高考数学 3.7 正弦定理和余弦定理课件 文 新人教A版 .ppt

第七节正弦定理和余弦定理 三年18考高考指数 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三角形度量问题 1 利用正 余弦定理求三角形中的边 角及其面积问题是高考考查的热点 2 常与三角恒等变换相结合 综合考查三角形中的边与角 三角形形状的判断等 3 在平面解析几何 立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题 1 正弦定理 已知两角和任一边 求其他两边和另一角 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 即时应用 1 思考 在 abc中 sina sinb是a b的什么条件 提示 充要条件 因为sina sinb a b a b 2 在 abc中 b 30 c 120 则a b c 解析 a 180 30 120 30 由正弦定理得 a b c sina sinb sinc 1 1 答案 1 1 2 余弦定理 已知三边 求各角 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 即时应用 1 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍 那么它的顶角的余弦值为 2 在 abc中 已知a2 b2 bc c2 则角a为 解析 1 设底边边长为a 则由题意知等腰三角形的腰长为2a 故顶角的余弦值为 2 由已知得b2 c2 a2 bc cosa 又 0 a 答案 1 2 3 三角形中常用的面积公式 1 h表示边a上的高 2 3 r为三角形的内切圆半径 即时应用 1 在 abc中 a 60 ab 1 ac 2 则s abc的值为 2 在 abc中 则s abc 解析 1 2 在 abc中 cosa sina 答案 1 2 利用正 余弦定理解三角形 方法点睛 解三角形中的常用公式和结论 1 a b c 2 0 a b c sin a b sinc cos a b cosc tan a b tanc 3 三角形中等边对等角 大边对大角 反之亦然 三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 例1 根据下列条件解三角形 1 在锐角 abc中 a b c分别为角a b c所对的边 又b 4 且bc边上的高则角c 2 在 abc中 已知a b c 且a 2c b 4 a c 8 则a c 3 已知三角形的两边分别为4和5 它们的夹角的余弦值是方程2x2 3x 2 0的根 则第三边长是 解题指南 1 作出高 利用直角三角形中的边角关系直接求得 2 正弦定理和余弦定理结合应用求得 3 利用方程求出余弦值 再利用余弦定理求得 规范解答 1 由于 abc为锐角三角形 过a作ad bc于d点 则c 60 2 由正弦定理又a 2c 所以即由已知a c 8 2b及余弦定理 得 整理得 2a 3c a c 0 a c 2a 3c a c 8 3 解方程可得该夹角的余弦值为由余弦定理得 42 52 2 4 5 21 第三边长是答案 1 60 2 3 互动探究 本例中的 1 条件不变 若求a 则a 解析 由余弦定理可知c2 a2 b2 2abcosc 则即a2 4a 5 0 所以a 5或a 1 舍去 因此a边的长为5 答案 5 反思 感悟 1 应熟练掌握正 余弦定理及其变形 解三角形时 有时可用正弦定理 也可用余弦定理 应注意根据已知条件用哪一个定理更方便 简捷就用哪一个定理 2 已知两边和其中一边的对角 解三角形时 注意解的情况 如已知a b a 则有两解 一解 无解三种情况 a bsina a bsina bsina a b a b a b a b 无解 一解 两解 一解 一解 无解 a a b c b c a a b b1 b2 a c a a b c a a b b b c a b a a a b b c 变式备选 在 abc中 已知a 7 b 3 c 5 求其最大内角和sinc 解析 由已知得 a c b 所以内角a最大 由余弦定理得 而所以 利用正 余弦定理判断三角形形状 方法点睛 1 三角形形状的判断思路判断三角形的形状 就是利用正 余弦定理等进行代换 转化 寻求边与边或角与角之间的数量关系 从而作出正确判断 1 边与边的关系主要看是否有等边 是否符合勾股定理等 2 角与角的关系主要是看是否有等角 有无直角或钝角等 2 判定三角形形状的两种常用途径 通过正弦定理和余弦定理 化边为角 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 利用正弦定理 余弦定理 化角为边 通过代数恒等变换 求出三条边之间的关系进行判断 提醒 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一 并注重挖掘隐含条件 另外 在变形过程中要注意角a b c的范围对三角函数值的影响 例2 在 abc中 判断 abc的形状 解题指南 此题主要是利用正弦定理转化成边或角 作出判断即可 规范解答 方法一 asina bsinb 由正弦定理可得 a2 b2 a b