高中数学 3.3正弦、余弦、正切函数的图象与性质配套课件 苏教版.pptVIP

第三节正弦 余弦 正切函数的图象与性质 高考指数 f x t f x 即时应用 1 思考 常函数f x a a r 是否为周期函数 有无最小正周期 提示 是周期函数 但没有最小正周期 2 思考 若函数f x 满足f x 2 f x 函数f x 是周期函数 对吗 提示 对 因为f x 4 f x 2 f x 所以f x 是周期函数 最小正周期是4 3 函数f x sin 2x x r的最小正周期是 解析 由f x sin 2x cos2x知 f x 的最小正周期为答案 2 正弦函数 余弦函数 正切函数的图象和性质 y sinx y cosx y tanx 图象 定义域 值域 x r x r y 1 y 1 y 1 y 1 r 函数 y sinx y cosx y tanx 函数 单调性 最值 无最值 y sinx y cosx y tanx 函数 奇偶性 对称性 对称轴 最小正周期 对称中心 奇函数 偶函数 奇函数 x k k z 无对称轴 2 2 即时应用 1 函数y log3sin2x的定义域为 2 函数y cos x x 0 的值域为 3 若直线y a与函数y sinx x 2 2 的图象有4个交点 则a的取值范围是 解析 1 由sin2x 0得2k 2x 2k k z 即k x k k z 2 由0 x 而函数y cosx在 0 上单调递增 即 3 如图所示 若y sinx与y a有4个交点 则 1 a 1 答案 1 k k k z 2 1 3 1 1 三角函数的定义域 值域 方法点睛 1 三角函数的定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 组 常借助三角函数线或三角函数图象来求解 2 三角函数值域的求法 1 利用sinx和cosx的值域直接求 2 把所给的三角函数式变换成y asin x 的形式求值域 3 把sinx或cosx看作一个整体 转换成二次函数求值域 4 利用sinx cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域 例1 2012 徐州模拟 1 函数的定义域为 2 已知f x 的定义域为 0 1 则f cosx 的定义域为 3 函数y lgsin cosx 的定义域为 4 当x 时 函数y 3 sinx 2cos2x的最小值是 最大值是 解题指南 1 tanx 1 且x k k z 2 要使0 cosx 1 3 要使sin cosx 0 这里的cosx以它的值充当角 4 利用同角三角函数关系式转化成sinx的二次函数求解 规范解答 1 由tanx 1 且x k k z得x k 且x k k z 所以函数的定义域为 x x k 且x k k z 答案 x x k 且x k k z 2 0 cosx 1 2k x 2k k z 所求函数的定义域为 2k 2k k z 答案 2k 2k k z 3 由sin cosx 0 2k cosx 2k k z 又 1 cosx 1 0 cosx 1 故所求定义域为 2k 2k k z 答案 2k 2k k z 4 因为x sinx 1 y 3 sinx 2cos2x 2sin2x sinx 1 所以当当答案 互动探究 若把本例 2 中的cosx改为sinx 如何求解 解析 要使0 sinx 1 则2k x 2k k z 所求函数的定义域为 2k 2k k z 反思 感悟 1 求三角函数的定义域主要是解三角不等式 2 在求三角函数的值域时 很多时候要进行三角变换或者三角转化 这时候一定要注意所给的定义域和三角函数的值域的应用 变式备选 1 函数的定义域为 2 函数y f cosx 的定义域为 k z 则函数y f x 的定义域为 3 求函数y sinx cosx sinxcosx x 0 的最大值和最小值 解析 1 由0 sinx 得2k x 2k 或2k x 2k k z 答案 2k 2k 2k 2k k z 2 由 cosx 1 所以函数y f x 的定义域为答案 3 设sinx cosx t 当t 1时 ymax 1 当t 1时 ymin 1 三角函数的单调性 方法点睛 求三角函数的单调区间的思路 1 熟记正弦 余弦 正切函数的单调区间是求较复杂的三角函数单调区间的基础 2 求形如y asin x k的单调区间时 只需把 x 看作一个整体代入y sinx的相应单调区间内即可 注意要先把 化为正数 求y acos x k和y atan x k的单调区间类似 例2 求下列函数的单调区间 解题指南 1 要将原函数化为再求之 2 可画出y sin x 的图象 规范解答 故由 k z 为单调递减区间 由 k z 为单调递增区间 单调递减区间为单调递增区间为 2 y sin x 的图象如图 单调递增区间为 k k k z 单调递减区间为 k k k z 反思 感悟 求三角函数的单调区间的方法1 代换法所谓代换法 