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【精品】线性代数解题心得 数量矩阵是对角矩阵的一种！A-B相似，不管是不是实对称矩阵一定是特征值一样的！（反之？没有实对称这个前提对吗？对比书上195页例14）实对称的更是的！而正负惯性指数前提是二次型函数的，所以一定要实对称矩阵的！标准型不定，可以有很多种，但是不管化成哪种，惯性指数是一定的，一样的！因此判断两个二次型能否相互化成关键是看惯性指数是否一样！这个定理为什么成立？而惯性指数等同（相等）于一个对角矩阵的大于零的特征值！相似（对角矩阵就是相似引出的），合同，和可逆和有特征值的矩阵（可以证明的）二次型的矩阵，矩阵一定是方阵但是线性方程组的矩阵不一定的是。 二次型（是指多元的，但是最低和最高次数只有二次的才行！）的秩就是指这个实对称矩阵（说上为了方便要求这样写的，实际上对应的和等于那个数就行）的秩！这个数的变量不能因为式子里面的没有这个数就说把这个变量去掉，是不对的，即使线性变化，也还是个数一样的！书上说的任何一个二次型的（当然一般指那个实对称矩阵，但是不是唯一指这个的）都可以通过可逆线性替换化为标准型！题目中的正交变换，一般就是指正交线性变换！实对称矩阵有个特性，就是存在一个-见二次型第无讲！实对称矩阵才有惯性指数，因为惯性指数是化简二次型函数的，指出的！实对称矩阵可以画成规范型的，但是不是随便一个规范型的就是他可以化的，这就要看大于零的个数，相当于两个二次型之间是否可以互相转化！能互相转化的是惯性指数一样！（也就是一个实对称矩阵和一个对角矩阵能够合同的条件是正负惯性指数个数一样，当然不管这个对角矩阵的对角线上的数大小变化和顺序变化了）（）思考方式是这个实对称矩阵先变成一个对角矩阵，然后这个对角矩阵再和它对比，可以用书上的直接找到C的数值了，因为可以直接比如说用Y来代替多少的Z了！二个对角矩阵之间，对角线上的数字顺序变了，则可以说是合同，但是也可以说是相似，（假如说大小不变，但是顺序变了，则可以说是相似，根据视频上说的A-B相似的充要条件是特征值大小一样，A-B合同的充要条件是惯性指数个数一样，是不是这个A和B都是实对矩阵这个前提下？但是特征值一样是性质啊，可以作为充要条件吗？是对的，因为相似的条件条件和合同一样都是存在一个可逆的矩阵的了，而对于二型的对角矩阵是可以直接找到一个可逆矩阵的，见课本的从标准型到规范型的例子。 ）因此，如果说一个二次型通过正交变换是成一个对角矩阵，则对角上的数字顺序变化是没有关系的，如变换后的是6Y21和6Y22一样的！但是这个6不能变的！不能说变成5！鉴于上面的结论实对称矩阵的代数余子式也是实对称的！注意求和公式的写法，对比书上！规范型一般说两个是否相等，实际上等于说惯性指数是否相等，因为都化为对角矩阵后，经过变化要求系数为一，实际上当然惯性指数一样可以说规范性相等了！特征值的问题要好好看看，为什么要特征值，对称矩阵和各种特殊矩阵时，特征值有什么特点？前面视频中，实对称矩阵的对应的可以变化成对角矩阵的那个正交矩阵，可以用特征值来找向量，如果其中某一个根没有其他的和它相同的了，就直接找了，如果根有相同的，则可以找到，但是二次型的画法:实对称矩阵存在一个正交矩阵使实对称矩阵和化后的对角矩阵相似且合同，但是他不一定正好是找到的正交矩阵，其他的也可以化，那只能是说合同了，特征值问题也无从考虑，但是，二者之间还有关系，那是二次型的实对称矩阵和化后的对角矩阵（不是说任何一个对角矩阵，而是这个对应的化后的对角矩阵，正负惯性指数个数一样，当然实对称矩阵的正负惯性指数（之所以给它叫这个名字，是因为人和一个实对称矩阵有可以化成对角矩阵，而对角矩阵有正负惯性指数，所以它也叫有，当然可以证明（见视频）是等同于其特征值的正负个数的，）等同于其特征值正负个数。 但是如果说通过正交变换的（就是这个C是个正交矩阵（那是因为二次型是一个对称矩阵，对于任何一个实对称矩阵都相似于自己对应的一个对角矩阵，同时还存在一个正交矩阵使之能成为对角矩阵），任何一个正交矩阵都满足自身的转置等于自身的逆），则新的矩阵和二次型的实对称矩阵是也相似且合同的！特征值也一样。 当然这里也是说化成标准型的，如果化成规范型的就不一定是相似了（其中一个性质是因为特征值变化了，如果只是数字顺序变化是可以相似的，但是规范型要求的就是都是单位系数（见上面有个红字的性质），但是也是合同的，那是因为从标准型化到规范性，也是利用合同的原则的，但是这个C就不一定是正交矩阵了，无法满足C的转置等同于C的逆，（而上述的相似和合同就是利用这一个原理证明出来的！）