初一预科班数学讲义(打印稿).doc

第一章 有理数1.1 具有相反意义的量学习目标： 1.用正数和负数表示生活中一对具有相反意义量； 2.从具体情境中，体会引入正数、负数的必要性和合理性； 3.理解有理数的意义，会对有理数进行分类.学习重点： 用正数和负数表示一对具有相反意义量.学习难点：负数概念的建立.一：用正数、负数表示具有相反意义的量为了便于区分相反意义的量，我们把其中一种量用 表示，例如：我们小学学过的3、125、10.5、等大于0的自然数和分数（或小数）就是正数，而另一种量就用 表示，它是在正数前面加上“-”（读做负）号.例如：3、-1、-0.618、-等就是负数.（1） 0既不是 ，也不是 .（2） 正数和零统称为 ，负数和零统称为 .（3） 通常把水结冰时的温度规定为0，那么比水结冰时的温度低5应该记作 （4） 如果在东西向的马路上把出发点记为0，把向东走的路程记做正数，那么走-50m表示 点拨：（1） 在具有相反意义的一对量中，谁用正数表示，谁用负数表示是人为地规定的.如：向东走100米记为+100米，则向西走80米记作-80米，也可以向东走100米记为-100米，则向西走80米记作+80米.（2） 有的时候在正数前面加上“+”（读作正），以强调它是正数.例如正数5写作+5，但通常把“+”号省略不写.（3） 判断一个数是正数还是负数，不能简单地认为带有正号的数就是正数，带有负号的数就是负数.（4） 0既不是正数，也不是负数，正数都大于0，负数都小于0.典例分析例1、 在一次体育课上，体育老师让同学们练习踢毽子，以踢7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中8名同学的成绩分别为-1、0、3、4、-2、0、1、2.（1） 这8名同学的实际成绩分别是多少？（2）这8名同学中有几个人达标（即踢7个或7个以上）解：（1）这8名同学的实际成绩分别是6个、7个、10个、11个、5个、7个、8个、9个.(2)这8名同学中有6人达标.二：有理数的分类(1)有理数的分类正整数 有理数正分数 有理数负整数 有理数负分数非负数非正数(2)有下列数：3.6、-、78、0、-0.37、9、-5.14、-1，其中 整数： 分数： (3)下列有理数中，哪些是非负数，哪些是负数？ -0.414、-7、2.7、-、2010、0、-10.3、 2点拨（1）对有理数进行分类时，分类标准不同，分类结果也不同，其中整数与分数相应，正数与负数对应，要特别注意0既不是正数，也不是负数，零是整数，也是有理数.（2）正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和0统称为非负整数.（即自然数）例2、把下列各数填入相应的大括号内 -24、2.8、49、-5.3、-、0、-（-1）、-5.4（1） 正整数集合： （2） 负整数集合： （3） 正分数集合： （4） 负分数集合： （5） 非负数集合： 达标检测1、 面粉厂运进200吨面粉记做+200吨，那么运出50吨面粉记作 吨.2、若买进20件衣服记为+20件，那么-30件表示 .3、一艘潜艇在水面下-50米执行任务，其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处高度为 米. 4、一种红富士苹果箱上标明苹果质量为15kg0.02kg，若某箱苹果重14.95kg ,则这箱苹果 标准.（填“符合”或“不符合”）5、下列关于0的说法中正确的有（ ）0是整数，0是有理数 0既不是正数，也不是负数0不是整数，是有理数 0是整数，不是自然数 A、4个 B、3个 C、2个 D、1个6、某班数学平均成绩为87分，若90分记为+3分，则85分记为（ ）7、某种药品的说明书上标明保存温度是（202），请你写出适合药品保存的温度 .8、有一列数：-、-、那么第7个数是 .9、有一列数：1、2、-3、-4、5、6、-7、-8，则这列数的第100个和第2005个数分别是 1.2 数轴 相反数与绝对值1.2.1 数轴学习目标： 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三个要素，能正确地画数轴.2.能在数轴上标出表示已知有理数的点，能写出数轴上的某些点所表示的有理数.3.