abc为等腰三角形 方法二 asina bsinb 由正弦定理可得 2rsin2a 2rsin2b 即sina sinb a b a b 不合题意舍去 故 abc为等腰三角形 反思 感悟 三角形中判断边 角关系的具体方法 1 通过正弦定理实施边角转换 2 通过余弦定理实施边角转换 3 通过三角变换找出角之间的关系 4 通过三角函数值符号的判断以及正 余弦函数有界性的讨论 变式训练 在 abc中 1 已知a b ccosb ccosa 判断 abc的形状 2 若b asinc c acosb 判断 abc的形状 解析 1 由已知结合余弦定理可得整理得 a b a2 b2 c2 0 a b或a2 b2 c2 abc为等腰三角形或直角三角形 2 由b asinc可知由c acosb可知整理得b2 c2 a2 即三角形一定是直角三角形 a 90 sinc sinb b c abc为等腰直角三角形 与三角形面积有关的问题 方法点睛 三角形的面积公式 1 已知一边和这边上的高 2 已知两边及其夹角 3 已知三边 4 已知两角及两角的共同边 5 已知三边和外接圆半径r 则 例3 1 已知 abc中 a 8 b 7 b 60 则c s abc 2 2011 山东高考 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 已知 求的值 若求 abc的面积s 解题指南 1 可利用正弦定理求出角c的正弦值 再求出边长c 进而求面积 也可利用余弦定理求出边长c 再求面积 2 可由正弦定理直接转化已知式子 然后再由和角公式及诱导公式求解 也可先转化式子 然后利用余弦定理推出边的关系 再利用正弦定理求解 应用余弦定理及 的结论求得a和c的值 然后利用面积公式求解 规范解答 1 方法一 由正弦定理得 sinc sin a b sinacosb cosasinb 由得c1 5 c2 3 方法二 由余弦定理得b2 c2 a2 2cacosb 72 c2 82 2 8 ccos60 整理得 c2 8c 15 0 解得 c1 3 c2 5 或答案 3或5或 2 方法一 在 abc中 由及正弦定理可得即cosasinb 2coscsinb 2sinccosb sinacosb 则cosasinb sinacosb 2sinccosb 2coscsinb sin a b 2sin c b 而a b c 则sinc 2sina 方法二 在 abc中 由可得bcosa 2bcosc 2ccosb acosb 由余弦定理可得 整理可得c 2a 由正弦定理可得 由c 2a及b 2可得4 c2 a2 2accosb 4a2 a2 a2 4a2 则a 1 c 2 即 反思 感悟 1 运用正 余弦定理解决几何计算问题 要抓住条件 待求式子的特点 恰当地选择定理 面积公式 2 明确所需要求的边 角 1 若已知量与未知量全部集中在一个三角形中时 可选择正 余弦定理求解 2 若涉及到两个 或两个以上 三角形 这时需作出这些三角形 先解够条件的三角形 再逐步求出其他三角形的解 其中往往用到三角形内角和定理 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程求解 变式训练 在 abc中 bc a ac b a b是方程x2 2 0的两个根 且2cos a b 1 求 1 角c的度数 2 ab的长度 3 abc的面积 解析 1 cosc cos a b cos a b c 120 2 由题设 c2 a2 b2 2abcos120 a2 b2 ab a b 2 ab 即ab 3 变式备选 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 1 求sinc的值 2 求 abc的面积 解析 1 因为角a b c为 abc的内角 且所以于是 2 由 1 知又因为所以在 abc中 由正弦定理得于是 abc的面积 满分指导 解三角形问题的规范解答 典例 12分 2011 辽宁高考 abc的三个内角a b c所对的边分别为a b c asinasinb bcos2a 1 求 2 若求b 解题指南 1 根据正弦定理 先边化角 然后再角化边 即得 2 先结合余弦定理和已知条件求出cosb的表达式 再利用第 1 题的结论进行化简即得 规范解答 1 由正弦定理得 sin2asinb sinbcos2a 即sinb sin2a cos2a 3分故所以 6分 2 由余弦定理及得由 1 知b2 2a2 故 10分可得又cosb 0 故所以b 45 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示与备考建议 1 2012 济宁模拟 在 abc中 角a b c的对边分别是a b c 若a 7 b 3 c 5 则角a等于 解析 选a 在 abc中 a 7 b 3 c 5 又 0 a a 2 2011 安徽高考 已知 abc的一个内角为120 并且三边长构成公差为4的等差数列 则 abc的面积为 解析 设三角形中间边长为x 则另两边的长为x 4 x 4 那么 x 4 2 x2 x 4 2 2x x 4 cos120 解得x 10 所以s abc 10 6 sin120 答案 3 2011 福建高考 如图 abc中 ab ac 2 点d在