（如果说是正交变换，则即使化成了规范型的，也说明是乘以正交矩阵的，结果是巧合，当然也满足上面的结论）正交化后的对角矩阵（对角线上的顺序可以变吗？变得时候还是合同的，但是相似吗？是的，见上面的红字）大小变化就不是的了。 变化后当然也相似？但是对应吗？）和原来的实对称矩阵是相似的，但是如果条件中要求的字母在对角线上，则可以利用（下面的定理）利用其和一样，如果不在，只有利用其行列式了！（见书上的定理）任何矩阵的行列式都等于特征值（不管其是实特征值还是虚的特征值）的乘积，（行列式可以大于零也可以小于零的，不是绝对值的！）对角线上的和等于特征值的和。 （并不是说一个对应一个的，只是和一样的，书上也有例子说明不对应的，）（有一个情况是对应的，就是下三角和上三角（也只是利用定义算的，但是顺序当然可以变了，同时说相似于另一个对角矩阵，当然顺序可以变的！）即使两个行列式相似，能明显看出来其特征值一样，但是也不一定是按照顺序对应的！（问加入一个矩阵相似于另一个对角矩阵，那么吧对角线上的顺序变换一下可以相似吗？可以的，根据特征值一样就可以判定相似的，前提是实对称矩阵，所以大小不变，改变顺序是可以的！怎么找这个矩阵？）（有时让你求其方程的解，如何理解！？见视频二次型第六讲！）对于配方法首先要保证变换后的变量是和原来的一样的个数，如果思维过程中出现多了的，就想办法表示出！而且并不是说每一个变量用新的变量表示时系数不能为零的！中间可以变换多次，不一定说立马表示出来最终的平方的形式（中间可以形式不统一）！可以见视频二次型第六讲！配方法）但是最终要表示成和原来一样的整体变量的个数个平方的代数和！而且如果经过多次变换就要写出来变换的变量之间的关系！具体方法先进行变量的整合，把第一个变量的平方，和相关的式子整合在一起，在使用平方，具体可以见配方法的例子！另外如果没有要求使用正交方法的时候，要求p的时候，可以用这个方法比较简便！如果求的是矩阵，即使没有涉及到方程的问题，如果是实对称矩阵时，可以想着用二次型的思维来解决问题！正定问题X可以取负数的！关于正定问题，满足定义即可，相当于从整体形式上来说都是平方，但是不是代表原始的就是对角矩阵了，只要能化成那种剩的都是平方即可，原理是不变的，根据惯性定理，惯性指数是决定于原函数的法则的，当然也就一味着如果二次型的实对称矩阵可以化成对角矩阵，而且这个对角矩阵的对角线上的值都是正数就可以了！当然，要保证对角矩阵为正定矩阵就要保证都大于零。 可逆对于合同问题，如果A是实对称矩阵，则合同后的矩阵也是实对称矩阵，可以证明的！而一般的，对于正定问题，一般前提是函数，当然，前提是实对称矩阵了，这个大的前提，而且这些证明都是基于此的！（定义是这样定义的）而对于没有说A是实对称矩阵时，它合同于一个矩阵，则只有几个小小的结论的！四个充要条件1.当然用合同性来判断一个实对称矩阵是否是正定矩阵，当然标准型合同于规范型，同时因为是正定，所以要合同于一个标准的单位矩阵！（惯性指数是基本中介）2.同时也可以用特征值来表示，前面可以具体解释，当然特征值全为正数（充要条件）！或者说这个实对称矩阵是行列式大于零的！（行列式是大于零的不是其充要条件，因为有偶数个负特征值也保证了行列式为正，但是不一定每个都是正，）3.C乘C的转制等于A，相当于中间乘以一个实对称矩阵E，了，所以这也是它的充要条件的！4.同时实对称矩阵为正定矩阵则A的逆也是的！用最后一个定理来证！5，关于直接用定义来思考，因为对于任何不等于零的式子结果都是正数，所以随便取几个数字是零，其他的不为零，这样也会使结果是正数，所以这样就形成了（或者可以这么想的）小一点的矩阵，他的行列式大于零，（因为行列式等于特征值的乘积，特征值要求都是大于零）同时可以解释书上的顺序主子式的定理了，同时因为这些自变量可以互换，所以这样满足是个基本的形式，不管怎么变化不脱离这个形式的！（这种定理非常适用）（当然这首先要是实对称矩阵的）加入随便给你一个实对称矩阵是自己可以证明这种成立的，那么就是正定型了，想想它具备那些性质，思考正定型矩阵的性质1.正惯性指数等于N，2，这个矩阵可以和单位矩阵合同，（但是合同于单位矩阵，没有说是相似于单位矩阵，所以特征值不一定都是一）3，这个矩阵特征值都是正数，行列式都大于零，4，这个矩阵可以写成一个C乘C的转置（C为可逆的N阶矩阵）5，其可逆矩阵也是正定型！（根本思维在于转换成二次型函数思考）对于正定二次型的例9，老师说可以不考虑第二个式子，是因为X1X3可以相互调换，原理上没有什么区别的，只是如果换成Y，Z等等的原理不是一样的吗！所以那个两个字母C和两个二调换且那个对角线的四和一对换，是可以的，但是这也说明了不是说主顺序式不要求了，只要求一个了，加入有变量进入的，换的时候也可能各个位置都有字母的了，同时，在判定一个实对称矩阵是不是正定，这个矩阵是确定的，当然每一个式子都要算的，当然可以利用上面的原理换个位置，但是还是一样啊，只是上面就要计算关于字母的了，所以没有字母的就算了的！