高中数学 第二章 概率 2.3 随机变量的数字特征 2.3.2 离散型随机变量的方差课件 新人教B版选修23.ppt

2 3 2离散型随机变量的方差 1 通过实例 理解取有限值的离散型随机变量的方差 标准差的概念和意义 2 会求离散型随机变量的方差 标准差 3 会利用离散型随机变量的方差 标准差解决一些实际问题 方差 1 设一个离散型随机变量x所有可能取的值是x1 x2 xn 这些值对应的概率是p1 p2 pn 则d x x1 e x 2p1 x2 e x 2p2 xn e x 2pn叫做这个离散型随机变量x的方差 2 离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小 3 d x 的叫做离散型随机变量x的标准差 4 若离散型随机变量x服从参数为n和p的二项分布 则d x np 1 p 归纳总结离散型随机变量 的期望与方差 做一做1 下列是四个关于离散型随机变量的期望和方差的描述 e 与d 都是一个数值 它是 本身所固有的特征数 它们不具有随机性 离散型随机变量一切可能值位于区间 a b 内 则a e b 离散型随机变量的期望反映随机变量取值的平均水平 而方差反映的是随机变量取值的稳定与波动 集中与离散程度 离散型随机变量的期望和方差若存在必唯一 期望的值可正可负 而方差的值一定是非负 以上四个结论中正确的个数是 a 1b 2c 3d 4答案 d 研究均值与方差有何意义 剖析随机变量的均值与方差都是随机变量的重要特征数 或数字特征 是对随机变量的一种简明的描写 虽然随机变量的分布列完全决定了随机变量的取值规律 但是往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点 例如它取值的平均水平 集中位置 稳定与波动状况 集中与离散程度等 均值表示随机变量一切可能值的平均值或集中位置 而方差则表示随机变量一切可能值的集中与离散或稳定与波动的程度 由于离散型随机变量的均值的计算是从它的概率分布出发 因而均值是随机变量的概率平均值 题型一 题型二 题型三 例1 编号1 2 3的三位学生随意入座编号1 2 3的三个座位 每位学生坐一个座位 设与座位编号相同的学生人数是x 1 求随机变量x的概率分布 2 求随机变量x的期望与方差 分析与座位编号相同的学生人数只能是0 1 3 求出x的分布列再根据公式求期望与方差 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思求离散型随机变量x的期望与方差的步骤 1 写出x的所有取值 2 计算p x xi 3 写出x的分布列 4 利用定义法求出期望e x 和方差d x 的值 题型一 题型二 题型三 例2 已知离散型随机变量x的分布列为另一离散型随机变量y 2x 3 求d y 分析解答本题的关键是弄清已知d x y 2x 3 怎样求d y 我们可直接运用公式计算 即d y 22 d x 解 由题知e x 1 0 1 2 0 2 3 0 4 4 0 2 5 0 1 3 d x 1 3 2 0 1 2 3 2 0 2 3 3 2 0 4 4 3 2 0 2 5 3 2 0 1 1 2 因为y 2x 3 所以d y 22 d x 22 1 2 4 8 题型一 题型二 题型三 反思像这类求离散型随机变量函数的方差的问题 利用公式d ax b a2d x 来求 既避免了求离散型随机变量y的分布列又避免了大量的计算 这是解答这类题的主要方法 题型一 题型二 题型三 例3 有甲 乙两种钢筋 从中各抽取等量样品检查它们的抗拉强度指标 如下表 其中 甲 乙分别表示甲 乙两种钢筋的抗拉强度 在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120 试比较甲 乙两种钢筋哪一种质量更好 分析通过计算期望 方差来比较质量 题型一 题型二 题型三 解 由题意 得e 甲 0 1 110 0 2 120 0 4 125 0 1 130 0 2 135 125 e 乙 0 1 100 0 2 115 0 4 125 0 1 130 0 2 145 125 d 甲 110 125 2 0 1 120 125 2 0 2 125 125 2 0 4 130 125 2 0 1 135 125 2 0 2 50 d 乙 100 125 2 0 1 115 125 2 0 2 125 125 2 0 4 130 125 2 0 1 145 125 2 0 2 165 由e 甲 e 乙 知 甲 乙两种钢筋平均抗拉强度相等 且平均抗拉强度都不低于120 由d 甲 d 乙 知 乙种钢筋的抗拉强度指标与其平均值偏差较大 即乙种钢筋的抗拉强度不够稳定 故认为甲种钢筋质量好于乙种钢筋 题型一 题型二 题型三 反思期望反映随机变量取值的平均水平 方差反映随机变量取值相对于期望的平均波动大小 本题不能由e 甲 e 乙 就认为甲 乙两种钢筋性能一样好 而是应进一步再考察d 甲 d 乙 即考察其稳定性后再作决定 1 2 3 4 5 1 下列说法正确的是 a 离散型随机变量 的期望e 反映了 取值的概率的平均值b 离散型随机变量 的方差d 反映了 取值的平均水平c 离散型随机变量 的期望e 反映了 取值的平均水平d 离散型随机变量 的方差d 反映了 取值的概率的平均值解析 离散型随机变量 的期望e 反映 取值的平均水平 方差d 反映了 取值偏离平均值的平均程度 答案 c 1 2 3 4 5 2 牧场有10头牛因误食含有病毒的饲料而被感染 已知被感染的牛的发病率为0 02 发病的牛的头数为 则d 等于 a 0 2b 0 8c 0 196d 0 804解析 因为发病的牛的头数 服从二项分布b 10 0 02 所以d np 1 p 10 0 02 0 98 0 196 答案 c 1 2 3 4 5 解析 数学期望e x 1 0 4 3 0 1 5 0 5 3 2 由方差的定义 d x 1 3 2 2 0 4 3 3 2 2 0 1 5 3 2 2 0 5 1 936 0 004 1 62 3 56 答案 d 1 2 3 4