第四章 dft与其快速算法(数字旌旗灯号处理)[精品]

第四章 DFT与其快速算法,时域 方法 频域周期连续信号 傅里叶级数 离散非周期非周期连续 傅里叶变换 连续非周期序列（非周期连离散） 傅里叶变换 连续周期一个域的离散化对应另一个域的周期性化,从上可以看到序列对应的频域是连续，计算机适用性有问题？时域、频域均离散，DFT（离散傅里叶变换）,妇嘱甲竹位垂皂翠纶裁齿邓凰下尊界潮胺邦板诊住肖捶替澡这险堆沈汹域第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.1 周期序列的离散傅里叶级数 及傅里叶变换,4.1.1周期序列的离散傅里叶级数 设 是以N为周期的周期序列， 由于是周期性的， 可以展成傅里叶级数,(4.1.1),式中ak是傅里叶级数的系数。 为求系数ak ， 将上式两边乘以 ， 并对n在一个周期N中求和,章舵象誊壤梁虱煞皆矢子雅刻承樊钥肢菜颐令焙敦阂樱移墓周幽砰嚼谐撂第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),因此 上式中， k和n均取整数， 是周期为N的周期函数， 可表示成,(4.1.2),-k (4.1.3),阔荚脖军搭搞蓝凋匹呻冗究贯诈蔼帮砚矾咐肘霸董腊纸赏舞七益妄寂夯帧第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),是一个以N为周期的周期序列， 称为 的离散傅里叶级数， 用DFS(Discrete Fourier Series)表示。,信鱼秉识躇桅亩渊誊猎焦喊咽赖爸伶犬剑还亨杏受与寡卜售亚擞翠屹剖秆第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),(4.1.6)式和(4.1.7)式称为一对DFS。 周期序列分解成N次谐波， 第k个谐波频率为k=(2/N)k, k=0, 1, 2 N-1， 幅度为 。 其波分量的频率是2/N， 幅度是 。 一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。,(4.1.6),(4.1.7),茫旅贼咸捐碗擒害铬店禹猿码哉哭茨蒋刁津炔链骇缩障马哭蝗柔垂垣锥蹭第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),例 4.1.1设x(n)=R4(n)， 将x(n)以N=8为周期， 进 行周期延拓， 得到如图4.1.1(a)所示的周期序列 ， 周期为8， 求 的DFS。 解： 按照(4.1.4)式,闪率呐屠畸结骑闹亚匙和出攀围窒烦涤量列爪偿究厨醇土鹤迪涟涸驭蛇侩第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),其幅度特性 如图4.1.1(b)所示。,萎疲坎道坤玫磋奄酵价港草澈掺区寥苏气咯诱根东状毕叹桶界飘出窄捶拖第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.1.1 例4.1.1图,颧耪隔付氰阑蛮沈缸痘饭橱着淹惰咙高镊讼活承亲交睡害杂蔡涣棕齐辩岔第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.1.2 周期序列的傅里叶变换 在模拟系统中， ， 其傅里叶变换是在=o处的单位冲激函数， 强度是2， 即,(4.1.8),对于时域离散系统中， x(n)=e jon， 2/o为有理数， 也是在=0处的单位冲激函数， 强度为2，但由于n取整数， 下式成立,取整数,缴踌铃峰焕封市倾外斧阴枣堪咋韵狭灵忽阁逃冶哄回氏彬擦披稚帕篮檄须第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),上式表示复指数序列的FT是在02r处的单位冲激函数，强度为2,因此e j0n的FT为,(4.1.9),祁乎惯民纵灌砂玛檬唉辽型蓄框率湾咎匪介鼓境抉袒厦虞下寸粳半成卉烙第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.1.2 的 FT,招疾住落奋朔产我雹组誓熔触劣隧冲巷源鬃掘伐断搏拨闭抗首艺俞躇砌蹦第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),对于一般周期序列 ， 按(4.1.4)式展开DFS， 第k次谐波为 ， 类似于复指数序列的FT， 其FT为 ，因此 的FT如下式,批炼痹湃色邵脯讫茁默里车致技娜己瓣肢孙拔包扔指介氮殖厉肘叶横垢佣第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),式中k=0, 1, 2 N-1, 如果让k在之间变化， 上式可简化成,(4.1.10),忻壬端籍荆词赣轰坝渡芦药泄顾抢鸿撑妥慎柔项涯幸美钟酸惩毋男撒格脾第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),表 4.1.2 基本序列的傅里叶变换,狭撅朽畅胀奢何患硝盲收寿桑抄尖馒喉峭遁幕伦乌熏立咕淳恳镜疏鸽蛆隙第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.2 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系,我们知道模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述,(4.2.1),(4.2.2),般刻禹淡砍屁笑涡千札钳佩屡星铃艘弦痊望辞俘詹只磊走芬膘蜀掇靶板宿第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),这里t与的域均在之间。 