高三数学一轮复习 8.3圆的方程课件 .ppt

第三节圆的方程 知识梳理 1 圆的定义 方程 定点 定长 a b d2 e2 4f 0 2 点与圆的位置关系 1 确定方法 比较 与 的距离与半径的大小关系 2 三种关系 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 点在圆上 点在圆外 点在圆内 点 圆心 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 考点自测 1 思考 给出下列命题 方程 x a 2 y b 2 t2 t r 表示圆心为 a b 半径为t的一个圆 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆心为半径为的圆 方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的充要条件是a c 0 b 0 d2 e2 4af 0 若点m x0 y0 在圆x2 y2 dx ey f 0外 则x02 y02 dx0 ey0 f 0 其中正确的是 a b c d 解析 选d 错误 当t 0时 方程表示圆心为 a b 半径为 t 的圆 错误 当a2 2a 2 4 2a2 a 1 0即时才表示圆 正确 因为a c 0 b 0 d2 e2 4af 0得方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆 反之也成立 正确 因为点m x0 y0 在圆外 所以即x02 y02 dx0 ey0 f 0 2 已知点a 1 1 b 1 1 则以线段ab为直径的圆的方程是 a x2 y2 2b x2 y2 c x2 y2 1d x2 y2 4 解析 选a ab的中点坐标为 0 0 所以圆的方程为 x2 y2 2 3 已知圆x2 y2 dx ey 0的圆心在直线x y 1上 则d与e的关系是 a d e 2b d e 1c d e 1d d e 2 解析 选d 圆心坐标为所以即d e 2 4 已知方程x2 y2 2kx 4y 3k 8 0表示一个圆 则实数k的取值范围是 a 11d k4 解析 选d 由 2k 2 42 4 3k 8 4 k2 3k 4 0 解得k4 5 圆 x 2 2 y2 5关于原点 0 0 对称的圆的方程为 解析 因为圆 x 2 2 y2 5的圆心坐标为 2 0 它关于原点的对称点为 2 0 所以该圆关于原点的对称圆的方程为 x 2 2 y2 5 答案 x 2 2 y2 5 6 若原点在圆 x m 2 y m 2 8的内部 则实数m的取值范围是 解析 因为原点在圆 x m 2 y m 2 8的内部 所以 0 m 2 0 m 2 8 即m2 m2 8 所以 2 m 2 答案 2 m 2 考点1确定圆的方程 典例1 1 若圆心在x轴上 半径为的圆o 位于y轴左侧 且与直线x 2y 0相切 则圆o 的方程是 a x 5 2 y2 5或 x 5 2 y2 5b x 2 y2 5c x 5 2 y2 5d x 5 2 y2 5 2 如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x 2y 5 0 y 2 0 x y 4 0 则该三角形的外接圆方程为 解题视点 1 先设圆心的坐标 依据圆与直线相切 可得到圆心到直线的距离等于半径 进而得到圆的方程 2 可依据条件求出三角形的三个顶点坐标 再求圆心坐标 半径或利用待定系数法直接求解 规范解答 1 选d 设圆心坐标为 a 0 a 0 因为圆与直线x 2y 0相切 所以解得a 5 因此圆的方程为 x 5 2 y2 5 2 因为三角形的三边所在的直线方程分别为x 2y 5 0 y 2 0 x y 4 0 解方程组可得三个顶点的坐标 分别设为a 1 2 b 2 2 c 3 1 方法一 因为ab的垂直平分线方程为bc的垂直平分线方程为 x y 1 0 解方程组得即圆心坐标为半径因此 所求圆的方程为 方法二 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 因为圆过点a 1 2 b 2 2 c 3 1 所以12 22 d 2e f 0 22 22 2d 2e f 0 32 12 3d e f 0 联立 得 d 3 e 1 f 0 因此所求圆的方程为 x2 y2 3x y 0 答案 x2 y2 3x y 0 互动探究 若题 2 中的条件不变 求能覆盖此三角形且面积最小的圆的方程 解析 由原题可知 三角形的三个顶点的坐标分别为a 1 2 b 2 2 c 3 1 易得该三角形为钝角三角形 而能够覆盖三角形且面积最小的圆是以钝角的对边 最长边 为直径的圆 而最长边的两个端点坐标分别为a 1 2 c 3 1 即圆的直径为圆心坐标为因此所求圆的方程为 易错警示 忽视题设条件导致错解本例 1 中 极易忽略圆o 位于y轴左侧这一条件 在设圆心坐标时忽略a 0这一条件 造成错解 规律方法 1 求圆的方程的两种方法 