高中数学 1.2绝对值不等式与一元二次不等式配套课件 理 新人教A版.ppt

第二节绝对值不等式与一元二次不等式 三年7考高考指数 1 掌握简单的绝对值不等式的解法 2 掌握一元二次不等式的解法 1 绝对值不等式 一元二次不等式 含参数不等式的解法是高考考查的重点内容 2 常与集合 函数交汇命题 多以选择题 填空题形式考查 1 绝对值不等式的解法 1 绝对值不等式 x a与 x a的解集 x a x a x x a或x a x r x 0 r 2 常见绝对值不等式的解法 ax b c c 0 ax b c或ax b c ax b 0 c ax b c f x g x g x f x g x f x g x f x g x 或f x g x f x g x f2 x g2 x 即时应用 1 思考 x 以及 x a 有怎样的几何意义 提示 x 的几何意义是 在数轴上表示数x的点到原点的距离 x a 的几何意义是 在数轴上表示数x的点到表示数a的点的距离 2 不等式 2 x 3的解集是 解析 方法一 2 x 3 2 x 3或2 x 3 解得x 1或x 5 不等式的解集为 x x 1或x 5 方法二 原不等式化为 2 x 2 9 即x2 4x 5 0 解得x 5或x 1 不等式的解集为 x x 1或x 5 答案 x x 1或x 5 3 已知集合a x 2 x 1 3 b x 3x 1 3 则a b 解析 a x 3 2 x 1 3 x x b x 3x 1 3或3x 1 3 x x 或x a b x x 答案 x x 2 一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2 bx c 0 或 0 a 0 与相应的函数y ax2 bx c a 0 相应的方程ax2 bx c 0 a 0 之间的关系 有两相异实根x1 x2 x1 x2 有两相等实根x1 x2 无实根 x xx2 x x r x x1 x x2 即时应用 1 不等式2x2 3x 1 0的解集是 2 若0 a 1 则不等式 x a x 0的解集是 3 使根式有意义的x的取值范围是 解析 1 2x2 3x 1 0等价于 2x 1 x 1 0 x 1或x 不等式的解集为 x x 1或x 2 令 x a x 0 x1 a x2 0 a 1 a 即x1 x2 x1 x x2 即a x 不等式的解集为 x a x 3 由根式有意义 可得 2x2 x 1 0 解得 1 x 答案 1 x x 或x 1 2 x a x 3 1 3 可化为一元二次不等式的分式不等式的解法 1 0可转化为 0来解 2 0可转化为 ax b cx d 0来解 3 0可转化为 来解 4 0可转化为 ax b cx d 0cx d 0来解 ax b cx d 即时应用 1 若a b 则关于x的不等式 0的解集是 2 不等式 2的解集为 3 下列集合 x x 1 1 x x2 3x 2 0 x 0 x 0 其中是集合a x 1 x 2 的子集的有 填上序号即可 解析 1 原不等式等价于 x a2 b2 x 2ab 0 x 2ab 0 a b a2 b2 2ab x a2 b2或x 2ab 不等式的解集为 x x 2ab或x a2 b2 2 2 0 x 1 0 x 1 0 x 0 x 0 由 得 1 x 0 由 得x 原不等式的解集为 1 0 或 3 x x 1 1 x 0 x 2 x x2 3x 2 0 x x x 0 x 1 x 2 x 0 x 1 x 2 仅 为a的子集 答案 1 x x 2ab或x a2 b2 2 1 0 3 绝对值不等式的解法 方法点睛 1 绝对值不等式的解法解绝对值不等式的关键是利用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号 将含绝对值的不等式化为不含绝对值的不等式求解 其常用的方法是定义法 平方法 2 含有多个绝对值的不等式的解法含有两个及以上绝对值的不等式的解法是先找出零点 再根据零点划分区间 进行分段讨论 从而去掉绝对值转化为一般不等式求解 提醒 在进行分段讨论求解不等式时 要考虑全面 做到不重不漏 尤其是在某个区间解不等式时 千万不要忘了与前提条件求交集 例1 解下列不等式 1 3 1 2x 2 2 5x 6 11 3 1 x 2 3 4 x 3 x 3 8 解题指南 1 可利用 ax b c c 0 c ax b c 转化为不含绝对值的不等式 2 可利用 ax b c c 0 ax b c或ax b c 转化为不含绝对值的不等式 3 可分别解不等式 x 2 1和 x 2 3 再求它们解集的交集 