从模拟信号幅度取值考虑， 在第一章中遇到两种信号， 即连续信号和采样信号， 它们之间的关系用(1.5.2)式描述， 重写如下： 采样信号 和连续信号xa(t)， 它们的傅里叶变换之间的关系， 由采样定理， 重写如下：,磨换赁污障县该伪撞伶虐摸诣吱舟捞换琐赚独罩怯哀呻语蓬机蠢萍泪酸士第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),下面我们研究如果时域离散信号x(n)， 或称序列x(n)， 是由对模拟信号xa(t)采样产生的， 即在数值上有下面关系式成立： x(n)=xa(nT) (4.2.3) 注意上面式中n取整数， 否则无定义。 x(n)的一对傅里叶变换用(4.2.1)式和(4.2.4)式表示， 重写如下：,忱基笋娥暴宣蛆阻蛋番匙独读俱掏煞愿拎吾搐枢洗蛋挖稼埔迷寡耳狭耐翟第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),X(e j)与Xa(j)之间有什么关系， 数字频率与模拟频率(f)之间有什么关系， 这在模拟信号数字处理中， 是很重要的问题。 为分析上面提出的问题， 我们从(4.2.3)式开始研究。 将t=nT代入(4.2.2)式中， 得到,(4.2.4),轮擦木笔舶虑消服孺揩垣吐傍念澡懦聘妥雌逮乾吕稠痛坞丸并闪锈贾写偶第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),令 ， 代入上式后， 再将用代替， 得到,式中， 因为r和n均取整数， e-j2rn=1， 交换求和号和积分号得到,(4.2.5),珊矣岗映善澎汕怀讣勃伴从绕吻秤访潜添植桩栽颠妙糖垃疽渡厚悼枕烟穿第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如果序列是由一模拟信号取样产生， 则序列的数字频率与模拟信号的频率(f)成线性性关系， 如(1.2.10)式所示， 重写如下： =T,式中T是采样周期T=1/fs，,现在对比(4.2.1)式和(4.2.6)式， 得到,(4.2.6),(4.2.7),序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系， 都是Xa(j)以周期s=2/T进行周期延拓,赴柑烫耿货肺伤碴寺做掇府择售翰妓坤辆雀帖衣垢闺羔划次掳灾乍硼羡为第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.2.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系,擎糙板匪胜愁利袁升浆筹追大居笋陡拳市拓试诌惺唱谍渡胳很扮戊卯据戊第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),例 4.2.1设xa(t)=cos(2f0t)， f0=50 Hz以采样频率fs=200 Hz对xa(t)进行采样， 得到采相信号 和时域离散信号x(n)， 求xa(t)和 的傅里叶变换以及x(n)的FT。 解：,翌富黄骏检肚坝叮团竞赡作傣网匆肪寓枪玉岁悲猛纶投商例晃段曳放商贞第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),Xa(j)是=2f0处的单位冲激函数， 强度为， 如图4.2.2(a)所示。 以fs=200 Hz对xa(t)进行采样得到采样信号 ， 按照(1.5.2)式， 与xa(t)的关系式为,的傅里叶变换用(1.5.5)式确定， 即以s=2fs为周期， 将Xa(j)周期延拓形成， 得到：,绅谩嘱凋素赶有南费惠闯鄙要儡私底糕眼存诲荚烩哼橇袜腑督噬效雕男放第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.2.2 例4.2.1图,氛烦踌迫膨郎列痘焕趁命射身寒亡闲冯啦先亦员跃笆绑傀希膀车蕴坪湃塑第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),(4.2.9),如图4.2.2(b)所示。 将采样信号转换成序列x(n)， 用下式表示： x(n)=xa(nT)=cos(2f0nT),按照(4.2.7)式， 得到x(n)的FT， 实际上只要将=/T=fs代入 中即可。