高考数学总复习 第二章 第九节函数的图象及其变换课件 文.ppt

第九节函数的图象及其变换 第二章函数 导数及其应用 考纲要求 1 掌握图象变换的规律 如平移变换 对称变换 翻折变换 伸缩变换等 2 会利用函数的图象来研究函数的性质 课前自修 知识梳理 函数图象的作图方法有两种 描点法和利用基本函数图象变换作图 一 描点法作图用描点法作函数图象的步骤 1 确定函数的定义域 2 化简函数的解析式 3 讨论函数的性质即 甚至变化趋势 4 描点连线 画出函数的图象 单调性 奇偶性 周期性 最值 二 图象变换法作图1 要准确记忆一次函数 二次函数 反比例函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数等基本初等函数的图象及性质 2 识图 分布范围 变化趋势 对称性 周期性等 3 四种图象变换 1 平移变换 水平平移 函数y f x h 的图象可以把函数y f x 的图象沿x轴方向向左 h 0 或向右 h0 或向下 k 0 平移 k 个单位长度得到 即y f x y f x k 平移变换 对称变换 翻折变换和 伸缩变换 2 对称变换 函数y f x 的图象可以将函数y f x 的图象关于x轴对称得到 函数y f x 的图象可以将函数y f x 的图象关于y轴对称得到 函数y f x 的图象可以将函数y f x 的图象关于原点对称得到 函数y f 1 x 的图象可以将函数y f x 的图象关于直线y x对称得到 函数y f 2a x 的图象可以将函数y f x 的图象关于直线x a对称得到 即y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f 1 x y f x y f 2a x 3 翻折变换 函数y f x 的图象可以将函数y f x 的图象 如图 的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方 去掉原x轴下方部分 并保留y f x 的x轴上方部分即可得到 如图 函数y f x 的图象可以将函数y f x 的图象 如图 右边沿y轴翻折到y轴左边 替代原y轴左边部分并保留y f x 在y轴右边部分即可得到 如图 即 y f x y f x y f x y f x 4 伸缩变换 函数y f ax a 0 的图象可以将函数y f x 的图象中的每一点纵坐标不变 横坐标缩短 a 1 或伸长 0 a 1 为原来的倍得到 函数y af x a 0 的图象可以将函数y f x 的图象中的每一点横坐标不变 纵坐标伸长 a 1 或缩短 0 a 1 为原来的a倍得到 即 y f x y f ax y f x y af x 基础自测 解析 y 是偶函数 故排除a 令f x x sinx 则f x 1 cosx x 0 易知f x 0在x 0 恒成立 fmin x f 0 0 x sinx x 0 y 1 故选c 答案 c 2 2012 大连市模拟 已知函数f x x a x b 其中a b 若f x 的图象如右图所示 则函数g x ax b的图象是 a 3 2012 中山市桂山中学月考 设函数y f x 是最小正周期为2的偶函数 它在区间 0 1 上的图象为如下图所示的线段 则在区间 1 2 上 f x 解析 依题意 函数在区间 1 2 上的图象与线段ab关于直线x 1对称 点a 0 2 关于直线x 1的对称点a 2 2 在所求函数的图象上 易求得f x x 答案 x 4 2012 华南师大附中检测 若函数y f x x r 满足f x 2 f x 且x 1 1 时 f x x 则函数y f x 的图象与函数y log3 x 的图象的交点的个数是 4 考点探究 考点一 根据函数值变化趋势判断函数的图象 例1 2012 江西卷 如右图 已知正四棱锥s abcd所有棱长都为1 点e是侧棱sc上一动点 过点e垂直于sc的截面将正四棱锥分成上 下两部分 记se x 0 x 1 截面下面部分的体积为v x 则函数y v x 的图象大致为 解析 当0 x 时 随着x的增大 观察图形可知 v x 单调递减 且递减的速度越来越快 当 x 1时 随着x的增大 观察图形可知 v x 单调递减 且递减的速度越来越慢 