高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课件 新人教A版选修12.ppt

3 2 2复数代数形式的乘除运算 自主学习 新知突破 1 掌握复数代数形式的乘除运算 2 理解复数乘法的交换律 结合律和乘法对加法的分配律 3 理解共轭复数的概念 已知两复数z1 a bi z2 c di a b c d是实数 问题1 如何规定两复数相乘呢 提示1 两个复数相乘类似于两个多项式相乘 只要在所得结果中把i2换成 1 并且把实部和虚部分别合并即可 问题2 复数a bi与a bi a b r 有何特点 提示2 两个复数实部相等 虚部互为相反数 这两个复数叫共轭复数 问题3 复数a bi与a bi a b r 的乘积是什么 提示3 z1 z2 a2 b2 积为实数 问题4 复数z1 a bi z2 c di如何相除呢 设z1 a bi z2 c di是任意两个复数 那么它们的积 a bi c di ac bci adi bdi2 a b c d r 复数的乘法 ac bd ad bc i 对于任意z1 z2 z3 c 有 复数乘法的运算律 z2 z1 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 1 复数乘法运算的方法 1 两个复数相乘 类似于两个多项式相乘 只要在所得的结果中把i2换成 1 并且把实部与虚部分别合并即可 2 复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式 如平方差公式 完全平方公式等 一般地 当两个复数的实部 虚部 时 这两个复数叫作互为共轭复数 通常记复数z的共轭复数为 虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数 共轭复数的概念 相等 互为相反数 复数的除法法则 2 复数的除法运算的实质 1 复数的除法实质上就是分母实数化的过程 这与实数的除法有所不同 2 复数的除法法则形式复杂 难于记忆 所以有关复数的除法运算 只要记住利用分母的共轭复数对分母进行 实数化 然后结果再写成一个复数a bi a b r 的形式即可 1 复数z i i 1 的共轭复数是 a 1 ib 1 ic 1 id 1 i答案 a 合作探究 课堂互动 复数的乘除运算 思路点拨 根据复数乘法 除法的运算法则进行求解计算 对于除法运算 关键是将分子 分母同乘以分母的共轭复数 1 复数的乘法运算法则的记忆 复数的乘法运算可以把i看作字母 类比多项式的乘法进行 注意要把i2化为 1 进行最后结果的化简 2 复数的除法运算法则的记忆 复数除法一般先写成分式形式 再把分母实数化 即分子分母同乘以分母的共轭复数 若分母为纯虚数 则只需同乘以i 3 复数的乘法可以按照乘法法则进行 对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法 用乘法公式更简便 例如平方差公式 完全平方公式等 复数的除法是分子 分母同乘以分母的共轭复数 共轭复数 设z1 z2为共轭复数 且 z1 z2 2 3z1z2i 4 6i 求z1和z2 思路点拨 1 掌握共轭复数的概念注意两点 1 结构特点 实部相等 虚部互为相反数 2 几何意义 在复平面内 两个共轭复数对应的点关于实轴对称 虚数单位i乘幂的周期性 计算i i2 i3 i2013 思路点拨 本题中需求多个in和的值 求解时可考虑利用等比数列求和公式及in的周期性化简 也可利用in in 1 in 2 in 3 0 n n 化简 1 虚数单位i的周期性 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i i4n 1 n n 2 in in 1 in 2 in 3 0 n n 特别提醒 n也可以推广到整数集 答案 1 0 利用公式a2 b2 a bi a bi 把下列各式分解成一次因式的积 1 a2 9 2 x3 x2 4x 4 错解 1 a2 9不能分解为一次因式的积 2 x3 x2 4x 4 x2 x 1 4 x 1 x2 4 x 1 错因 没有将a2 9 x2 4写成一次因式的积的形式 多项式a2 b2在实数集中不能因式分解 但在复数集中可进行分解 可理解为 a2 b2 a2 bi 2