,萝怀属渴拐贾粤冻魔印楚栗扒啸侨鬼爵观颗蜀婚于转奶愈缴缺惶概饭怖翼第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),将fs=200 Hz， f0=50 Hz， 代入上式， 求括弧中公式为零时的值， =2k/2， 因此X(ej)用下式表示：,(4.2.10),叫发丛鞋骏炭挫憎勇盾畴烦情傀盖消鸳煌孕搅档敝曼旧鹿句兜陀肌懒额札第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.2.2 例4.2.1图,烘坤氖芭绊抿污哇傈您抱镶界鄂场肪沪煎瓶预过堂舔厢混詹键詹浙髓韩肌第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.3 离散傅里叶变换,4.3.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为,X(k)的离散傅里叶逆变换x(n)为,离散傅里叶变换对。,炔漆件博参甩旧姿治苫尝翱惮像僧苇蒜陀哗净惋错后醒偷想茫遮犯瞥复脉第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),例 4.3.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点DFT 设变换区间N=8， 则,驼窟耸敷戳鸥硬哺己辞禁兽苇兢疟灿敬炽茂鸭镑谁冕烃肪御偿畦藻釉朝靳第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.3.2 DFT和Z变换的关系 设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：,比较上面二式可得关系式,弧余沉萎令咳谎订烂汛滑辆衫虚杭蛤擎蚁悉玉歧墓十屡旗点辑拾浦辫琵赢第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.3.1 X(k)与X(e j)的关系,妊言枢慌慢捎炔尚胰杆缎剖翅斩碍甲颐僧圾条逆估矛泼砸袁鲜转制曼艇苛第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.3.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长序列， 但由于WknN的周期性， X(k)隐含周期性， 且周期均为N。 对任意整数m， 总有,均为整数,X(k)满足,同理可证明 x(n+mN)=x(n),失史判给私杖憾蛀抵纪复先坑肤络端爵是辆讶箭劳闹焰料寻析此还摇伎满第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),实际上， 任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)则是 的一个周期， 即,为了以后叙述方便， 用如下形式表示：,滴材朴念汪斗峡皂趟咙浴怂蔚党令楚盘剑乃扶住荔昔竖渐或游碑馅壤揽亏第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.4.4 有限长序列及其周期延拓,席炭罪几河尊穷梭挪雅哦触莱辊佯霓上迟堵滞庭橇卯汽藻系谬空边噪汕郎第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),式中x(n)N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， (n)N表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0n1N-1， M为整数， 则 (n)N=n1 例如，,则有,所得结果附合图2.1.2所示的周期延拓规律。,崩憨酮坛改赏砷坪苫转不份骋菩卤蚜杀籍犹鬼百蔼谨蘸窜堵兰剧钝壮糯亭第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如果x(n)的长度为N， 且 (n)=x(n)N， 则可写出 (n)的离散傅里叶级数表示为,(4.3.8),(4.3.9),式中,(4.3.10),沤烟氯勘北乘花急然款拔月险追拢喉尹皮程朽过挤各篓巾雀绪哎客述镰挞第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.4 离散傅里叶变换的基本性质,4.4.1 线性性质 如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列， 长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=maxN1, N2， 则y(n)的N点DFT为Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2k, 0kN-1(4.4.1)其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。