通过理解数轴上的点与有理数之间的关系，渗透数形结合的数学思想.学习重点：正确画数轴；在数轴上标出表示已知有理数的点；写出数轴上的某些点所表示的有理数.学习难点： 数轴上的点与有理数之间的关系.1、 概念点拨（1）数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（同一数轴的单位长度要一致）（3）任何有理数都可以用数轴上的唯一的一个点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数.（4）在数轴上，正数用原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示，反过来，原点右边的点都表示正数，原点左边的点都表示负数，原点表示零.（5）在数轴上标注数字时，负数的次序不能写错.数轴的画法：a、画一条直线，(一般画成水平的直线)b、在直线上选取一点为原点，并用这点表示零(在原点下面标上“0”)c、确定正方向，(一般规定向右为正方向，用箭头出来；d、选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3，从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3 。画数轴时要注意以下几点：第一画数轴时一定要牢牢把握数轴的三个要素，三者缺一不可，常见的错误有：没有方向，没有原点，单位长度不统一，负数排列错误。检测：（1） 下列所画数轴是否正确？正确的画“” ，不正确的画“”.并说明错误原因. -1 0 2 3 4 2 1 0 1 2 1 0 1 2 （2） 把下列各数和数轴上对应的点用线连接起来0 2 3 3.5 4.25（3） 数轴上在原点右边距原点3.7个单位长度的点表示的数是 . 数轴上在原点左边距原点5/8个单位长度的点表示的数是 . 数轴上距原点2个单位长度的点有 个，它们分别表示数 . (4)画一条数轴，并标出表示下列各数的点. 2 0.8 0.8 2例题分析；1、数轴上的点A到原点的距离是6，则点表示的数为（ ）数轴上的点A表示数，与点A距离3个单位长度的点B所表示的数为 .2、数轴上一个点从原点开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，则该点运动的终点表示的数是 . 达标检测：1.在数轴上表示+3的点A在原点的 侧，距原点 个单位，表示4的点B在原点的 侧，距原点 个单位，AB相距 个单位.2.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列说法中正解的是（ ） c 0 a b A. a、b、c 都是正数. B. a、b、c 都是负数. C. a、b是正数，c 是负数. D. a、b是负数、c 是正数. 3.如图所示，数轴被一滴墨水污染了，被污染的点表示的有理数有 个. A.3 B.2 C.1 D.无数4.指出数轴上A、B、O、C、D各表示什么数. A B O C D5.分别指出数轴上表示2、34、0、1各数的点 A B C D E F G H6.画一条数轴，并在数轴上描出下列表示各数的点 2、0、4、3、7.在数轴上大于1.5而小于1的整数有 个,它们是 .8.数轴上一动点向左移动2个单位到达B，再向右移动5个单位到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为 .1.2.2 相反数学习目标：1.借助数轴理解相反数的概念，会求一个数的相反数.2.利用数轴上的数及点的位置特征，体验数形结合的数学思想.学习重点：求一个有理数的相反数.学习难点：互为相反数的两个点在数轴上的表示.1、知识回忆：什么叫数轴，如何画数轴？在画数轴的过程中，要注意哪些方面的问题？(口答)2.（1） 的两个数叫做互为相反数，数a的相反数记做（ ）。（2）表示互为相反数的两个数的点，在数轴上分别位于原点的 ，并与原点的距离 .因为（+5）读作正5的 ，所以（+5） .因为（5）读作负5的 ，所以（5） .2.8是 的相反数， 的相反数是2.(+0.8) （9） 3.点拨数a的相反数记作a，这里的a可以是正数、负数或0，即任何一个数都只有一个相反数.