4 可利用绝对值的意义去绝对值符号求解 也可利用函数y x 3 x 3 的图象求解 规范解答 1 原不等式可化为 1 2x 1 2x 1 2x 解不等式 可得解集 x x 解不等式 可得解集 x x 所以 原不等式的解集为 x x 2 原不等式可化为5x 6 11 或5x 6 11 解不等式 可得解集 x x 1 解不等式 可得解集 x x 所以原不等式的解集为 x x 或x 1 即 3 方法一 原不等式等价于不等式组 x 2 1x 1或x 3 x 2 3 1 x 5所以原不等式的解集为 x 1 x 1或3 x 5 方法二 原不等式可转化为 x 2 0 x 2 01 x 2 31 x 2 3由 得3 x 5 由 得 1 x 1 所以原不等式的解集为 x 1 x 1或3 x 5 即 或 解得 1 x 1或3 x 5 方法三 原不等式的解集就是1 x 2 2 9的解集 x 2 2 9 1 x 5 x 2 2 1x 1或x 3 1 x 1或3 x 5 原不等式的解集是 x 1 x 1或3 x 5 解得 即 4 方法一 由代数式 x 3 x 3 知 3和3把实数集分为三个区间 x 3 3 x 3 x 3 当x 3时 x 3 x 3 8 即x 4 此时不等式的解集为 x x 4 当 3 x 3时 x 3 x 3 8 此时不等式无解 当x 3时 x 3 x 3 8 即x 4 此时不等式的解集为 x x 4 取 的并集得原不等式的解集为 x x 4或x 4 方法二 不等式 x 3 x 3 8表示数轴上与a 3 b 3 两点距离之和大于8的点 而a b两点距离为6 因此线段ab上每一点到a b的距离之和都等于6 如图所示 要找到与a b距离之和为8的点 只需由点b向右移1个单位 这时距离之和增加2个单位 即移到点b1 4 或由点a向左移1个单位 即移到点a1 4 可以看出 数轴上点b1 4 向右的点或者点a1 4 向左的点到a b两点的距离之和均大于8 原不等式的解集为 x x 4或x 4 b a a1 b1 方法三 分别画出函数y1 x 3 x 3 和y2 8的图象 如图所示 2x x 3 y1 6 3 x 3 2x x 3 不难看出 要使y1 y2 只需x 4或x 4 原不等式的解集为 x x 4或x 4 y2 8 y1 x 3 x 3 x y o 反思 感悟 解含绝对值不等式的问题基本思想方法 化含绝对值的不等式为不含绝对值的不等式 从而求解 只是转化方法不同而已 常用的有定义法 公式法 平方法和零点分段法 方法的不同要依据不等式的结构特征来选择 变式训练 解下列不等式 1 4 3x 3x 4 2 2x 3 x 1 3 x 1 2x 6 3 4 2x 5 x 1 2 解析 1 原不等式化为 3x 4 3x 4 3x 4 0 x 原不等式的解集为 x x x 1 0 x 1 2x 3 x 1 x 1 x 2 原不等式的解集为 x x 2 解得 2 原不等式等价于 x 2 x 11 x 6 2x 3 x 1x 当1 x 3时 原不等式可化为1 x 3x 2 2 x 3 3 当x 1时 原不等式可化为 无解 1 x 3x 1 6 2x 3 x 3x 1 2x 6 3x 3x 3 x 综合 得原不等式的解集为 x 2 x 当x 3时 原不等式可化为 4 类似 3 的解法 当x 1时 可得不等式的解为x 1 当 1 x 时 可得不等式的解为 1 x 当x 时 可得不等式的解为x 8 综上可得原不等式的解集为 x x 或x 8 变式备选 解下列不等式 1 2x 1 x 2 x 2x 1 1 3 x 1 2 x 3 x 解析 1 方法一 当x 0 即 x 0时 原不等式的解集为 当x 0时 x 0 原不等式可化为不等式组x 2x 1 x 即x 2x 1x 12x 1 xx 即 1 x 原不等式的解集为 x 1 x 方法二 原不等式等价于2x 1 02x 1 02x 1 x 2x 1 xx x x x 1 x 或 1 x 求这两个集合的并集得原不等式的解集为 x 1 x 或 或 方法三 由原不等式得 x 2x 1 x x 2x 12x 1 x 原不等式的解集为 x 1 x 2 原不等式可化为x 2x 1 1 或x 2x 1 1 由 得不等式无解 由 得x 0或x 原不等式的解集为 x x 0或x 1 x 3 把原不等式变为 x 1 x 2 3 x 当x 1时 原不等式变为 x 1 x 2 3 x x 0 x 1 当1 x 2时 原不等式变为 x 1 x 2 3 x x 21 x 2 解集为 得x 0 当x 2时 原不等式变为x 1 x 2 3 x x 6x 2 得x 6 