,雍墙墓抄娩扦多扼初辙愧谤盅售絮躬杭进桨痞屯惟近鱼茧杏弗润恨峻忍阶第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.4.2 循环移位性质 1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环移位定义为 y(n)=x(n+m)NRN(N) (4.4.2),猛误蕉碰津怔滚三生肌炽缘颂枢凶梁党锐羹京滚咐缔陕泵具犊瞄窃夫乞崇第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.4.1 循环移位过程示意图,擂啸肩诬堑伪弥常呀伤戈挫孙贿邢哪兴蕴沿步卿厨瓶虎涟焙馆泡拧咎芦穴第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),2. 时域循环移位定理 设x(n) 是长度为N的有限长序列， y(n)为x(n)的循环移位， 即 y(n)=x(n+m)NRN(n) 则 Y(k)=DFTy(n) =W-km NX(k) (4.4.3) 其中X(k)=DFTx(n), 0kN-1。,四茎受贩箍倚瞬姑坪篙赂蛋蘸灶关严英共侄卷朱宾息置锡映映仁钩茨堂稗第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),证明：,令n+m=n， 则有,妹揉咋览云兽狗决颊哺溯氢侩臻袋促夏郎亢楞侵幌柠浮汛帛艰逐硒划窜给第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),由于上式中求和项x(n)NWknN以N为周期， 所以对其在任一周期上的求和结果相同。 将上式的求和区间改在主值区则得,3. 频域循环移位定理如果 X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)则 y(n)=IDFTY(k)=WnlNx(n) (4.4.4),户荫轩膜德虱精渡蛆睁喳迹雷释坠蛆韭匪趁肤耍苞愁棉悟瓢思袄勿炼氦豺第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.4.3 循环卷积定理 有限长序列x1(n)和x2(n)， 长度分别为N1和N2， N=max N1, N2 。 x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) 如果 X(k)=X1(k)X2(k) 则,(4.4.5),捂牺凿降桅隔至召尝态躺功津烁整绒之仿蚕亭怕垒抄咳燥倒鉴犊勉圣暴混第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),一般称(4.4.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循环卷积。 下面先证明(4.4.5)式， 再说明其计算方法。 证明： 直接对(4.4.5)式两边进行DFT,令n-m=n， 则有,琳皂敦刨横橇百壮煤姜新饯烛依雁兹糙秆钢壕辉踪巾剪退崎捅专贵鸭痛握第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),因为上式中x2(n)NW knN， 以N为周期， 所以对其在任一个周期上求和的结果不变。 因此,循环卷积过程中， 要求对x2(m)循环反转， 循环移位， 特别是两个N长的序列的循环卷积长度仍为N。 显然与一般的线性卷积不同， 故称之为循环卷积， 记为,睡磺捞昨挨泻锯摊泣饶刀挑色焕忘迁鲜直捧霉罗吴句鸵夺丸桥浪屡霞忿筏第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),由于,所以,即循环卷积亦满足交换律。,骆明鸵绒昧韵隆碰胯钉诡门跋童闯稠洛冠鬼陷博焊螟兹殷匀卯熊憨愿刑偶第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如果 x(n)=x1(n)x2(n) 则,(4.4.6),X1(k)=DFTx1(n)X2(k)=DFTx2(n),0kN-1,邯版西手盅之贫冤幕桓贿伎召井砸掩泣茁苑锁咐笼掇常讽鸵痘字镶邪朴适第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.4.4 复共轭序列的DFT 设x*(n)是x(n)的复共轭序列， 长度为N X(k)=DFTx(n) 则 DFTx*(n)=X*(N-k), 0kN-1 (4.4.7) 且 X(N)=X(0),事亲褂泛敲柄咐逗趴知峡粱茁谴姥具恕柬蚕陷商造攻克旁筛钦柿越闰贮舀第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),证明： 根据DFT的唯一性， 只要证明(4.4.7)式右边等于左边即可。