度高中数学 2.1.3函数的简单性质同步辅导与检测课件 苏教版必修1.ppt

2 1函数的概念和图象2 1 3函数的简单性质 函数概念与基本初等函数 在初中 我们学习了二次函数 通过二次函数的图象 知道x在某个范围内取值时 y的值随着x的增加而增加 或减小 在高中 我们学习了函数的符号语言 那么如何用符号语言来定量地描述函数这一增减性质呢 1 一般地 设函数y f x 的定义域为a 区间i a 如果对于区间i内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说y f x 在区间i上是单调增函数 i称为y f x 的单调增区间 2 一般地 设y f x 的定义域为a 如果存在x0 a 使得对于任意的x a 都有f x f x0 那么称f x0 为y f x 的 记为ymax f x0 如果存在x0 a 使得对于任意的x a 都有f x f x0 那么称f x0 为y f x 的最小值 记为 f x1 f x2 最大值 ymin f x0 d d c 6 一般地 设函数y f x 的定义域为a 如果对于任意的x a 都有 那么称函数y f x 是偶函数 如果对于任意的x a 都有 那么称函数y f x 是奇函数 7 如果函数f x 是奇函数或偶函数 我们就说函数f x 具有奇偶性 偶函数的图象关于 对称 奇函数的图象关于 对称 8 判断下列函数的奇偶性 6 f x f x f x f x 7 y轴原点8 1 偶函数 2 奇函数 3 奇函数 9 观察如图所示的图象 判断相应函数的奇偶性 1 奇函数 2 偶函数 3 非奇非偶函数 4 偶函数 函数单调性的概念 关于函数的单调性的理解 函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的 有些函数在整个定义域内是单调的 如一次函数 有些函数在定义域内的部分区间上是增函数 而在另一部分区间上是减函数 如二次函数 还有的函数是非单调的 如常数函数y c 又如函数y 关于单调区间的书写 函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的 讨论函数在某点处的单调性没有意义 书写函数的单调区间时 区间端点的开或闭没有严格规定 习惯上若函数在区间端点处有定义 则写成闭区间 当然写成开区间也可 若函数在区间端点处没有定义 则必须写成开区间 x1 x2的三个特征一定要予以重视 函数单调性定义中的x1 x2有三个特征 三者缺一不可 一是任意性 即 任意取x1 x2 任意 二字决不能丢掉 证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换 二是x1与x2之间有大小关系 通常规定x1 x2 三是x1和x2同属一个单调区间 若函数f x 在其定义域内的两个区间a b上都是增 减 函数 一般不能简单认为f x 在a b上是增 减 函数 如认为f x 在 0 0 上是减函数 事实上 取x1 1 1 x2 有f 1 1 1 f 1 不符合减函数定义 函数增减性 单调性 的几何意义 反映在图象上是 若f x 是区间i上的增 减 函数 则图象在i上的部分是从左到右上升 下降 的 如图所示 判断函数单调性的方法 判断函数单调性是函数部分常见的问题 通常使用如下方法 1 定义法 利用基本函数的单调性 如一次函数 二次函数 反比例函数等的单调性 都可用于其他的函数 利用函数的基本性质 如a y f x 和y f x 的单调性相反 b 当f x 恒为正或恒为负时 y 和y f x 的单调性相反 c 在公共区间内 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 增函数等 2 图象法 3 复合函数单调性的判定方法设y f t t g x x a b t m n 都是单调函数 则y f g x 也是单调函数 并且当外层函数f t 在 m n 上为增函数时 复合函数y f g x 与内层函数g x 在 a b 上有相同的增减性 当外层函数f t 在 m n 上为减函数时 复合函数y f g x 与内层函数g x 在 a b 上有相反的增减性 即复合函数的单调性具有同增异减的规律 求函数最值的常用方法 函数的最值是指在定义域a 给定区间i 上 函数的最大值和最小值 求函数最大 小 值的常用方法有 1 值域法 求出函数f x 的值域 即可求其最值 注意必须确保存在函数值为其最值 