正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.所以a一定是负数吗？互为相反数的两个点，在数轴上分别位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.例题分析：例1、化简：（5） +（4） （9） （+2） 例2、分别读出下列各数的相反数. 8 0 a+5 （3）例3、已知a2与5互为相反数，求a的值.达标检测：1.1.6是 的相反数， 的相反数是2.若a15，则a .若a8，则a . 3.一个数的相反数的倒数是，则这个数是 .4.下列几对数中，互为相反数的一对为（ ） A.（6）和（+6） B.（6）和+（+6） C.+（6）和+（+6） D. （6）和+（6）5. 若m2与+1互为相反数，则m是多少？6.若数与互为相反数，求a的相反数.7.已知a、b、c、d都是不为0的有理数，且a、b互为相反数，c、d互为相反数，求3a+3b的值.8.已知m为有理数，试比较m与m的大小.1.2.3 绝对值学习目标：1.借助数轴理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值。2.通过对a的讨论的学习，体会分类时应做到不重复、不遗漏，感受符号意识：符号是数学表达的重要形式，这里a可表示任意一个有理数，用符号运算具有一般性。3.通过绝对值几何意义的理解，感受数形结合的思想。学习重点：求一个数的绝对值。学习难点：对a的讨论及对绝对值几何意义的理解。1.知识回忆：在数轴上表示下列各数及它们的相反数的点： 4,2,-3,-62.点拨1) 绝对值的几何意义，在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。所以任意一个数的绝对值都是非负数，也称为绝对值的非负性，即对于任意有理数a都有a0.2) 绝对值的代数意义：a(a0)0 -a(aa，则a是 数。3）若m、n为有理数，且m1+n+20，则m= ，n= 。 思路点拨： 1）因为绝对值等于2的数有2和2两个，所以a-12或a-1-2,故a3或a1。 2）将等式变形得aa，故a0，aa，故a0。而aa，因为正数和0的绝对值都等于它本身，只有负数的绝对值大于它本身，所以a是负数。 3）因为m10，n+20，所以只有当m10和n+20时，等式才成立，故m1，n2.达标检测：1.+2= ；= ；5= ； = ；+2.6= ； 0 = 2.绝对值是的数是 。 3.绝对值小于3的整数是 。4.计算：12325.下列说法正确的是（ ） A.+7的绝对值与7的绝对值互为相反数 B.绝对值最小的数是0C.如果数a的绝对值等于a，那么a一定是正数。D.一个数的绝对值越大，表示它的点在以向右为正方向的数轴上越靠右。6.下列各题正确的是（ ）若mn，则mn 若mn，则mn若mn，则mn若mn，则mnA. B. C. D.7.已知a5，b2，c8，求3a2bc的值。8.若aa，则a的取值范围是（ ）A.a0 B.a0 C.a0 D.a0 9.已a-5,ab，求b的值。10. 3+4的计算结果是 。11. 3+x1的最小值是 ； 3x1的最小值是 。12.已知数轴上A、B两点分别表示3、6，若在数轴上找一点C，使得A与C的距离是4，找一点D，使得B与D的距离为1，则下列不可能为C与D的距离的是（ ） A.0 B.2 C.4 D.6 1.3 有理数大小的比较学习目标：掌握任意两个有理数大小的比较方法.学习重点、难点： 两个负有理数的大小比较我们已经会比较正数的大小，如53，并且还知道正数都大于0，负数都小于0，那么如何比较2与3的大小呢？1.点拨（1） 比较有理数的大小的方法有：用正负性来比较两个数的大小，用绝对值比较两个负数的大小，用数轴来比较两个数的大小.（2） 借助数轴渗透数形结合思想，比较有理数的大小.2.检测（1）比较下列各组数的大小：896 0.01 ：1.5 1.4 ： ：（+5.5） 4.5（2）在一条数轴上分别标出下列各数的点，并把这些数用“”连接起来. 0 3 4 1.53.