就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角 或t 利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间 这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间 2 图象法函数的单调性表现在图象上是 从左到右 图象上升趋势的区间为单调递增区间 图象下降趋势的区间为单调递减区间 如果能画出三角函数的图象 那它的单调区间就直观明了了 变式训练 求下列函数的单调递增区间 1 解析 1 设 2x 则y cos 当2k 2k k z 时 y cosu随u的增大而增大 又 2x 随x的增大而增大 x r 当2k 2x 2k k z 即 k z 时 y随x增大而增大 y cos 2x 的单调递增区间为 2 设则y 3sin 当 k z 时 y 3sin 随u增大而减小 又 随x增大而减小 x r 当即 k z 时 y随x增大而增大 的单调递增区间为 三角函数的奇偶性 周期性及对称性 方法点睛 1 三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性 再根据题目去判断它们的奇偶性 也可以根据图象判断 2 求三角函数周期的方法 1 利用周期函数的定义 2 利用公式 y asin x 和y acos x 的最小正周期为y tan x 的最小正周期为 3 利用图象 3 三角函数的对称性 1 正 余弦函数的图象既是中心对称图形 又是轴对称图形 2 正切函数的图象只是中心对称图形 应熟记它们的对称轴和对称中心并注意数形结合思想的应用 提醒 判断函数的奇偶性时 必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间 例3 2012 扬州模拟 设函数y sin 2x 则在下面四个结论 图象关于点 0 对称 图象关于点 0 对称 在 0 上是增函数 在 0 上是增函数 其中所有正确结论的编号为 解题指南 依据正弦函数的图象及单调性 周期性以及对称性逐一判断 规范解答 当时 y sin 0 f x 的图象关于成中心对称 故 错误 正确 由得 即当时 y递增 故y在上是递增的 故 正确 y在上是递增的 在上是递减的 故 错误 答案 反思 感悟 三角函数的周期性 对称性是三角函数的特有性质 要切实掌握 而且经常考查 解决时要注意结合三角函数的图象 其中对称性包含轴对称和中心对称 变式训练 1 如果函数y 3cos 2x 的图象关于点中心对称 那么 的最小值是 2 y sinx 的最小正周期为 3 y 2cosx x 0 2 与y 2围成的封闭图形的面积为 解析 1 y cosx的对称中心为 k 0 k z 由 k z 得 k z 当k 2时 min 2 作出y sinx 的图象如图所示 函数y sinx 的最小正周期为 3 如图 方法一 由y 2cosx的图象成中心对称可知 部分面积相等 部分面积相等 所求面积即阴影部分面积s s矩形oecd 4 方法二 由对称性可知 s s矩形abcd 4 答案 1 2 3 4 易错误区 三角函数的性质应用误区 典例 2011 安徽高考 设f x asin2x bcos2x 其中a b r ab 0 若f x f 对一切x r恒成立 则 f x 既不是奇函数也不是偶函数 f x 的单调递增区间是 k z 存在经过点 a b 的直线与函数f x 的图象不相交 以上结论正确的是 写出正确结论的编号 解题指南 先将f x asin2x bcos2x a b r ab 0 变形为f x sin 2x 再由f x f 对一切x r恒成立得a b之间的关系 然后顺次判断命题的正误 规范解答 由f x f 对一切x r恒成立知 直线x 是f x 的对称轴 又f x sin 2x 其中tan 的周期为 个周期 故 正确 与对称轴的距离相等 故 不正确 x 是对称轴 sin 2 1 k z k z f x 2 b sin 2x 或f x 2 b sin 2x f x 既不是奇函数也不是偶函数 故 正确 由以上知 f x 2 b sin 2x 的单调递增区间为k z f x 2 b sin 2x 的单调递增区间为 k k k z 由于f x 的解析式不确定 单调递增区间也不确定 故 不正确 f x asin2x bcos2x sin 2x 其中tan 又 ab 0 a 0 b 0 过点 a b 的直线必与函数f x 图象相交 故 不正确 答案 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 安徽高考改编 已知函数f x sin 2x 其中 为实数 若f x f 对x r恒成立 且f f 则f x 的单调递增区间是 解析 由f x f 对x r恒成立知 2 2k k z 得到 2k 或 2k k z 代入f x 并由f f 检验得 的