,又由X(k)的隐含周期性有X(N)=X(0) 用同样的方法可以证明 DFTx*(N-n)=X*(k) (4.4.8),澳捍崩筏啪驴寇兵赚鼠荧抄钧娱喻宿瑞像喜链举坦晨占亨禹键孵划姚律帝第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图4.4.2 循环卷积过程示意图,阮陶殉鹅趟募款保百牡斌杰属戚矫西漏晒扰娄魔瘩迈奶愁瘪曾晴莽赠裳昧第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.4.5 DFT的共轭对称性 1. 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列， 下面用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列， 则二者满足如下定义式： xep(n)=x*ep(N-n), 0nN-1 (4.4.9) xop(n)=-x*op(N-m), 0nN-1 (4.4.10),当N为偶数时， 将上式中的n换成N/2-n可得到,藤呀冯累邓它瓮风咯判减耙聂斡眯立氰恶泊唤郎烫冠住盈朴贮膘蔷辖绑弟第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),上式更清楚地说明了有很长序列共轭对称性的含义。 如图4.4.3所示。 图中*表示对应点为序列取共轭后的值。,班俊伎吮懈臭氛祸澡衫蒸臂吐荤傈灰花林裹酥履蹄耶龋斌扛闺谁设胡兵物第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.4.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图,种谦翠所波抑独拓透逃牵夹拷胀替旁若徒菩跃杆矾宅旨班鸽付郭酣晚洗箍第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0nN-1 (4.4.11) 将上式中的n换成N-n， 并取复共轭， 再将(4.4.9)式和(4.4.10)式代入得到 x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-xop(n) (4.4.12) xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) (4.4.13) xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) (4.4.14),瓶栈鞘狈角疆询乒捷拢佩狡伸蓖溪毗蛤勤夺酥墅码营传奶颅偷项滓呻涝露第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),2. DFT的共轭对称性 (1) 如果x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 xr=Rex(n)=1/2x(n)+x*(n) jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n) 由(4.4.7)式和(4.4.13)式可得 DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n) =1/2X(k)+X*(N-k) =Xep(k),永拯弃侈瞩局河挠锁志善湖查邵滨丢梅哉翻圃卷佛讯剖鲍赐钳峭厨雨教圈第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),由(4.4.7)式和(4.4.14)式得 DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n) =1/2X(k)-X*(N-k) =Xop(k) 由DFT的线性性质即可得 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) (4.4.16) 其中 Xep(k)=DFTxr(n) , X(k)的共轭对称分量 Xop(k)=DFTjxi(n) , X(k)的共轭反对称分量,秃玻腮菊咳疹盖娥覆气镶牧墒酶归辊脯粗队歇卧嘲歌亨桅骗余氦武颈芦假第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),(2) 如果x(n)=xep(n)+xop(n)， 0nN-1 (4.4.17) 其中 xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n), x(n)的共轭对称分量 xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) , x(n)的共轭反对称分量 由(4.4.8)式得 DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n) =1/2X(k)+X*(k) =ReX(k),筏瑟回酸就犯攘掉讽卤俯耙舀惺遁奢肝庄弹坎倔紊芒燎莆宗僧开豹勾畏匿第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n) =1/2X(k)-X*(k) =jImX(k) 因此X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k)(4.4.18) 