例题分析 （1）绝对值不大于4的整数是 . a 0 1 （2）如图所示，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a、a、1的大小关系正确的是：（ ）A. a1-a B.a-a1 C.1-aa D. -aaa B.abC.ab D. b a 思路点拨：（1）题中“不大于”是指“小于或等于”，此题不要忽略了符合条件的负整数，所以符合条件的整数是0、1、2、3、4.（2）（3）题中将a、b两个有理数的相反数a、b在数轴表示出来，借助数轴来比较大小，渗透数形结合的思想.达标检测1.比较下列各组数的大小.（1）59 0 （2）0.01 0.001、（3）0.1 3.5 （4） 0.33 （5）98 2 （6）（3） 22. 下列说法正确的是（ ）. A.有最大的正数 B.有最大的负数 C.有最大的正整数 D.有最大的负整数 3.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ） c a 0 bA.ca0b B、abc0 C.acb0 D.b0ac4、画数轴，在数轴上找出表示下列各数的对应点，并按从小到大的顺序排列. +5 3 0 1 25、 已知a=5,b=3，且ab，求a、b的值.6. 已知ab0,则下列两数的大小如下：（1） a b, (2)a b7.已知a0、bb，则a+b的值为多少？5、 小明同学在一条东西向跑道上跑步，他先向东跑了20米，又向西跑了30米，接着又向东跑了10米，试根据题意画出合适的数轴并列出算式计算，他现在位于什么位置？与原来位置相距多少米？6.若a0，b0.a|a|，则ab08.观察下列各等式： 、，依照以上各式成立的规律，在括号中填入适当的数，使等式+2成立。 9、+1.4.2 有理数的减法（第二课时）学习目标： 1、理解代数和的意义 2、进一步理解有理数加减运算法则，熟练地进行运算，提高运算能力学习重点、难点：加减混合运算中的运算序与符号的确定1、知识回忆： 有理数加法法则是什么？ 有理数减法法则是什么？2.点拨1） 利用有理数减法法则可以把减法转化成加法，把有理数的加减混合运算统一成加法运算后再计算，这里运用了转化思想。2） 在一个和式中可以把各个加数的括号和括号前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式，称为代数和。如（+8）+（3）+7+（2）可写成83+72，读作+8、负3、正7、负2的和或读作8减3加7减2，正解理解算式中“+”、“”的含义，它们省双重含义，可以理解为性质符号。读作“正”、“负”，也可以理解为运算符号，读作“加”、“减”。3.检测题计算：（1）6（4）3+（5） （2）（10.5）+（8.6）（9.6）+10 （3）（3）（4.5）+（6.5）（2.5）例题分析例1、计算： +（）（）+（） + （）（5）+（4）（+3）例2.超市有7筐西红柿，每筐以12kg为标准，超过或不足的千克数分别用正数、负数表示，称重记录如下：（单位：kg）：1、+1.5、2、0.5、1.5、1.5、1。求这7筐西红柿的总质量。 思路点拨：（1）将加减法统一成加法，可以运用加法运算律进行计算，注意每个加数应包括它前面的符号。（2）此题引导学生用两种方法求7筐西红柿的总质量，然后比一比哪种方法较简便。 解：1方法一：（2）+（1.5）+2+（0.5）+（1.5）+1.5+1 （1）+1+（+1.5）+（1.5）+2+（0.5）+（+1.5） =2+1 =3(kg) 127+3=87(kg) 答：这7筐西红柿的总质量是87kg.2方法二：七筐西红柿的质量分别为(单位：kg）：11、13.5、14、11.5、10.5、13.5、13，所以7筐西红柿的总质量为：11+13.5+14+11.5+10.5+13.5+1387（kg）达标检测 1.2+3可以看作2加上3，也可以看成 。 2.把下列算式中的减法转化为加法，并写成省略加号的和的形式。（+1）（9）+（3）（4）（+2） 。 3.将6（+3）（7）+（5）写成省略加号的代数和形式正确的是（ ）A.6+375 B.6375 C.63+75 D.63+754.104+35读法中正确的是（ ）A.10减去4加上3减去5 B.10减4加3减5C.10、4、+3、负5 D.负10、负4、正3、负5的和5、计算下列各题（32）17（65）+5 （）（）+（）1314+2726 +0.6（21）6、 有一组数按一定规律排列，依次是1、2、3、4、5、6、x、8、9，则xy 。 