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程 依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于d e f的方程组 进而求出d e f的值 2 确定圆心位置的方法 1 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 2 圆心在圆的任意弦的垂直平分线上 3 两圆相切时 切点与两圆圆心共线 提醒 解答圆的有关问题 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质 变式训练 1 2014 聊城模拟 关于方程x2 y2 2ax 2ay 0表示的圆 给出下列叙述 关于直线x y 0对称 其圆心在x轴上 过原点 半径为其中叙述正确的是 要求写出所有正确命题的序号 解析 圆心为 a a 半径为故 正确 答案 2 如果三角形三个顶点分别是o 0 0 a 0 15 b 8 0 则它的内切圆方程为 解析 由题意知 aob是直角三角形 所以内切圆半径为r 圆心坐标为 3 3 故内切圆方程为 x 3 2 y 3 2 9 答案 x 3 2 y 3 2 9 加固训练 1 以抛物线y2 4x的焦点为圆心 半径为2的圆的方程为 a x2 y2 2x 1 0b x2 y2 2x 3 0c x2 y2 2x 1 0d x2 y2 2x 3 0 解析 选b 因为抛物线y2 4x的焦点是 1 0 所以圆的标准方程是 x 1 2 y2 4 展开得x2 y2 2x 3 0 2 求圆心在直线y 4x上 并且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 的圆的方程 解析 方法一 设圆心c a 4a 由题意得 即a2 2a 1 0 解得a 1 所以圆心c 1 4 所以圆的标准方程为 x 1 2 y 4 2 8 方法二 过切点p且与l垂直的直线是y 2 x 3 即x y 5 0 由得圆心 1 4 于是所以圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 考点2与圆有关的轨迹问题 典例2 1 已知点m在曲线x2 y2 1上 点n 2 0 则线段mn的中点p的轨迹方程为 a x 1 2 y2 b x 1 2 y2 c x 1 2 y2 d x 1 2 y2 2 如图所示 已知p 4 0 是圆x2 y2 36内的一点 a b是圆上两动点 且满足 apb 90 求矩形apbq的顶点q的轨迹方程 解题视点 1 先设mn的中点坐标为 x y 由n点坐标求出m点的坐标 利用点m在曲线上 即可求出点p的轨迹方程 2 利用矩形的对角线互相平分且相等列方程求解 规范解答 1 选b 设m x0 y0 p x y 由题意得 即又因为m x0 y0 在曲线x2 y2 1上 所以 2x 2 2 2y 2 1 即 x 1 2 y2 2 设ab的中点为r 坐标为 x1 y1 连接or pr 则在rt abp中 ar pr 又r是弦ab的中点 所以在rt oar中 ar 2 ao 2 or 2 36 x12 y12 又 ar pr 所以有 x1 4 2 y12 36 x12 y12 即x12 y12 4x1 10 0 因此点r在一个圆上 而当r在此圆上运动时 点q即在所求的轨迹上运动 设q x y 因为r是pq的中点 所以代入方程x12 y12 4x1 10 0 得整理得 x2 y2 56 即所求q点的轨迹方程为x2 y2 56 规律方法 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 变式训练 2014 郑州模拟 若圆x2 y2 ax 2y 1 0与圆x2 y2 1关于直线y x 1对称 过点c a a 的圆p与y轴相切 则圆心p的轨迹方程为 a y2 4x 4y 8 0b y2 2x 2y 2 0c y2 4x 4y 8 0d y2 2x y 1 0 解析 选c 由圆x2 y2 ax 2y 1 0与圆x2 y2 1关于直线y x 1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y x 1上 故可得a 2 即点c 2 2 所以过点c 2 2 且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为 x 2 2 y 2 2 x2 整理得 y2 4x 4y 8 0 加固训练 已知圆c的方程为 x m 2 y m 4 2 2 1 求圆心c的轨迹方程 2 当 oc 最小时 求圆c的一般方程 o为坐标原点 解析 1 设c x y 则消去m 得y 4 x 所以圆心c的轨迹方程为x y 4 0 2 当 oc 最小时 oc与直线x y 4 0垂直 所以直线oc的方程为x y 0 由得x y 2 即 oc 最小时 圆心的坐标为 2 2 所以m 2 圆c的方程为 x 2 2 y 2 2 2 其一般方程为x2 y2 4x 4y 6 0 