（增加一点特征值的东西，正定型第六讲例11，A+E的特征值就是A的特征值加上1，由定义可以得到！）书上有关于一个矩阵的函数的特征值的计算的！161页！当然中间含有一个其他的矩阵是不行的！2.A的转置和A一样的特征值！（定义证明）（当然涉及到特征值，A必然是方阵才行）3.如果KA与A的特征值之间的关系？如果从矩阵的角度来看是没有办法证明的，但是这样想，从行列式大小上变化，应该是大小变化因该是K的N次方，根据定义，那么是否N个负数特征值上的每一个都是过大K倍？答案是正确的（从特征值的定义上看，或者从上面的矩阵多项式的特征值计算来看）正定型判定1.顺序主子式2.关于实对称矩阵的多项式的矩阵的正定的判定，一般用特征值，这样好计算！可以利用特征值的某些性质来计算多项式的特征值，然后判定特征值都大于零就是的了！3.有时还可以考虑定义，在很抽象的时候，条件很少的时候，求不出特征值的时候，或者有秩的问题，出现秩矩阵的列时，利用线性方程组的条件的！有解还是无解！还可以倒退法！见二次型第六讲例13。 （当）r(B)=n时，BX的大小问题（只有X=0才时BX=0也就是说，当X不等于零时它是不等于零的），和BX0的条件问题（X0是它才等于零）（学会转换思维）从这两届题目可以看出基本思维都是一样的，会反过来考的例14也很好。 这个结论和例13把不是方阵的东西结合在一起了，而且又是关于秩的问题，（这也是求秩的一种方法的！）（B不一定是方阵）BTB正定充要条件r(B)=n（不要和上面的正定可以等于一个可逆的转置和其本身的乘积）.注意CTAC不同于14题里的，这里C是可逆的（方阵）C4.还有一个不是充要条件的A正定B正定则A+B正定（用定义证）（在判定正定型时，首先判定是实对称矩阵，如A乘A转置，A对称A*对称，（如果可逆）A-1也是对称的。 （因为其等于A*/detA），（A*）求矩阵的行列式对于多项式的，一种方法化乘最终一个的（如求（3A）列式）（用的一些方法逆的性质如（AK）-1（如果可逆）也对称）-1-2A*的行-1=(A-1）K，（KA）-1=K-1A-1代数余子式的性质代数余子式的行列式与原来矩阵的关系，），或者用特征值来求（利用相似的矩阵行列式一样的）（用定义来定！)A的代数余子式和A的矩阵的行列式之间的关系，（特征值为行列式除原矩阵的每个特征值，（利用定义，利用逆的特征值）相似的性质特征值，行列式，秩都一样，转置也相似（定义可以证明），对角矩阵的性质可以和所有同价的矩阵可交换！关于例13的内积问题有待探讨！？关于分块矩阵的问题准对角矩阵，它正定，则里面的小的对称矩阵（？）也正定。 还有这个分块矩阵行列式的计算问题，见最后一个视频的例子！看看最后一个题目是怎么回事！为什么？一般的自己理解怎么样才能够对阿？这个题目给我新的想法，正如我以前所想的，只要能化成平方的形式就可以了，这是不完全正确，关键就是这个能否等于零的问题。 反推法可以看出标准型的要求只要变量不全为零就可以的，但是那个二次型一眼看不出啊，就像f(x1，x2，x3xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(x3+a3x4)2+(xn-1+anxn)2+(xn+b1x1)2+(xn+b2x2)2+(xn+b2x3)2+(xn+bnxn)2虽然说是都是平方相项，但是即使不等零，又可能出现这种情况，其他的平方项都为零，但是某一项不为零，但是也同时满足X不都为零，比如，一个正，一个负，正好消了。 那怎么要那个避免这种情况，就是要转换成标准型反推，要保证X取不全为零时，新的变量不全为零的。 这种情况只能用方程组的定理。 转成行列式不为零，这个矩阵可以不是方阵（这里的思路不同于书上的，是正的顺序思路，没有完全使用到矩阵的公式，有点用到初中的思维，结合矩阵里解的问题）。 而书上的，是方阵，要保证这个条件，就是要求C可逆，也就是秩的问题，也就是保正只有X取零时Y才能取零的！当X没有取零时，Y是没有办法取零的！而视频里的例题比这题更简单，f(x1，x2，x3xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(x2+a3x4)2+(xn-1+anxn)2关于特征值和特征向量关于矩阵多项式的特征值，因为都是关于A的，所以同一个矩阵，好代入，然后又再次利用这个矩阵，所以可以有这个特征值，其他矩阵加入进来是不行的，因为无法再次利用这个矩阵，但是单位矩阵是个特殊的，因为它不管乘谁都是这样的，所以，A的K次方，和加减都可以的，乘以一个常数也行的，因为符合定义。 （一种思路是从要求的式子出发，带入看可以消掉的式子，如，A2=代入*得出结论，另一种是从原式出来经过变形可以变成结果得式子如，在原式得两边同时乘以*，逆和转置可以用这种方法求得。 ）有的特征向量一样，有的特征值一样，注意区别，证明方法类似。 多项式和原矩阵的同一特征值的特征向量是很大关系的，原矩阵的特征向量是多项式的特征向量，但是反之是不一定的。 转置，代数余子式都是的。 因此，A的多项式的行列式（包括，逆，转置，代数余子式的矩阵（特征值为行列式除每个特征值（利用逆的特征值），以及这些式子综合的多项式？（转置和逆，可以证明这里特征向量都是一样的，）所以也应该对。 也是很好求的，都是关于特征值的运用的，只要看到关于A的行列式的都要想到这点！而多项式只是表达多项式的特征值和原A的特征值之间的关系，没有表达，本身等于多少的，如果，多项式有等于一定的值，则相当于特征值也具有一定的值，（可以用定义来表达，验证）N阶矩阵N个特征值，但是不一定都是实数，但是实对称矩阵特征值一定是实数，如果条件中有关于特征值的函数（这里的特征值是任何一个特征值的表现形式），可以判断是不是都是实数了！呵呵，不是说特征值是实数的一定是实对称矩阵，比如说满足特征值的多项式可以推出是实数，所以知道矩阵满足这个多项式，但是这个矩阵不一定是实对称的！注意这个形式aE-A，既可以用多项式来表示，又可以与特征值那个形式来观察，当a不是A的特征值时，这个矩阵aE-A的行列式不为零，即可逆，但是，当它为它的特征值是当然行列式为零，不可逆的了！同时，当特征值满足一个多项式方程，如果一个值不满足这个式子的时候，aE-A当然可逆了.，但是满足这个式子的一个数值不一定就是这个矩阵的特征值。 （因为是充分条件，不是必要条件，它是正面推出的，反过来没有办法推的。 ）根源是，是特征值就满足上面的形式的aE-A行列式为零，不是特征值就可逆，至于其他条件，那是推出是不是特征值的条件的。 即一个特征值满足一个多项式方程，不代表这个矩阵也满足这个式子。 但是一点要非常的注意，是因为A满足的多项式推出的特征值满足的多项式方程，不是代表解都是这个矩阵的特征值，但是可以知道特征值就是这里面的数值，至于重复几个，多少重复都是不知道的。 （这就不同于课本上通过定义制造的一个函数A的特征方程的解都是A的特征值，这些数值再带入矩阵的式子，是可以证明出来定义的要求的形式的，但是多项式的方程的值无法证明出定义要求的形式！）所以正好同上面解释的不谋而合。 根源是，是特征值所以，当一个值满足特征值的某个多项式方程，并不能说明aE-A就一定不可逆，（它不一定是其特征值）已经知道特征值，和特征向量求矩阵问题不从对角化出发，而直接从定义出发（不过实质上原理是一样的），N阶的，有N个特征值（每个至少一个特征向量，如果正好），那么就写出对应的等式，再转化乘矩阵，就可以乘出来矩阵了。 然而（这是对角化的前提，当特征向量组成的矩阵如果可以可逆，那么就相当于对角化了。 ）（同时这也是AP=PC的一种方式）当然矩阵的特征向量是很多的，那些基础解系的解都是其特征向量，（从方程的思维），但是不同特征值对应的特征向量之间的线性组合不是其特征向量，而同一个特征值之间的任意的特征向量的线性组合都是其这个特征值的特征向量，（可以根据定义加和可得）是不是其特征值，只要满足特征方程那个式子就行。 （下面也有解释的）要关注这个特征方程，可以设f（a）特征方程。 充分利用这个特征方程。 只要能证明f(a)=0,就知道a就是这个特征方程的特征值。 如，正交矩阵（行列式为1或-1），如果为1，那么一定有特征值-1.A,B都是方阵，AB与BA的关系，一定是行列式一样（能说明特征值的乘积一样），根据行列式的性质（分别相乘）有个重要的特征，这两个矩阵有同样的特征值，（证明的用定义，当然特征值一样，特征向量可以不一样的，正如书上的转置了，特征值一样，但是特征向量不同，要学会对比证明的方式，A的特征向量是A多项式的，但是不是说一样，因为反过来不一定是的。 ）证明可逆问题（这几个又是相互关联的）从惯性指数来看，当然对于实对称矩阵问题了，从秩（正负惯性指数的和就是秩，还有那些为零的就不叫正负惯性指数了，但是正负和加上零的个数就是等于N）角度来看从特征值来看，如果不存在特征值为零的，就可逆，也就是行列式不为零（因为行列式等一特征值的乘积）。 从行列式的角度来看从行列式的性质两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵（要保证这两个分开的矩阵是方阵，否则不行）各自行列式的乘积。 因此只要证明这两个矩阵行列式都不为零就行。 