7、 +1.5.1 有理数的乘法（1）学习目标：掌握有理数乘法法则，并能运用法则进行简单计算。学习重点：乘法法则的推出。学习难点：运用法则进行计算。我们已经熟悉了非负数的乘法运算，例如：5315，144，030.那么如何计算（5）3、3（5）、（5）（3）呢？1、点拨有理数乘法法则，同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘，任何数与0相乘，都得0.有理数乘法步骤：第一步，确定积的符号，第二步，计算积的绝对值。 2.检测题 （1）填空：因数因数积的符号绝对值的积积2710.310 (2) 计算： （） （）（） （）（1） 0（）例题分析 例1.计算： （4）（） （1.25）（+8） 例2、某肉联厂的冷藏库能使冷藏品每小时降温4，如刚进库的鱼为15，进库9小时后，可达多少？ 思路点拨：（1）有理数乘法根据乘法法则先确定积的符号再计算积的绝对值，带分数化为假分数，小数化为分数，以便于约分。（2）因为每小时降温4，所以9小时后降温4936，故9小时后鱼的温度是：153621。达标检测 1.一个数乘以1，就是原数的 。 2.两数相乘，积为负，这两个数 。（同号异号）3.计算（4）（） 。4.计算（）（）（）（ ）05.大于2且小于3的所有整数的和为 ，积为 。6.若ab0，那么（ ）A.a=0 B.b=0 C.a、b均为0 D.a、b中至少有一个为0.7.两个互为相反数的数相乘，积为（ ）A.正数 B.负数 C.零 D.负数或零8.有理数a、b满足a+b0,且ab0，则有（ ） A.a0 b0 B.a0 b0 C.a.b同号 D.a、b异号9. 对于有理数a、b定义一种新的运算，即ab（a+2b）(a-2b),则3（2）（ ）10. 计算：（1） （10）（0.2） （2）11 （3）（0.25）（1）（4）7（1+） （5）0.2134011、求（1）（1）（1）（1）（1）的值。12. 已知a+1|+b-2|+c+3|=0，求（a-1）(b+2)(c-3)的值。1.5.1 有理数的乘法（2）学习目标： 1、熟练地进行有理数的乘法运算，并能利用乘法运算简化运算 2、掌握几个非零有理数相乘时积的符号的确定法则。学习重点、难点： 几个非零有理数相乘时积的符号的确定法则.1、 计算下列各式：（1）（2）4 4（2） （2）（2）（3）（4） （4） （2）（3）（4）（2） （3）（6）4+（9）（6） （6）4+（6）（9） + 从上面的填空题中，你发现了什么？2、点拨1）乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变，即ab=ba。 2）乘法结合律：三个有理数相乘，可以先把前两个数相乘，再把结果与第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不变。即（ab）c=a(bc)。3）乘法分配律：一个有理数同两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即a(b+c)=ab+ac。4）积的符号法则：几个不等于0的有理数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正，几个有理数相乘，有一个因数为0时，积就为0。3.检测题 （2）17（5） （15）3（4） （）74 0.1259（8） （5）（4）（3） （1.5）6（4） （）（）6 （10）280 例题分析例1、计算： （）（20） （4）（3）（5）（2.5） 例2、 计算（1）18（）（48）（+） （2）（）15（1） （3）1916 （4）354（6）+3549+354（3） 思路点拨：根据算式的特征，恰当地运用运算律，可以使运算简便，在运用乘法运算律时，能约分的、凑整的、互为倒数的数要尽可能结合在一起。 解：（1）原式1818+48+48 96+16+6 25 （2）原式（）（）15 15 （3）原式（20）16 201616 3202 318 （4）原式354（6）+9+（3） 3540 0达标检测 1.若abc0，b、c异号，则a 0。2.计算(-2)+