高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式课件 新人教A版选修45.ppt

二绝对值不等式1 绝对值三角不等式 自主预习 1 绝对值的几何意义 原点 距离 长度 a 2 绝对值三角不等式 1 定理1 如果a b r 则 a b 当且仅当 时 等号成立 2 定理1的推广 如果a b是实数 则 a b a b a b a b ab 0 3 定理2 如果a b c r 那么 a c a b b c 当且仅当 时 等号成立 a b b c 0 即时小测 1 已知a b r 则使不等式 a b 0b a b0d ab 0 解析 选d 根据绝对值的意义 可知只有当ab 0时 不等式 a b a b 成立 2 对任意x y r x 1 x y 1 y 1 的最小值为 a 1b 2c 3d 4 解析 选c 对任意x y r x 1 x y 1 y 1 x 1 x 1 y y 1 x 1 x 1 y y 1 3 当且仅当x 0 1 y 1 1 时 等号成立 3 不等式 x 1 x 1 a恒成立 则实数a的取值范围为 解析 因为 x 1 x 1 x 1 x 1 2 当且仅当 1 x 1时等号成立 所以 使不等式 x 1 x 1 a恒成立的实数a的取值范围为a 2 答案 a 2 知识探究 探究点绝对值三角不等式1 用向量a b分别替换a b 当a与b不共线时 有 a b a b 其几何意义是什么 提示 其几何意义是 三角形的两边之和大于第三边 2 不等式 a b a b a b 中 成立的条件分别是什么 提示 右侧 成立的条件是ab 0 左侧 成立的条件是ab 0且 a b 归纳总结 1 对定理1的两点说明 1 由于定理1与三角形边之间的联系 故称此不等式为绝对值三角不等式 2 定理1可推广到n个实数情况即 a1 a2 an a1 a2 an 2 定理2的几何解释在数轴上 a b c所对应的点分别为a b c 当点b在点a c之间时 a c a b b c 当点b不在点a c之间时 1 点b在a或c上时 a c a b b c 2 点b不在a c上时 a c a b b c 类型一利用绝对值三角不等式证明不等式 典例 设函数f x x2 2x 实数 x a 1 求证 f x f a 2 a 3 解题探究 典例中对于 f x f a 如何构造 使其满足绝对值不等式的形式 提示 f x f a x2 2x a2 2a x a x a 2 证明 因为函数f x x2 2x 实数 x a 1 所以 f x f a x2 2x a2 2a x a x a 2 x a 2 x a 2a 2 x a 2a 2 1 2a 2 2 a 3 所以 f x f a 2 a 3 方法技巧 两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式 往往可通过平方法 换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明 或利用 a b a b a b 通过适当的添 拆项证明 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式 往往可考虑利用一般情况成立 则特殊情况也成立的思想 或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明 变式训练 1 设m是 a b 和1中最大的一个 当 x m时 求证 2 解题指南 利用m a m b m 1求解 证明 因为 x m b 且 x m 1 所以 x2 b 又因为 x m a 所以故原不等式成立 2 若f x x2 x c c为常数 x a 1 求证 f x f a 2 a 1 解题指南 将 f x f a 分解成含 x a 的形式 再利用 x a 1证明 证明 f x f a x2 x c a2 a c x2 x a2 a x a x a 1 x a x a 1 x a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 x a 2a 1 1 2 a 1 2 a 1 类型二利用绝对值三角不等式求最值或取值范围 典例 求函数y x 3 x 1 的最大值和最小值 解题探究 典例中求 x 3 x 1 的最值可利用哪个绝对值不等式 提示 根据 a b a b 求最值 解析 因为 x 3 x 1 x 3 x 1 4 所以 4 x 3 x 1 4 所以ymax 4 ymin 4 延伸探究 1 典例中函数y取到最大值时 需满足什么条件 解析 函数y取到最大值 需要满足解得x 1 2 若将典例条件改为 x 3 x 1 a的解集不是r 求a的取值范围 解析 只要a不小于 x 3 x 1 的最小值 则 x 3 x 1 a的解集不是r 而 x 3 x 1 3 x x 1 3 x x 1 4 当且仅当 3 x x 1 0 即 1 x 3时取最小值4 所以a的取值范围是 4 方法技巧 求f x x a x b 和f x x a x b 的最值的三种方法 1 转化法 转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解 2 利用绝对值三角不等式进行 放缩 求解 但要注意两数的 差 还是 和 的绝对值为定值 3 利用绝对值的几何意义 变式训练 已知x r 求函数f x x 1 x 2 的最大值 解析 根据绝对值的三角不等式 有 x 1 x 2 x 1 x 2 3 当且仅当x 2时等号成立 故函数f x x 1 x 2 3 所以最大值为3 类型三绝对值三角不等式的综合应用 典例 2014 全国卷 设函数f x x a a 0 1 证明 f x 2 2 若f 3 5 求a的取值范围 解题探究 1 典例 1 中可利用什么来证明f x 2 提示 利用绝对值不等式去掉x 再利用平均不等式证明 2 典例 2 中含绝对值的不等式如何转化为不含绝对值 提示 可通过对a讨论 去掉绝对值 解不等式 解析 1 由a 0 有f x 所以f x 2 2 f 3 3 a 当a 3时 f 3 a 由f 3 5 得3 a 当0 a 3时 f 3 6 a 由f 3 5 得 a 3 综上 a的取值范围是 方法技巧 绝对值不等式综合应用的解题策略含绝对值的综合问题 综合性强 所用到的知识多 在解题时 要注意应用绝对值不等式的性质 推论及已知条件 还要注意配方等等价变形 同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时 还要注意等号成立的条件 变式训练 1 设f x ax2 bx c 当 x 1时 恒有 f x 1 求证 f 2 7 证明 因为 x 1时 有 f x 1 所以 f 0 c 1 f 1 1 f 1 1 又f 1 a b c f 1 a b c 所以 f 2 4a 2b c 3 a b c a b c 3c 3f 1 f 1 3f 0 3 f 1 f 1 3 f 0 3 1 3 7 所以 f 2 7 2 已知函数f x lg 1 判断f x 在 1 1 上的单调性 并给出证明 2 若t r 求证 解析 1 f x 在 1 1 上是减函数 证明 令取 1 x1 x2 1 则u1 u2 因为 x1 1 x2 1 x10 即u1 u2 又在 1 1 上u 0 故lgu1 lgu2 得f x1 f x2 所以f x 在 1 1 上是减函数 2 因为所以