再观察各选项中的图象 发现只有a图象符合 故选a 答案 a 点评 对于函数图象的识别问题 若函数y f x 的图象对应的解析式很难求时 作为选择题 由于解题时间的限制 没必要去求解具体的解析式 那样不但过程繁琐 而且计算复杂 因此 根据函数值变化趋势 使用定性法来判断图象的形状 不但求解快速 而且准确 节约时间 解题的关键在于准确把握变化趋势 必要时可用特殊值 点 检验 变式探究 1 已知甲 乙两车由同一起点同时出发 并沿同一路线 假定为直线 行驶 甲车 乙车的速度曲线分别为v甲和v乙 如图所示 那么对于图中给定的t0和t1 下列判断中一定正确的是 a 在t1时刻 甲车在乙车前面b t1时刻后 甲车在乙车后面c 在t0时刻 两车的位置相同d t0时刻后 乙车在甲车前面 解析 由图象可知 曲线v甲比v乙在0 t0 0 t1与x轴所围成图形面积大 则在t0 t1时刻 甲车均在乙车前面 故选a 答案 a 考点二 利用对称 翻折变换作函数图象 例2 1 作函数y x x2 的图象 2 作函数y x2 x 的图象 思路点拨 根据函数解析式的特点 可按翻折变换法作图 点评 1 对于含绝对值符号的函数 可利用 零点分区间 法去掉绝对值号 变为一个分段函数 再画图 2 第 1 题属于作y f x 的图象 由上面的作图得如下画法 画出y f x 的图象 保留f x 0的部分 将f x 0的部分以x轴为对称轴翻折上去 即得y f x 的图象 变式探究 2 已知定义在 2 2 上的函数f x 图象如右图所示 给出四个函数 y f x y f x y f x y f x 再给出下面四个图象 则配对正确的是 a d c b ab a c d bc c d a bd b d c a 解析 函数y f x 与y f x x 2 2 的图象关于y轴对称 即题中图c 函数y f x 与y f x x 2 2 的图象关于x轴对称 即题中图d 将函数y f x x 2 2 的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方 x轴上方的部分不变 得到y f x 的图象 即题中图a 考虑到函数y f x 为 2 2 上的偶函数 所以函数y f x x 2 2 在y轴右侧的部分不变 左侧部分换为右侧关于y轴对称的图象即可得到y f x 的图象 即题中图b 答案 c 考点三 根据函数的奇偶性来作函数的图象 例3 2012 唐山市模拟 奇函数f x 偶函数g x 的图象分别如图1 图2所示 方程f g x 0 g f x 0的实根个数分别为a b 则a b a 3b 7c 10d 14 解析 由f g x 0 得g x 1或g x 0或g x 1 由图2知g x 1有2个根 g x 0有3个根 g x 1有2个根 所以a 7 由g f x 0得f x 1 5或f x 0或f x 1 5 由图1知f x 1 5有0个根 f x 0有3个根 f x 1 5有0个根 所以b 3 所以a b 10 故选c 答案 c 变式探究 3 直线y 1与曲线y x2 x a有四个交点 则a的取值范围是 考点四 利用函数的奇偶性判断函数的图象 例4 下图为函数y f x 与y g x 的图象 则函数y f x g x 的图象可能是 解析 法一 函数y f x g x 的定义域是函数y f x 与y g x 的定义域的交集 0 0 图象不经过坐标原点 故可以排除c d 由于当x为很小的正数时f x 0且g x 0 故f x g x 0 故选a 法二 由函数f x g x 的图象可知 f x g x 分别是偶函数 奇函数 则f x g x 是奇函数 可排除b 又因为函数y f x g x 的定义域是函数y f x 与y g x 的定义域的交集 0 0 图象不经过坐标原点 故可以排除c d 故选a 答案 a 变式探究 4 2012 深圳高级中学期末 已知f x 是定义在 3 3 上的偶函数 当0 x 3时 f x 的图象如图所示 那么不等式f x sinx 0的解集是 a 3 1 0 1 b 3 1 0 1 1 3 解析 f x 是 3 3 上的偶函数 由图可知 当x 3 1 时 f x 0 而sinx0 当x 0 1 时 f x 0 f x sinx0 而sinx 