综上得原不等式的解集为 x x 0或x 6 一元二次不等式及简单分式不等式的解法 方法点睛 1 一元二次不等式的解法 1 一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的根 2 一元二次不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系 对于一元二次不等式a x x1 x x2 0 x1 x2 当a 0时 其解集是 x x x1或x x2 当a 0时 其解集是 x x1 x x2 2 分式不等式的同解变形方法解分式不等式时 一般情况下都是通过移项 把右边变成零 左边进行通分相加减 变成标准形式后求解 若采用去分母的方法 一定要注意不等式可乘性的条件 提醒 1 在二次项系数没有转化为正的情况下解不等式 在写解集时易出现把不等号的方向写反的错误 2 解不等式的过程中 经常要去分母 去绝对值符号等 往往忽略限制条件和变量取值范围的改变 对分步或分类求出的结果 何时求交集 何时求并集很容易失误 例2 1 不等式 3x2 4x 1的解集是 2 解下列不等式 x2 x 2 0 x2 2 x 15 0 1 解题指南 1 首先将不等式转化为ax2 bx c 0 a 0 的一般形式 再求解不等式 2 解一元二次不等式要先判断判别式的符号 讨论x的符号或视为 x 的一元二次不等式求解 通过移项 通分后转化为整式不等式求解 规范解答 1 原不等式可化为3x2 4x 1 0 4 2 4 3 1 4 0 方程3x2 4x 1 0的两个根分别为x1 x2 1 原不等式的解集为 x x 或x 1 答案 x x 或x 1 2 1 2 4 1 2 7 0 方程x2 x 2 0无实数根 故不等式x2 x 2 0的解集为r x 0 x2 2x 15 0 x 0 x2 2x 15 0 x 0 x 3或x 5x 0 x 5或x 3 原不等式的解集为 x x 5或x 5 方法一 原不等式等价于 或 由 得 由 得 x 5 x 5 方法二 x2 x 2 原不等式可视为关于 x 的一元二次不等式 x 2 2 x 15 0 解得 x 5或 x 3 舍去 x 5或x 5 原不等式的解集为 x x 5或x 5 1 0 0 x 3 x 2 0 x 2 0 x 2或x 3 原不等式的解集为 x x 2或x 3 互动探究 把本例第 2 小题中的 均改为 不等式的解集变为什么 解析 方法一 x2 2 x 15 0 x 0 x 0 x2 2x 15 0 x2 2x 15 0 x 0 x 0 3 x 5 5 x 3 0 x 5或 5 x 0 即 5 x 5 或 或 即 方法二 x2 2 x 15 0 x 2 2 x 15 0 即 3 x 5 亦即0 x 5 5 x 5 故所求不等式的解集为 x 5 x 5 1 0 x 2 0 x 3 x 2 0故所求不等式的解集为 x 2 x 3 解得 2 x 3 反思 感悟 1 解一元二次不等式的步骤是 1 将二次项系数化为正数 2 求出相应的一元二次方程的根 3 据一元二次方程的根 二次函数的图象与不等式解集的关系 结合不等号定解 2 解可化为一元二次不等式的分式不等式的步骤是 1 化为 0的形式 2 同解变形为f x g x 0的一元二次不等式 3 解一元二次不等式 变式备选 1 解下列不等式 1 x x2 2 x2 3x 4 2 解析 1 方法一 原不等式等价于x x2 2 x2 3x 4或x x2 2 x2 3x 4 所以原不等式的解集为 x x 3 方法二 x x2 2 x2 x 2 x 2 x 2 原不等式等价于x2 x 2 x2 3x 4 原不等式的解集为 x x 3 2 不等式中x应满足x 0 x 1 当x 0时 不等式变为 2x2 x 1 解为x 1 当0 x 1时 不等式变为2x2 x 1 解为 当x 1时 不等式变为2x2 x 1 解为x 1 综上所得 原不等式的解集为 x x 1或x 1 2 1 解关于x的不等式 k r且k 0 2 若上述不等式的解集为 3 求k的值 3 若x 3是上述不等式的一个解 试确定k的范围 解析 1 两边同乘以k2 并化简得 k 1 x k2 2k 3 当k 1时 解集为 当k 1时 解集为r 当k 1时 解集为 2 由 1 知 3 解得k 5 k 5符合k 1的条件 3 x 3适合不等式 将x 3代入原不等式可得 1 解得0 k 5 即k 0 5 含参数不等式的解法 方法点睛 1 解含参数的不等式的方法 x a x a x a x a 型的不等式在解答时 需讨论a的取值范围 若a 0 则x a或x a 若a 0 则x r且x 