如相似问题，（学会代入法利用已知条件，和同乘一个矩阵的方法。 ）可以从根源上特征值上找。 这些是推出那些行列式（还可以用行列式的性质，等于各个矩阵的行列式的乘积（也要求方阵），秩和可逆不可逆的等价了，但是这个没法推出另外的相似（因为实对称矩阵特征值相等才推出相似才是充要条件）但是，A-B两个矩阵相似，可以推出各自的M次方也是相似的，同时aE-A同aE-A也是相似的A和B的逆（当然需要可逆）也相似。 多项式相似，代数余子式页相似，（但是反推就不行了，如果反推还能用同样的道理，也行）同时还可以知道相似要找的矩阵和原相似要找的那个矩阵都是一样的，（可以用定义证明）。 虽然A转置和A的特征值一样（证明的途径不是一定要代进去的，可以变换形式来考虑），但是特征向量很不相同，但是A-B相似，特征向量又紧密的联系的。 就是B的特征向量乘以存在的那个矩阵的逆矩阵。 （可以证明的）那么这里面的P之间还有关系的。 （用定义思考）但是特征矩阵的行列式一样，并不能推出各个矩阵相似。 AOCOOCOD如果A相似于B，C相似于D，那么这两个分块矩阵形式的也相似。 可以利用已知条件代入法证明。 反过来思考，作为一个矩阵提供了一种思路。 秩的问题一个矩阵乘一个可逆矩阵，秩不改变。 （在视频的相似里面那个）（怎么证明用行列式性质可以说明一点，行列式为零不为零是不改变的，因为初等变换不改变行列式的秩？，而初等变换相当于乘个矩阵，而可逆矩阵之所以可逆的一个充要条件是等于多个初等矩阵的乘积。 ？（这个也这么证明必要性，因为初等矩阵都是可逆矩阵？初等矩阵的性质书P39页（因为初等变换就这三种形式（第三种形式怎么证明），可以证明其行列式），根据行列式乘积的性质，所以这个矩阵行列式不为零，但是怎么证明充分条件？）也可以用特征值来表达，也可以用线性方程组来表达，也可以用合同来表达。 问，特征值一样，就不一定相似吗？不是。 首先无法证明出定义的形式，（而实对称矩阵不一样，它可以，当然还要注意，和单位矩阵相似的只有它自己想想为什么）举例只要在对角线上都是1，下三角的一个矩阵，上面那些数字可以随便给，可以知道U-1AU=B,即UBU-1=A,，上面已经知道特征值都是1，加入说BE，那么，如果说特征值都相等就相似的话，所以A=UEU-1=E,结论错误。 对角化问题当一个矩阵能够对角化，相当相似于一个对角矩阵（实对称矩阵了，用二次型里面的变化，这个对角矩阵就合同与单位矩阵。 ）（但是不能说原矩阵合同于单位矩阵，也不能说相似于这个单位矩阵）（注意，相似不一定合同，只有实对称矩阵的相似就等于合同，（因为它存在一个正交矩阵的东西使这个正交矩阵的转置等于逆。 这是正交矩阵的性质，因为定义AAT=E而AA-1=E）和单位矩阵相似的只有它自己，和数量矩阵相似的只有它自己。 （视频特征值和特征向量里在说明不是任何矩阵都对角化的里面解释了。 ）但是和单位矩阵合同的就很多了，只要实对称矩阵正惯性指数等于N就行！实对称矩阵必可以对角化。 能够对角化的条件也就是意味着这个对角矩阵和原矩阵相似，相当于AU-1=UB,把U给拆分，可以证明，U里面的列向量就是A的特征向量。 对角化要求这个矩阵有N个线性无关的向量，而这个向量组成矩阵就是U，正好说明U可逆。 （A-B相似，特征向量又紧密的联系的。 就是B的特征向量乘以存在的那个矩阵的逆矩阵。 ）为什么例题中的，u的列向量不是A的特征向量？关于方程组解的问题如果方程组的系数矩阵的秩小于列向量的个数N，则有无数多个解的，这无数多个解的关系是这无数多个解形成的矩阵中最大线性无关的个数是M（因为最大下面的那些更不相关了），M=N-r，就是没法确定数字的自变量的个数，但是这不能说就固定在哪几个上面了，就象线性无关组定义那页的概念，一个矩阵里的可以有另外同样个数（极大无关组数目）的线性无关的组。 但是并不是说一个矩阵里任意R（个数等同于线性无关组的个数）线性组就不相关。 所以，我们就把解中的任意N-r个线性无关组（即最大无关组）叫基础解系（同时可以证明其他解都可以用这N-r来线性表出。 当然即使线性表出的这些解中，并不是都相关的，只是说拿出任意一个和原来这些给出的解是线性相关的了）。 所以基础解系不止一个，（一般的求法就是用标准的带入那些的变量。 作为其中的一个，但是写其他的也行的，只要满足不相关就行，）矩阵对角化要求有N个不相关（之所以不相关是因为U要求可逆的原因）的特征向量（相当于是那些特征值的满足aE-A行列式为零的解的），当然是每个特征值对应一个了，如果重根就对应重根的个数，可以证明当相似时，aiE-A对应的每个特征值的秩就是特征向量基础解系的个数。 当然特征值各不相同的矩阵是可以对角化的。 