0 f x sinx 0 综上可知 不等式的解集为 3 1 0 1 故选a 答案 a 考点五 利用函数的平移变换作图 例5 说明由函数y 2x的图象经过怎样的图象变换得到函数y 2 x 3 1的图象 解析 法一 1 将函数y 2x的图象向右平移3个单位长度 得到函数y 2x 3的图象 2 作出函数y 2x 3的图象关于y轴对称的图象 得到函数y 2 x 3的图象 3 把函数y 2 x 3的图象向上平移1个单位长度 得到函数y 2 x 3 1的图象 法二 1 作出函数y 2x的图象关于y轴的对称图象 得到y 2 x的图象 2 把函数y 2 x的图象向左平移3个单位长度 得到y 2 x 3的图象 3 把函数y 2 x 3的图象向上平移1个单位长度 得到函数y 2 x 3 1的图象 变式探究 5 1 为了得到函数y 2x 3 1的图象 只需把函数y 2x的图象上所有的点 a 向右平移3个单位长度 再向下平移1个单位长度b 向左平移3个单位长度 再向下平移1个单位长度c 向右平移3个单位长度 再向上平移1个单位长度d 向左平移3个单位长度 再向上平移1个单位长度 课时升华 函数的图象是高考考查的重点内容之一 它是研究和记忆函数性质的直观工具 利用它的直观性解题 可以起到化繁为简 化难为易的作用 因此 考生要掌握绘制函数图象的一般方法 掌握函数图象变化的一般规律 能利用函数的图象研究函数的性质 1 高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的 题型多以选择与填空为主 属于必考内容之一 但近年来在大题中也有出现 须引起重视 2 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性 也应避免盲目地连点成线 要把表列在关键处 要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围 大致特征 变化趋势等作一个大概的研究 而这个研究要借助于函数性质 方程 不等式等理论和手段 是一个难点 用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换 以及确定怎样的变换 这也是个难点 3 函数的对称性 1 满足条件f x a f b x 的函数的图象关于直线x 对称 2 点 x y 关于y轴的对称点为 x y 函数y f x 关于y轴的对称曲线方程为y f x 3 点 x y 关于x轴的对称点为 x y 函数y f x 关于x轴的对称曲线方程为y f x 4 点 x y 关于原点的对称点为 x y 函数y f x 关于原点的对称曲线方程为y f x 5 点 x y 关于直线y x的对称点为 y x 曲线f x y 0关于直线y x的对称曲线的方程为f y x 0 点 x y 关于直线y x的对称点为 y x 曲线f x y 0关于直线y x的对称曲线的方程为f y x 0 6 曲线f x y 0关于点 a b 的对称曲线的方程为f 2a x 2b y 0 7 形如y c 0 ad bc 的图象是双曲线 其两渐近线分别是直线x 由分母为零确定 和直线y 由分子 分母中x的系数确定 对称中心是点 从以上结论可看出 求对称曲线方程的问题 实质上是利用代入法转化为求点的对称问题 证明函数图象的对称性 即证明图象上任意点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在图象上 证明图象c1与c2的对称性 需证两方面 证明c1上任意点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在c2上 证明c2上任意点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在c1上 感悟高考 品味高考 1 2012 四川卷 函数y ax a 0 a 1 的图象可能是 解析 当a 1时 函数单调递增 且在y轴上的截距为1 0 1 所以a b不正确 当0 a 1时 函数单调递减 且在y轴上的截距为 0 故c不正确 d正确 答案 d 2 2012 湖北卷 已知定义在区间 0 2 上的函数y f x 的图象如右图所示