0 若a 0 则x r 其余几种类型的解答讨论与此类似 2 含参数一元二次不等式的解答方法 1 二次项若含有参数应讨论是小于0 还是大于0 然后将不等式转化为二次项系数为正数的形式进行解答 2 若不能判断相应的二次方程的判别式 的符号 则分 0 0 0三种情况进行讨论 3 若不等式对应的方程的两个根的大小不能确定 则按两个根的大小进行分类讨论 3 含参数不等式恒成立问题的解法 1 对于含参数的一元二次函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题 可以考虑函数的对称轴分布情况 2 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题 可以利用求函数最值的方法 利用 f x m恒成立 f x min m成立 f x m恒成立 f x max m成立 进行转化 例3 已知不等式ax2 3x 2 0的解集为 x x 1 或x b 1 求a b的值 2 解关于x的不等式x2 b a c x 4c 0 解题指南 1 抓住x1 1和x2 b是一元二次方程ax2 3x 2 0的两根求解 2 讨论c的取值解一元二次不等式 规范解答 1 由题意知a 0且1 b是方程ax2 3x 2 0的根 a 1 又1 b b 2 2 不等式可化为x2 2 c 1 x 4c 0 即 x 2c x 2 0 当2c 2即c 1时不等式的解集为 x x 2 或x 2c 当2c 2 即c 1时不等式的解集为 x x 2 当2c 2即c 1时不等式的解集为 x x 2 或x 2c 综上 当c 1时不等式的解集为 x x 2 或x 2c 当c 1时不等式的解集为 x x 2 当c 1时不等式的解集为 x x 2 或x 2c 反思 感悟 含参数的一元二次不等式 其讨论依据主要为二次项系数 判别式 的符号以及两根的大小 要弄清不同情况下的解集的形式 含参数的带有绝对值的不等式求解 要视参数为常数 按照通常求解的过程进行求解 直到会出现几种可能时 再分类讨论 解含参数不等式时应尽可能向同类型不含参数不等式接近 变式训练 1 若不等式x2 px q 0的解集为 x 1 x 2 则不等式 0的解集是 a 1 2 b 1 6 c 1 1 2 6 d 1 1 2 6 解析 选d x1 1 x2 2为方程x2 px q 0的两根 则1 2 pp 31 2 q q 2 0 即 x 1 x 2 x 6 x 1 0 解得x 1或1 x 2或x 6 故选d 2 2011 新课标全国卷 设函数f x x a 3x 其中a 0 1 当a 1时 求不等式f x 3x 2的解集 2 若不等式f x 0的解集为 x x 1 求a的值 解题指南 第 1 问 将a 1代入函数f x 的解析式 利用解绝对值不等式的方法求解 第 2 问f x 0 x a 3x 0 然后分x a和x a两种情况去掉绝对值号 转化为解不等式组的问题 将两段解集取并集得f x 0的解集 最后利用待定系数法求得a的值 解析 1 当a 1时 f x 3x 2可化为 x 1 2 由此可得x 3或x 1 故当a 1时 不等式f x 3x 2的解集为 x x 3或x 1 2 由f x 0得 x a 3x 0 x ax ax a 3x 0a x 3x 0 x ax ax x 因为a 0 所以不等式组的解集为 x x 由题设可得 1 故a 2 此不等式化为不等式组为 或 即 或 变式备选 1 已知f x x2 ax 3 a 若x 2 2 时f x 0恒成立 求a的取值范围 解析 依题意可知 若x 2 2 时 f x 0恒成立 则 0 0 2或 2f 2 0f 2 0 解得a的取值范围为 7 2 有 0或 2 已知f x x2 ax 3 a 若x 2 2 时f x 2恒成立 求a的取值范围 解析 x 2 2 时f x 2恒成立 x 2 2 时 2f x min f 2 7 3a 2 2 2 2f x min f 3 a 2f x min f 2 7 a 2 解得a的取值范围为 5 2 2 f x min 2 或 或 易错误区 函数 不等式转化中的易错点 典例 2011 湖南高考 已知函数f x ex 1 g x x2 4x 3 若有f a g b 则b的取值范围为 a 2 2 b 2 2 c 1 3 d 1 3 解题指南 本题以考查函数的值域为载体 重点考查对f a g b 的理解 根据f a 的值域 把二元方程f a g b 转化为b的一元二次不等式 规范解答 选b f a 1 g b 1 b2 4b 3 1 b2 4b 2 0 2 b 2 故选b 阅卷人点拨