反之错所谓的特征值和特征向量对应的对应是指的是，当U（就是使相似的那个可逆矩阵）的组成特征向量组成的，它的顺序怎么排，那么对应的对角化的矩阵就是对角线上的特征值对应U的列向量的对应的顺序。 （所以说相似的那个对角矩阵对角线上的数字可以随便的调换）注意U-1A*U，这里的*不是代表乘，而是指A的代数余子式。 不要看错了。 如果题目出的是已经知道一个矩阵可以对角化，让你求里面含有的字母，可以找个特征值方程的，一种角度，（知道对角线上的和等于特征值的和，但是积不等于行列式，而是特征值的积等于行列式，但是知道这个不是约束这个方程的，因为这个关系就是从这个方程中出来的，但是可以利用这个角度。 ）U的求法，就是特征向量，不相关的特征向量。 例题中那个U为什么不是特征向量？不同特征值之间的特征向量是线性无关的。 而且同一个特征值不相关的特征向量，加入上面那些特征向量中，仍然是不相关的。 纠正二次型里面的正交化，开始找的那几个行列式是不相关的，但是不一定正交，所以还要正交化。 从那个特征方程中可以知道每个特征值带入可以使aE-A，的秩小于N的，但是没法说明到底是等于几的，所以，能证明那个对角化的充要条件的等式才可以对角化的，不等于是不可以对角化的学会向量的乘法，见（特征值与特征向量那讲，一个例题，用向量表示的例题）当知道几个向量不相关时，如果知道每个向量的行数等于这几个向量的个数，就要想到组成的矩阵是可逆的。 一般的几个向量组成的矩阵一般不一定是方阵。 注意告诉U-1AUB，B不一定是对角矩阵，但是可以说A与B相似，当然如果A相似与一个对角矩阵，则B也相似，但是他们不一定能够相似与对角矩阵（也就是对角化）如果想求A的对角化的那个C，可以通过求出B对角化的那个可逆矩阵P，则C=UP（通过定义）注意连环相似的各个可逆矩阵的关系。 注意前面是不同的特征值的特征向量之间是线性无关的，当然这里可以指的是这两个特征向量线性无关，同时定理还说，是这几个向量组的向量组之间也是线性无关的，即整体线性无关的，不仅仅是任意两个无关的，当然前面要求对角化的是无关是因为可逆的要求，当然不紧紧是指两两线性无关的，同时要求整体无关的。 而且还有一个定理4.5指出重特征值几个不相关的特征向量（这里是整体不相关的，不是量量不相关就行的）再加上不同特征值的特征向量也是不相关的。 当然这里面重特征值的特征向量个数是没有定的，当然根据理解，不可能超过这个特征值组成的特征方程的基础解系的个数的。 但是特征向量可以有很多，整体不相关的向量组的个数只有N-R的，但是可以存在大于个数的向量，使他们两两不相关，（但整体一定相关的，因为可以线性表出）但是也并不是随便的就都不相关的。 关于维度问题，首先知道正交（即垂直）的的向量的个数一定小于向量的维度（即每个向量的竖的个数，）因为一种解释的角度一个向量和其他的向量正交不存在纬度的约束的（象一个平面坐标系里，二维的，可以一个和很多个垂直的），但是又要保证其他的之间也相互垂直（即正交）相当于一个向量同时垂直于其他相互垂直的向量，比如说，一个向量垂直于另外两个相互垂直的向量，这个肯定是三维的，等等，所以当维度一定，就不可能出现个必维度个数还大的相互正交的向量另一种解释，因为相互正交肯定是这几个向量组整体线性无关，而我们知道，对于N维的向量组，他的个数如果大于N，则这个向量组一定线性相关。 所以也可以知道要正交，相互正交向量的个数一定小于维度。 同时正交向量组线性无关，当然，里面的任何都线性无关。 （证明的方法也可以这样的证明，设矩阵A等于向量组，用ATA等于一个个数为S（为向量组个数）的方阵，因为r(AB)小于等于A和B的秩的最小值？（书上？）所以A的秩为S，所以线性无关。 注意，向量组的线性无关不是一定能说明组成的矩阵可逆，当然要满足方阵了。 但是向量组的秩定义是极大无关组的个数。 注意矩阵的秩和向量组的秩有关系，二者相等，矩阵的行秩等于列秩，一般的我们说矩阵的秩都正常的看做是行秩，而向量组的秩一般是看作列秩。 向量的内积还有性质的。 三个1.可交换，双线性，本身的内积大于等于零。 向量正交（内积为零）就是几何上的垂直。 零向量和任何向量是正交的，注意，向量的内积（是一个数），就是对应的相乘，当然如果一个矩阵的内积（必须）就不是一个数的，它起源于向量的内积。 在表达向量的内积的时候ATB(这里A和B假设为向量)表达方式（保证一行一列），然而向量内的元素是数字，还有在表大矩阵的内积时，可以看做是有S个向量元素的矩阵，它的也是ATB,否则表达的就是不一样了。 当然矩阵的内积一般称为同一个矩阵转置和它相乘的。 相乘后就是对称矩阵的，（看对应的位置相等的，对角线上就是向量的内积）正好可以验证ATA是对称矩阵的。 