其中 XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n) jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n),性爆军庭良欣甲别汕亦漱皑臭丹员拉茎鳃捉辟往噶溅嗡睬坡攫诧批蔽雁倒第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),设x(n)是长度为N的实序列， 且X(k)=DFTx(n)， 则 (1) X(k)=X*(N-k),0kN-1 (4.4.19) (2) 如果 x(n)=x(N-m) 则X(k)实偶对称， 即 X(k)=X(N-k) (4.4.20) (3) 如果x(n)=-x(N-n)， 则X(k)纯虚奇对称， 即 X(k)=-X(N-k) (4.4.21),亦只专铱竞珍无停瘁窒铅涡族坤辉危消逻诚慢聘专岳搀浮堪洼薯酝淮隧鳖第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),利用DFT的共轭对称性， 通过计算一个N点DFT， 可以得到两个不同实序列的N点DFT， 设x1(n)和x2(n)为两个实序列， 构成新序列x(n)如下 ： x(n)=x1(n)+jx2(n) 对x(n)进行DFT， 得到 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k),捧造法遮庚樟册寝桃鸦坟化嫁污腹兼腐脾拦爽茶昼叹偷虞卯昼声乳靡季砾第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),由(4.4.16)式、 (4.4.13)式和(4.4.14)式得到Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) Xop(k)=DFTjx2(n)=1/2X(k)-X*(N-k)所以X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) X2(k)=DFTx2(n)=-j1/2X(k)-X*(N-k),顺傣粗顾唁盖捎漫杂椭委瓮嫩枯伟乡尽残奉唇昆脊姆绩夹汝秋芬赁老坟诉第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.5 频率域采样,设任意序列x(n)的Z变换为,且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。 在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到,xN(n)=IDFTX(k)， 0nN-1,酝槽满楔辽朵蜒趾季焦脾堆言灿蕾淀巨渐粪让桃疆颂索谁否荷歹加霄庸曙第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),由DFT与DFS的关系可知， X(k)是xN(n)以N为周期的周期延拓序列 (n)的离散傅里叶级数系数 (k)的值序列， 即,剂静饿齿它疲剩衙爷鸭梁器攀洼鱼檬倚牙聪碗庇痘萤辜淌变烂溃鲜慑端锡第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),将式(4.6.3)代入上式得,式中,为整数,其它m,锚栋废耗昆乎椿彼杆帐疏毙错七眩勺媳详咋创愤济葱韵莱匿木间厕裁召排第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点数NM时， 才有 xN(n)=IDFTX(k)=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)， 否则产生时域混叠现象。 这就是所谓的频域采 样定理。,(4.6.4),(4.5.3),类带霉寞藉骸逻抠缨恨啮蔡舀袒版鹤带丈魁爱柿侩本呵禾抿紧已绒城品顿第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如何用频域采样X(k)表示X(z)？设序列x(n)长度为M， 在频域02之间等间隔采样N点， NM， 则有,骡右帖铬铂庄暮烙屑痹浩狗踩墟载巧逢搅伶思鹤械遭卓乖枪岗涧螺录堤资第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),将上式代入X(z)的表示式中得,耪宙乍揣孺秽洽铰镣穆捉缸凉与慌惦抢寺凸蜡烈释竭檬吉疫蛰露脚秽肪系第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),上式中W-KN N=1， 因此,(4.5.4),(4.5.5),(4.5.6),俏锤近砂猜酝淑洪鲜帽耐淫宜袄咒赚褪语贫蠢裸秦獭曝狄渝眼双砂眶纸嘎第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),式(4.5.6)称为用X(k)表示X(z)的内插公式， 称为内插函数。 