2 单调性法 通过研究函数的单调性来求函数的最值 3 特殊函数法 利用特殊函数 如一次函数 二次函数 反比例函数 函数y x a 0 等 的单调性及最值情况来求其最值 奇函数 偶函数的概念与图象特征 函数的奇偶性反映了函数图象的对称性 利用奇 偶 函数的对称性 在函数的两个对称区间上的问题 可以转化到一个区间上处理 根据奇 偶 函数的定义 由函数在原点一侧的解析式 能求得另一侧的解析式 可以根据奇 偶 函数图象的对称性作图 判定函数奇偶性的方法 判断函数的奇偶性 一般有以下几种方法 1 定义法 若函数的定义域不是关于原点对称的区域 则立即可判定该函数既不是奇函数也不是偶函数 若函数的定义域是关于原点对称的区域 再判断f x 是否等于 f x 或判断f x f x 是否等于零 或判断是否等于 1等等 2 图象法 奇 偶 函数的充要条件是它的图象关于原点 或y轴 对称 3 性质法 偶函数的和 差仍为偶函数 奇函数的和 差仍为奇函数 偶函数的积 商 分母不为零 仍为偶函数 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 f1 x f x f x 为偶函数 f2 x f x f x 为奇函数 判定函数的单调性 解析 利用增函数的定义 答案 证明 设x1 x2是 2 上的任意两个数 且x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 0 x1x2 0 x1x2 4 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数f x x 在 2 上是增函数 点评 证明函数单调性严格按 取值 作差 变形 定号 步骤进行 例二 1 已知函数y f x 定义在 2 1 上 且有f 1 f 0 则下列判断正确的是 a f x 必为 2 1 上的单调增函数b f x 必为 1 1 上的单调减函数c f x 不是 2 1 上的单调减函数d f x 不是 2 1 上的单调增函数 d 变式训练 3 证明函数f x x3 1 x r 为减函数 6 求函数y x 1 的单调区间 解析 函数y x 1 的图象如图所示 从图中可以看出函数在 1 上是减函数 在 1 上为增函数 8 求函数f x x2 2x 3在下列区间上的最大值与最小值 1 3 0 2 1 1 3 2 4 f x x 1 2 4的对称轴为直线x 1 增区间为 1 减区间为 1 1 ymax f 3 12 ymin f 0 3 2 ymax f 1 0 ymin f 1 4 3 ymax f 4 5 ymin f 2 3 变式训练 例五 函数奇偶性的判定 解析 由于这里的函数解析式较复杂 运用定义法难以判断f x 与f x 的关系 不妨用验证法试一试 点评 1 当函数解析式比较复杂 对f x 进行恒等变形又感觉到无从下手 这时可用验证法进行探索 从而达到目的 运用验证法判断函数的奇偶性的好处在于 它比用定义法时从f x 中拼凑出f x 的解析式具有更强的目的性 即只需验证它是否等于0 或 1 它实质上是将问题转化为代数式的化简过程 2 在本例的解法二中 容易出现如下两点错误 未讨论 x 0 这一情况 讨论后分为两种情况 即当x 0时为奇函数 当x 0时既是奇函数又是偶函数 事实上函数的奇偶性是函数的整体性质 因此我们不能将函数的定义域分割成几部分来确定它的奇偶性 变式训练 综合题型 定义在r上的函数f x 满足x 0时f x 0且对任意x y r 都有f x y f x f y 1 求证 f x 为奇函数 2 求证 f x 为增函数 解析 抽象函数的单调性与奇偶性的判别 由于没有具体的函数解析式 因此直接处理起来比较困难 但只要细细分析抽象函数所具备的性质或规律 通过 配凑 与 赋值 的方法 紧紧围绕函数单调性与奇偶性定义 就可以顺利地解决 答案 1 证明 f x y f x f y x y r 令x y 0 代入 式 得f 0 0 f 0 f 0 即f 0 0 再令y x 代入 式 得f x x f x f x 又f 0 0 则有0 f x f x 即f x f x 对任意x r成立 f x 是奇函数 2 设x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 x1 x2 0 f x1 x2 0 f x1 f x2 f x 是增函数 点评 抽象函数其实并不 抽象 它是从基本初等函数中抽象出来的 如本题