正交向量组，是里面两两正交，没有说整体正交的，而线性不相关则是既有两两，又有整体的概念。 正交矩阵（当然根据内积的方法，不是方阵的矩阵也可以是转置和其相乘等于E）当然，如果A是N阶，ATA（为实对称矩阵，可以用定义证明，也可以用内积证明）AAT的，同时列向量之间是正交的，而且每个向量是单位向量，就是A正交矩阵的了。 所以如果说A是正交矩阵，可以利用这个条件的同时列向量之间是正交的，而且每个向量是单位向量（表明本身的内积和为1）。 （向量内积的性质）同时可以利用A的逆等于A的转置。 N阶实矩阵正交矩阵的充要条件还可以说AATE，或者说A可逆，并且，A-1=AT（实际上只要这么说就承认有了可逆的条件了）但是正交矩阵不一定是实对称矩阵。 正交矩阵的充要条件是（N维向量个数等于维度的前提）行向量（因为这里ATAAAT）和列向量都是单位正交向量组。 正交矩阵的性质特征值（特征值的乘积等于1或者等于-1）？秩（因为可逆，线性无关，或者和其转置的行列式乘积等于1），ATAAAT，A-1当然也正交矩阵了（反之也成立），A,B，都正交矩阵则AB也正交矩阵。 ，AT也是正交的。 用到分块矩阵的性质，向量内积的性质。 于对角化的矩阵的那么根联系，可以看出一些东西。 要求所有的矩阵都是实数的。 矩阵AB的很多性质A,B都可逆，则AB也可逆，A,B，都正交矩阵则AB也正交矩阵（反之不行），施密特正交法（为什么基础解系经过这个画法后还是基础解系？）（就是利用正交矩阵的性质，把其中列向量给正交化的就可以说明是正交矩阵了）相当于物理里面的把各个方向的力给分解乘相互垂直的力，所以先第一个确定一个方向，第二个向量分解乘一部分是沿着第一个向量的方向，第二个是垂直于第一个的方向的，（同时注意向量的加减法原理同力一样，平行四边形法，当然画图可以看见就相当于垂直分解的向量的坐标的加减的）所以，第二个方向的向量等于这个向量减去在第一个方向上的分量，不知道是多少，就用一个系数乘第一个方向向量来表示，剩下的就是第二哥方向的向量，根据正交可以求出这个系数。 第三个向量也是，分解三个部分，分别同上面两个方向一样，另外还有一个同时垂直于这两个方向，也用系数表示，根据垂直可以分别求出系数。 正交化求出的只是满足正交，再单位化就可以了。 当然能正交化的一个必要条件是不相关。 基础解系问题假如a1，a2，a3（因字不好打，暂说明为向量），为一个基础解系，那么另外还可以怎么用这三个向量表示，需要满足什么条件？首先基础解系是线性无关的，个数就是这么多，其他的解都可以用这三个向量来线性表示（所以也不是任意的向量都是其解的），所以再找基础解系，一个满足无关，个数一样，另外一个要能为这个向量组线性表出。 当然同时因为这个也是基础解系，原来的也可以用这新的三个线性表出。 那如果一个无关组可以由另外的无关组线性表出，那么，这两个等价吗？实对称矩阵对于实对称矩阵，每一个特征值重数的个数等于特征方程的秩（能对角化的矩阵都是的）还说存在一个正交矩阵使之对角化，当然，首先我们知道对于任意的矩阵只要满足条件都可以对角化，那矩阵的能对角化的可逆矩阵是那些特征向量组成的。 因此实对称矩阵也是，只要它的特征向量的矩阵都可以使之对角化。 因为这里特征向量里面，只有不同特征值的特征向量是正交的，（只所以要求对称是因为证明的过程中用到对称的转置等于原来的这个性质），同一个特征值的特征向量是不一定正交的，但是一定不相关，而且也不一定是单位向量的，当然施密特正交化后，可以得到正交矩阵的，这里形成的对角矩阵和不正叫化后的矩阵有什么区别？没有什么区别的，都是特征值组成的对角矩阵。 而不管是用的正交矩阵还是特征向量组成的特征向量组成的矩阵计算出来的A都是一样的，（当然计算时特征值何特征向量要对应，只要保证这个原则，不管怎么调换，即使U不一样，结果都是一样的，根据是对角化的条件的证明）(参考二次型的正交变换)？而用正交矩阵的好处是，求U-1可以用UT来代替，简便。 （例子第五讲例八，和书上对比）单位化后的向量仍然是特征向量。 注意向量组和矩阵的综合运用。 证明线性无关的问题1.正交矩阵的任何向量组都是线性无关的，2.齐次方程组的解没有非零解3.矩阵的秩是N（r（A,B）r(A)充要条件是B能被A线性表出，解释因为既然相当，相当于A，B的极大无关组个数等于A的极大无关组个数，根据下面线性表出问题，可以得到解释？一般情况下，r（A,B）r(A），当B不能为A线性表出的时候，是大于号，能，是等于号。 4.矩阵可逆（这里不仅是利用单独的好看的形式的，还可以利用组合的形式，如，(b1,b2,b3）=(a1+2a2+3a3,4a2+5a3,6a4）可以看成一个矩阵，同时可以看成（a1,a2,a3）乘一个数字矩阵的，然后利用一个矩阵乘可逆矩阵，秩不变。 