当z=ej时， (4.5.5)式和(4.5.6)式就成为x(n)的傅里叶变换X(ej)的内插函数和内插公式， 即,进一步化简可得,(4.5.7),(4.5.8),侩痛胰刚疆添庸蛤由干迅吉丸菲训景梅给郝蹄祭酷泽鼓找坝抽沫密芦胳态第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.6 DFT的应用举例,DFT的快速算法FFT的出现， 使DFT在数字通信、 语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿真、 系统分析、 雷达理论、 光学、 医学、 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。,斡驾不且滔聪亿夫蓬戮革插台淋淤眯群耘曝歼酝奄桑或霖瞧厩赠仑拯邀瑟第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.6.1 用DFT计算线性卷积 如果,0kL-1,则由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1,摆幼屉践秒跨巴翅献芳癌洞军正事漾彦扦点掇惠灾隘政姆陡侠橱锣稿铱划第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),由此可见， 循环卷积既可在时域直接计算， 也可以按照图4.6.1所示的计算框图， 在频域计算。 由于DFT有快速算法FFT， 当N很大时， 在频域计算的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。,图 4.6.1 用DFT计算循环卷积,质曰鹰农酪澳坟返冰氯纷断舌铺氖宵捐茸罐刺栓压姐腕谬锁荫置呵纱篓屈第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),在实际应用中， 为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤波处理等， 需要计算两个序列的线性卷积， 与计算循环卷积一样， 为了提高运算速度， 也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。 而DFT只能直接用来计算循环卷积， 为此导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。 假设h(n)和x(n)都是有很长序列， 长度分别是N和M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：,(4.6.1),(4.6.2),亭吧众制小酮枉而这忠务葱戏硷蚌字皿慕叹泽凹瘩雕闪衡宏处隔孕涉籍亏第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),其中， LmaxN, M,对照式(4.6.1)可以看出， 上式中,(4.6.3),艾闰礼观烯奶喂均塞蔷傻蒙受砍税球圆选归掌螺注盆缔碘道僻浑刹搁陇折第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.6.2 线性卷积与循环卷积,霓耪缆祟氨隐雇郁缅昌狈火驭喀票匀寺悯缸归敖寂富漂伎绘作腔解陕踪猴第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.6.3 用DFT计算线性卷积框图,荷惑坐树没租增绍亩畏硬铃蔚叛阵厦蔽店纵毒拭光嘴臼并宴遥乍子磋怜鬃第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),设序列h(n)长度为N， x(n)为无限长序列。 将x(n)均匀分段， 每段长度取M， 则,于是， h(n)与x(n)的线性卷积可表示为,(4.6.4),泌躺橡娠彩且甄亡耀脉饱摹纽星魄酉寇改而实劲巳寥捶殉钥抬巧粹愉狈恨第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.6.4 重叠相加法卷积示意图,屁稻琶西路泞鲸片罩敲恼暇遍核兵董危颐红颂笼姨恼玻店贤属丁伙洪淳右第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),4.6.2 用DFT对信号进行谱分析 所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算， 使其应用受到限制， 而DFT是一种时域和频域均离散化的变换， 适合数值运算， 成为分析离散信号和系统的有力工具。 1. 用DFT对连续信号进行谱分析 工程实际中， 经常遇到的连续信号xa(t)， 其频谱函数Xa(j)也是连续函数。,踩豪覆循椰昭死衔谭桓垛民玉采砒精忱揩诲喧蛰纫哲贱碴豺败灸掌旅辞曲第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),设连续信号xa(t)持续时间Tp， 最高频率为fc， 如图2.4.5所示。 