作二面角的平面角的常见技巧.doc

www.MathsC 彰显数学魅力！演绎华软传奇！作二面角的平面角的常见技巧重庆 慕泽刚 求二面角的大小是历届高考的重点内容之一，且能较好地考查学生的空间想象力及转化思想的应用.解答二面角的问题，其关键是要作出其平面角，这恰好是学生感到头疼的问题.下面介绍几种常见作二面角的平面角的常用技巧.一、抓住共底的等腰三角形作平面角如果两个共底边的两个等腰三角形ABC和等腰三角形DBC分别在二面角a-l-b的两个半平面上，则可作出BC边的中点E，连结AE、DE，根据等腰三角形的性质可知，AED为二面角a-l-b的平面角.图1例1 (2000年全国理)如图1，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60.(I)证明：C1CBD；(II)假定CD2，CC1，记面C1BD为，面CBD为，求二面角-BD-的平面角的余弦值；()(略)解析：(I)证明略. (II)连结AC，AC和BD交于O，连结C1O四边形ABCD是菱形，ACBD，BCCD又BCC1DCC1，C1CC1C，C1BCC1DC，C1BC1D，C1BD为等腰三角形，又CBD为为等腰三角形，且C1BD与CBD有相同的底边BD，而O为BD的中点，C1OBD，COBD，C1OC是二面角-BD-的平面角在C1BC中，BC=CD=2,C1C,BCC160，C1B2=22()222cos60=OCB=30，OBBC=1.C1O2C1B2OB21，C1O，即C1OC1C过C1作C1HOC，垂足为H点H是OC的中点，且OH=，所以cosC1OC=二、抓住共对应边的全等三角形作平面角如果两个共对应边的全等三角形ABC和三角形DBC(图形具有对称性)分别在二面角a-l-b的两个半平面上，则可过A作AEl于E，连结DE，则AED为二面角a-l-b的平面角.例2 过正方形的顶点A作PA平面ABCD，设PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小.图2解析：如图2，由题设易知，BD平面PAC，PBCPDC.过B作BEPC,垂足E.由PB=PD，PE=PE,BPE=DPE,PBEPDE.PED=PEB=90，DEPC，BED为二面角B-PC-D的平面角.在RtPAB中，由PA=AB=a，得 PB=a.PA平面ABCD,BCAB,BCPB(三垂线定理),PC=a，在RtPBC中，BE=a.在BDE中，BD=a,由余弦定理，得cosBED=. 因此，所求二面角B-PC-D的大小为120.三、抓住面的垂线作平面角如果二面角a-l-b的两个半平面中的一个半平面a上有一条垂线，垂足为A，且与另一半平面b相交于点P，则可过P作PBl于B，连结AB，由三垂线定理可知，PAB为为二面角a-l-b的平面角例3 如图3,已知P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA=PB=PC=PD=AB=1求平面PAC与平面PAD所成二面角的余弦值解析：设AC与BD交于点O，PA=PB=PC=PD，POAC，POBD，PO平面ABCD，图3POOD.又在正方形ABCD中，ODAC，OD平面PAC. 过O作OEPA，垂足为E，连结DE，则DEPA(三垂线定理)，OED为平面PAC与平面PAD所成二面角的平面角.在PAD中，PA=PD=AD=1，DE=ADcos30=，由OD平面PAC知，ODOE.又在正方形ABCD中，OD=.在RtODE中，sinOED=.平面PAC与平面PAD所成二面角的余弦值为四、抓住与棱垂直的直线通过作棱的垂面作平面角如果空间中有与二面角的棱垂直的直线两条相交直线，则可作过这两条直线的平面与两个半平面相交，其交线所夹的角就是二面角的平面角图4例4自二面角内一点到二面角的两个面距离分别是2、4，到棱的距离为4.求二面角的度数.解析：如图4，由已知PMPN=P，过PM与PN作平面PMN，与棱l交于点A，PMa，PNb，PMl，PNl，l平面PMN，lAM，lAN，MAN为所求二面角的平面角,在PAM中,PM=2,PA=4,PAM=30，在PAN中,PN=4，PA=4,PAM=45.MAN=30+45=75.五、抓住无棱二面角的两条平行线作平面角如果二面角只有一个公共点P，而图中没有棱，此时若在二面角的两个半平面内存在一条直线，且相互平行，则可过点P分别在两个半平面内作这两条直线的垂线PQ和PR，则QPR就是二面角的平面角.例5 如图5,已知P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA=PB=PC=PD=a，AB=a求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值图5解：ABCD，CD平面CPD，AB平面CPD又P平面PAB,且P平面PCD，平面PAB平面PCD=l,且Pl二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角ABl过P作PEAB，PECDlABCD，PEl，PFl，所以，EPF是二面角B- l -C的平面角又PE是正三角形APB的一条高线，且