迭代初值kk=0;while abs(Lambda-preLambda)=er; %迭代终止条件，每两次迭代的特征值之差小于给定误差 preLambda=Lambda; kk=kk+1; n1=sqrt(u1*u1); %u1的二范数 y1=u1/n1; %将u1归一化 u1=A*y1; %幂法做迭代 Lambda=y1*u1; %特征值，终止条件 title(求解Lambda1的误差收敛图); ylabel(误差); xlabel(迭代次数) plot(kk,abs(Lambda-preLambda),- * b); semilogy(kk,abs(Lambda-preLambda); hold on;end%Lambda1为绝对值最大的特征值Lambda11=Lambda;K11=kk;%求解最大的特征值 d=abs(Lambda11);B=A+d*I; %对A做平移u2=1:m;u1=u2;Lambda=1; %Lambda迭代初值preLambda=0; %Lambda迭代初值kk=0;while abs(Lambda-preLambda)=er; %迭代循环终止条件，每两次迭代的特征值之差小于给定误差 preLambda=Lambda; kk=kk+1; %累计迭代次数 n1=sqrt(u1*u1); %u1的二范数 y1=u1/n1; %归一化 u1=B*y1; %幂法做迭代 Lambda=y1*u1; %求解迭代后的特征值 title(求解Lambda501的误差收敛图); ylabel(误差); xlabel(迭代次数) plot(kk,abs(Lambda-preLambda),- * b); semilogy(kk,abs(Lambda-preLambda); hold on;endLambda22=Lambda-d; %Lambda501为最大的特征值K22=kk;%比较判断Lambda1与Lambda501，其中Lambda501大于Lambda1if Lambda11=er; %迭代循环终止条件，每两次迭代的特征值之差小于给定误差 preLambda=Lambda; kk=kk+1; n1=sqrt(u1*u1); %求向量u1的二范数 y1=u1/n1; %对u1归一化 u1=Ay1; %反幂法迭代Au(k)=y(k-1) Lambda=y1*u1; %计算特征值 title(计算Lambdas的误差收敛图); %图名 ylabel(误差); %坐标轴名 xlabel(迭代次数) %坐标轴名 plot(kk,abs(Lambda-preLambda),- * b); %以迭代次数为横坐标，误差为纵坐标绘图 semilogy(kk,abs(Lambda-preLambda); %纵坐标（误差）用对数比例坐标轴 hold on; %迭加绘图endLambdas=1/Lambda %Lambdas为绝对值最小的特征值kk%第二问：求解与给定uf(i)最接近的特征值uf=1:39; %uf(i)接用来储存与ui接近的特征值ui=1:39;for k=1:39; uk=Lambda1+k*(Lambda501-Lambda1)/40); ui(k)=uk; C=A-uk*I; u2=1:m; u1=u2; Lambda=1; %Lambda迭代初值 preLambda=0; %Lambda迭代初值 while abs(Lambda-preLambda)=er; %迭代循环终止条件 preLambda=Lambda; n1=sqrt(u1*u1); y1=u1/n1; u1=Cy1; Lambda=y1*u1; end uf(k)=1/Lambda+uk; %对uf(k)赋值enduiuf %显示uf%第三问 求条件数=模最大的特征值/模最小的特征值condA2=abs(Lambda1/Lambdas)%Doolittle分解法A=LUL=eye(m); %定义L为单位阵U=zeros(m,m); %定义U为全零阵for k=1:m; %做K次分解 for ii=k:m; %U矩阵的第K行赋值 U(k,ii)=A(k,ii); %对U(k,ii)赋初值 for i1=1:k-1; %求解U矩阵K行的每个元素 U(k,ii)=U(k,ii)-L(k,i1)*U(i1,ii); A(k,ii)=A(k,ii)-A(k,i1)*A(i1,ii); end end for jj=k+1:m; %L矩阵的第K列赋值 if k=m; %Km else %KA1A5011;所以用幂法和反幂法求解矩阵特征值时，误差收敛速度主要取决于所求特征值与其相邻特征值之比的大小，相差越大，收敛速度越快。附：s附近的特征值：-6.374983628561743-003-5.557910794213269e-0031.030967546258130e-002As=1.147010785995196e+0001附近的特征值：-1.070011361515021e+001-1.030713506176649e+001-1.018293403314615e+001A1=1.038126846211751e+000501附近的特征值:9.254200344575050e+0009.497891230382715e+0009.724634099672162e+000A501=1.023872969671849e+000 在求解1与s时，起初误差会有增大的现象，主要是因为迭代选取的初始向量u1为值均为1的任意向量，最初的迭代中可能会出现前后得到的相差较大，有误差增大的现象，但这不影响整体收敛性，i最终还是会收敛于所求的特征值。误差收敛速度主要取决于所求特征值与其相邻特征值之比的大小，与初始迭代向量无关。考虑初始向量对迭代误差收敛的影响：增加初始迭代向量中零的个数；当u1=(1,0,1,0,1,0,.,1,0,1)时，迭代次数分别为：Lambdas = -5.