考点3与圆有关的最值问题 考情 与圆有关的最值问题是近年来高考命题的一个热点 常以选择题 填空题的形式出现 考查距离 斜率 函数的最值及数形结合思想 高频考点通关 典例3 1 2014 杭州模拟 已知实数x y满足x2 y2 4 y 0 则m x y的取值范围是 2 2013 重庆高考 设p是圆 x 3 2 y 1 2 4上的动点 q是直线x 3上的动点 则 pq 的最小值为 a 6b 4c 3d 2 3 2014 湖州模拟 已知圆c x 3 2 y 4 2 1 点a 0 1 b 0 1 p是圆c上的动点 当 pa 2 pb 2取最大值时 点p的坐标是 解题视点 1 可依据点 x y 在半圆x2 y2 4 y 0 上 利用数形结合思想求解 2 pq 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径 3 可利用距离公式 求出 pa 2 pb 2的表达式 转化为圆上的动点到原点距离的最值 规范解答 1 选b 数形结合 由于y 0 所以x2 y2 4 y 0 为上半圆 是直线 如图 且斜率为在y轴上截距为m 又当直线过点 2 0 时 所以即解得选b 2 选b 由题意知 pq 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径 圆心 3 1 到直线x 3的距离为6 半径为2 所以 pq 的最小值为6 2 4 3 设p x0 y0 则 pa 2 pb 2 x02 y0 1 2 x02 y0 1 2 2 x02 y02 2 显然x02 y02的最大值为 5 1 2 所以dmax 74 此时结合点p在圆上 解得点p的坐标为答案 通关锦囊 通关题组 1 2014 台州模拟 设p x y 是圆 x 2 2 y2 1上的任意点 则 x 5 2 y 4 2的最大值为 a 6b 25c 26d 36 解析 选d 因为圆 x 2 2 y2 1的圆心坐标为 2 0 该圆心到点 5 4 的距离为所以圆 x 2 2 y2 1上的点到 5 4 距离的最大值为6 即 x 5 2 y 4 2的最大值为36 2 2013 宁波模拟 已知点m是直线3x 4y 2 0上的动点 点n为圆 x 1 2 y 1 2 1上的动点 则 mn 的最小值是 解析 选c 圆心 1 1 到点m的距离的最小值为点 1 1 到直线的距离故点n到点m的距离的最小值为 3 2014 温州模拟 一束光线从点 1 1 出发经x轴反射到圆c x 2 2 y 3 2 1上的最短路程是 a 4b 2 1c 5d 2 解析 选a 如图点 1 1 关于x轴的对称点是a 1 1 而点a 1 1 到点c 2 3 的距离 ac 5 所以a到圆上的最短距离是5 1 4 即光线从点 1 1 出发经x轴反射到圆上的最短距离为4 4 2014 沈阳模拟 已知圆c x 2 2 y2 1 p x y 为圆上任一点 则x 2y的最大值为 最小值为 解析 令x 2y m 可得两条切线在y轴上的截距分别是x 2y的最大 最小值 由得所以x 2y的最大值为最小值为答案 5 2014 金华模拟 如果实数x y满足等式 x 2 2 y2 1 那么的最小值为 解析 用数形结合法 设k 则y kx k 3 表示经过点p 1 3 斜率为k的直线 所以求的最小值就等价于求同时经过点p 1 3 和圆上的点的直线中斜率的最小值 结合图形可知 此时斜率存在 由圆心c 2 0 到直线y kx k 3 的距离解得即k的最小值为答案 加固训练 1 2013 日照模拟 直线y x 1上的点到圆x2 y2 4x 2y 4 0的最近距离为 解析 选c 圆心 2 1 到已知直线的距离为圆的半径为r 1 故所求距离 2 2013 石家庄模拟 圆心在抛物线x2 2y上 与直线2x 2y 3 0相切的圆中 面积最小的圆的方程为 解析 圆心在x2 2y上 设圆心为若直线2x 2y 3 0与圆相切 则圆心到直线2x 2y 3 0的距离为r 当x 1时 r最小 从而圆的面积最小 此时圆的圆心为圆的方程为答案 3 2013 温州模拟 若直线2ax by 2 0 a b为正实数 平分圆x2 y2 2x 4y 6 0 则的最小值是 解析 由题意知 直线过圆心 圆心为 1 2 代入直线方程得a b 1 则等号成立的条件为答案 4 2013 泰安模拟 已知对于圆x2 y 1 2 1上任一点p x y 不等式x y m 0恒成立 则实数m的取值范围为 解析 因为x y m 0右上方的点满足 x y m 0 结合图象知 要使圆上的任一点的坐标都满足x y m 0 只需直线在如图所示的切线的左下方 含切线 图中切线的纵截距故只需即即可 答案 易错误区18 求与圆有关的轨迹问题时忽视除去特殊点而致误 典例 设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为邻边作平行四边形monp 则点p的轨迹为 解析 如图 设p x y n x0 y0 则线段op的中点坐标为则线段mn的中点坐标为因为平行四边形的对角线互相平分 所以整理得又因为点n x 3 y 4 在圆x2