高中数学 第三章 推理与证明 1 归纳与类比 1.2 类比推理课件 北师大版选修12.ppt

1 2类比推理 课前预习学案 1 两类不同对象具有某些类似的特征 在此基础上 根据一类对象的其他特征 推断另一类对象也具有类似的其他特征 我们把这种推理过程称为 2 类比推理是两类事物 之间的推理 即类比推理是由 的推理 3 根据解决问题的需要 可对 进行类比 1 类比推理 类比推理 特征 特殊到特殊 概念 结论 方法 实验和实践 经验和直觉 事实 结论 归纳推理与类比推理的区别与联系区别 归纳推理是由特殊到一般的推理 类比推理是由个别到个别的推理或是由一般到一般的推理 联系 在前提为真时 归纳推理与类比推理的结论都可真可假 1 下面几种推理是类比推理的是 a 因为三角形的内角和是180 3 2 四边形的内角和是180 4 2 所以n边形的内角和是180 n 2 b 由平面三角形的性质 推测空间四边形的性质c 某校高二年级有20个班 1班有51位团员 2班有53位团员 3班有52位团员 由此可以推测各班都超过50位团员d 4能被2整除 6能被2整除 8能被2整除 所以偶数能被2整除答案 b 2 已知 bn 为等比数列 b5 2 则b1b2b3 b8b9 29 若 an 为等差数列 a5 2 则 an 类似的结论为 a a1a2a3 a9 29b a1 a2 a9 29c a1a2a3 a9 2 9d a1 a2 a9 2 9解析 在等差数列中 积 变 和 得a1 a2 a9 2 9 答案 d 4 已知在三棱锥s abc中 sa sb sb sc sa sc 且平面sab sac sbc与底面abc所成角分别为 1 2 3 三侧面 sab sac sbc的面积分别为s1 s2 s3 类比三角形中的正弦定理 给出空间情形的一个猜想 课堂互动讲义 三角形与四面体有下列共同的性质 1 三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形 四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形 2 三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形 四面体可以看做三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形 平面图形与空间图形的类比 通过类比推理 根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表 思路导引 已知三角形和四面体的 外在 性质 合理寻找类比对象对二者 内在 性质进行探究 边听边记 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形 三角形的边对应四面体的面 即平面的线类比空间的面 三角形的中位线对应四面体的中位面 三角形的内角对应四面体的二面角 三角形的内切圆对应四面体的内切球 具体见下表 1 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要 选择适当的类比对象 可以从几何元素的数目 位置关系 度量等方面入手 由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论 2 平面图形与空间图形类比 1 如图所示 在 abc中 射影定理可表示为a b cosc c cosb 其中a b c分别为角a b c的对边 类比上述定理 写出对空间四面体性质的猜想 平面图形与空间几何体的类比 类比推理的思维过程大致为 观察 比较 联想 类推 猜测新的结论 该过程包括两个步骤 1 找出两类对象之间的相似性或一致性 2 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质 从而得出一个明确的命题 即猜想 说明 一般地 如果类比的相似性越多 相似的性质与推测的性质之间越相关 那么类比得出的命题就越可靠 2 在rt abc中 若 c 90 则cos2a cos2b 1 试在立体几何中 给出四面体性质的猜想 于是把结论类比到四面体p a b c 中 我们猜想 三棱锥p a b c 中 若三个侧面pa b pb c pc a 两两互相垂直且分别与底面所成的角为 则cos2 cos2 cos2 1 12分 在等差数列 an 中 若a10 0 证明等式a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n n 成立 并类比上述性质相应的在等比数列 bn 中 若b9 1 则有等式 成立 定义 定理或性质中的类比 规范解答 在等差数列 an 中 由a10 0 得a1 a19 a2 a18 an a20 n an 1 a19 n 2a10 0 a1 a2 an a19 0 4分即a1 a2 an a19 a18 an 1 6分又 a1 a19 a2 a18 a19 n an 1 a1 a2 an a19 a18 an 1 a1 a2 a19 n 8分若a9 0 同理可得a1 a2 an a1 a2 a17 n 相应地 类比此性质在等比数列 bn 中 若b9 1 10分可得b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n n 12分答案 b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n n 1 运用类比思想找出项与项的联系 应用等差 等比数列的性质解题是解决该题的关键 2 等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质 一般情况下等差数列中的和 或差 对应着等比数列中的积 或商 错因 类比推理是不严格的 所得结论的正确与否有待用实践来证明 解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误 错解将方程的同解原理类比