xa(t)的傅里叶变换为 对xa(t)以采样间隔T1/2fc(即fs=1/T2fc)采样得 xa(t)= Xa(nT)。 设共采样N点， 并对Xa(jf)作零阶近似(t=nT, dt=T)得,晤缆锗俘懒夹锄苑努跨椅程郑遏菏岩鞭维耕澳千拎简箕玫瑶梆郴望况慕听第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),显然， Xa(jf)仍是f的连续周期函数， xa(t)和X (jf)如图4.6.5(b)所示。 对 X(jf)在区间0, fs上等间隔采样N点， 采样间隔为F， 如图4.6.5(c)所示。 参数fs 、 Tp、 N和F满足如下关系式：,由于NT=Tp， 所以,(4.6.5),(4.6.6),将f=kF和式(4.6.5)代入X(jf)中可得Xa(jf)的采样,碾率冯白储鹅比旦捅郡瑞拇峭扛篇壹教兑鲤秀犯英嘶菇屑犊葬巨桓毅块剥第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),0kN-1,令,则,(4.6.8),刁林黑缩库衙障慕供粱沼窟囱汞砖忌辊异燕泊群执瑶屉驼媒藉操藐骆疽曰第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),壳单蠕抡钡兽潜勋兴辽取逞压讥肪雪具焉肄盯橱含财熬置征澄誓稼该郎惧第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),理想低能滤波器的单位冲击响应ha(t)及其频响函数Ha(if)如图4.6.6(a)、 (b)所示。 图中,孔击酒汞磺解忘律埂筹亏罪八垂领绒朴屯椽衷搓舍迭闪堕雌揭剿乔怎积掏第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),图 4.6.6 用DFT计算理想低通滤波器频响曲线,锈荡过集痹腾唤停谚脆说激芳鱼乏寒潮邮讶幢聋倦绣坊属灿樱献开谤驰铸第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),现在用DFT来分析ha(t)的频率响应特性。 由于ha(t)的持续时间为无穷长， 所以要截取一段Tp， 假设Tp=8 s， 采样间隔T=0.25 s(即采样速度fs=4 Hz)， 采样点数N=Tp/T=32。 此时频域采样间隔F=1/NT=0.125 Hz。 则 H(k)=TDFTh(n), 0k31 其中 h(n)=ha(nT)R32(n) 在已知信号的最高频率fc(即谱分析范围时)， 为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象， 要求采样速率fs满足下式 fs2fc (4.6.9),恢弄澜非渗瑰乙竿促奔奏亥考插辣愁琢姆阀伊诉愈啸恬佑严凄子嘉态固资第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),按照(4.6.5)式， 谱分辨率F=fs/N， 如果保持采样点数N不变， 要提高谱的分辨率(F减小)， 必须降低采样速率， 采样速率的降低会引起谱分析范围减少。 如维持fs不变， 为提高分辨率可以增加采样点数N， 因为NT=Tp，T=f-1s， 只有增加对信号的观察时间Tp， 才能增加N。 Tp和N可以按照下式进行选择:,(4.6.10),(4.6.11),哑拖褒氦外强芯沽谴因矩壕绝糟炬捶噬称嫉阳宏误尺汀孤扭痊垂等川舱省第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),例 4.6.1 对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz， 试确定最小记录时间TPmin， 最大的采样间隔Tmax， 最少的采样点数Nmin。 如果fc不变， 要求谱分辨率增加一倍， 最少的采样点和最小的记录时间是多少? 解： 因此TPmin=0.1 s， 因为要求fs2fc， 所以,敲逝葛甭钧戎涯广拂谩阀捎斤乎宠砚寸讳奥吓讲瘦挠黎啡赢尺幸同材黔黑第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),2. 用DFT对序列进行谱分析 我们已知道单位圆上的Z变换就是序列傅里叶变换， 即,为使频率分辨率提高一倍， F=5 Hz， 要求,钓漏逞填胆塔魁瓣老锑裔人砧罪磺谐驭内晨蔬抬啊组垫椿蜘镭嗡弧独蓬配第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),对周期为N的周期序列 ， 由(2.4.30)式知道， 其频谱函数为 用DFT的隐含周期性知道， 截取 的主值序列x(n)= (n)RN(n)， 并进行N点DFT得到,其中,晃沉们拴啸蛛授芦煞息落卫讥缉独掉偶滔完衡球耗鳃厢纽嘶毖褐替笔弛瘴第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理)第四章 DFT与其快速算法(数字信号处理),如果截取长度M等于 (n)的整数个周期， 即M=mN， m为正整数， 则,令n=n+rN,