如果（a1,a2,a3）可逆，那么秩决定于C5.反证法6.定义证7.极大无关组8.利用看里面是不是有个别向量可以成为其他的线性表出。 如果可以，就线性相关。 线性问题和方程组的结合。 AX=B有解的充要条件是R(A,B)=R(A),也是提供一种联合矩阵的思维方式。 线性表出没有说一定是非零解，而特征向量一定是非零向量，但是线性相关一定要非零系数线性表出的问题根据极大无关组的定义，任一向向量都可以表示为极大无关组的线性组合，那么相当于说明任何一个向量都可以表示成包含向量组在内的向量组的线性组合。 （那些可以为零的。 ）一个向量组线性相关，不是代表里面每个都可以表示成为其他向量组的线性组合，就象开始极大无关，加入一个就相关了，只能说可以任意的可以线性表出为极大无关组的线性组合。 如果开始极大无关，加入一个秩增加一个，那么，这个也是无法线性表出其他的。 当一个线性无关的组秩为N，加入一个后也许还是不相关，比较，N维的，N个向量组，那么任意的都可以表示成之行向量线性相关不等同于列向量线性相关，只是说行秩等同于列秩，即个数相等。 （列数不等于行数时）如果列向量线性无关，那么行向量一定线性相关，如果数目相等，那一定不相关（根源都是行秩等于列秩，而且N维里面，如果列向量个数大于N一定相关，得来的。 ）（但是注意如果列向量为单位正交向量组，那么也可以说明行向量也是单位正交向量组。 因为这就是正交矩阵。 ）只要不是零矩阵，秩一定大于零。 因为一个非零向量线性无关对于三阶的矩阵的秩，可以用行列式判定等不等于3，然后看两个的线性相关吗，这是个简便的方法。 什么时候取等号？对于AB0的问题如果存在一个非零矩阵的B能满足这个式子，（假如A为方阵）则A的行列式一定为零，（假如不为零，则B的秩等于0的秩，那么错了。 或者R(A)+R(B)=A的列数，那么B的秩至少大于一，所以A的秩小于A的列数）。 对于AB的秩的问题R(A)+R(B)=R(AB)+AR(AB)=min(R(A),R(B)（这里的等于可以举例，A,B，都正交矩阵则AB也正交矩阵，其他条件一般要求什么？）当然如果一个矩阵能用两个非零向量相乘，则根据定理，则之歌矩阵秩一定为1。 （同时也说明了不是任何矩阵都能表示成两个向量的）但是向量组就不是这样了。 对于A+B的秩的问题（A-B？）（因为A+B可以用（A,B）向量组线性表出，所以R(A+B)=R(A,B)=R(A)+R(B)）关于（A,B）的秩的问题R(A,B)=maz(R(A),R(B)判定一个A多项式的可逆性，看其有无特征值为零的。 求一个A的K次方，可以用对角化的公式。 P-1D对角矩阵P P-1对角矩阵P P-1对角矩阵P，或者直接求其特征，再对角返回。 对于选择题可以用特殊值法。 求逆的类型1。 求一个A多项式逆，2。 一个多项式满足一个方程，求这个A的逆（先要证明A可逆）。 方法可以用定义，化简成AB=E的形式，关键找到乘积的形式和E。 3.一直一个可逆，求等式。 任意两个矩阵之间的关系存在合同，对角化，相似，特征值相等，逆，转置，秩相等许多关系的，那么要明确这些关系要求的条件。 比如，前面讲过任意的矩阵都可以初等变换（左右分别乘各自的初等矩阵（当然是可逆的）形如一个矩阵，那么说明，当A，B都可逆，就存在这种关系使有可逆的初等矩阵P,Q满足，PAQ=B。 什么是非奇异矩阵？分块矩阵的计算特征值的问题关于分块矩阵的研究行列式如果一个矩阵可以表示成两个向量的乘积，那么，这个矩阵秩为1。 （根据秩的公式，R（AB）=min(R(A)R(B）)的列数。 同时又满足线性问题（上面的线性结论可以从下面得到真正的顺序的解释）如果一个向量组线性无关，并不是代表他们再线性组合之间的向量之间也是无关的。 正同几何里面的向量关系可以理解。 然而一个向量组的部分向量也是无关的，可以从几何角度更好理解，也可以反证法来解释。 注意，向量的线性表出与矩阵的乘法和方程组有很大关系，甚至可以说是一个原理，有很大的关系，如果一个向量可以用一个向量组线性表出，则AXB,有解（因为这里没有考虑非零的问题，不像线性无关要求非零解。 ），也可以写成（a1,a2,a3,a4,an）X=B,有解，（但是注意这么写，没有代表是（a1x,a2x,a3x,a4x,anx）=B,这样是不对的，注意，怎么写都无所谓，但是计算时要保证行列对应，哪个看成一个整体，要注意的。 这AB可以用A的列向量线性表出和B的行向量线性表出的一个很好的解释）如果一个向量组可以用一个线性用一个向量组线性表出，那么AB=C是一样的道理，也就是能找到一个矩阵B满足这个式子的，（当然这是先知道A，C而问B的存在的，不是说两个矩阵相乘当然也会产生一个矩阵了）（但是记住即使存在