高考数学总复习 第十章 第四节二项式定理及其应用课件 理.ppt

第四节二项式定理及其应用 第十章计数原理 概率 随机变量及其分布 考纲要求 1 能用计数原理证明二项式定理 2 会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题 课前自修 知识梳理 1 二项式定理 a b n n n 其通项是 tr 1 r 0 1 2 n 亦可写成 tr 1 an 其中 r 0 1 2 n 叫做二项式系数 而系数则是字母前的常数 a b n n n 特别地 1 x n n n 2 二项展开式系数的性质 1 对称性 在二项展开式中 与首末两端 等距离 的两项的二项式系数相等 即 2 增减性与最大值 在二项式展开式中 二项式系数先增后减 且在中间取得 值 如果二项式的幂指数是偶数 则中间一项的二项式系数最大 即n为偶数时 max 如果二项式的幂指数是奇数 则中间两项的二项式系数相等并且最大 即n为奇数时 max 3 所有二项式系数的和等于2n 即 2n 用赋值法可以证明 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等 即 最大 3 在使用二项展开式的通项公式tr 1 an rbr时 要注意 1 通项公式是表示第r 1项 而不是第r项 2 展开式中第r 1项的二项式系数与第r 1项的系数不同 3 通项公式中含有a b n r tr 1五个元素 只要知道其中的四个元素 就可以求出第五个元素 在有关二项式定理的问题中 常常遇到已知这五个元素中的若干个 求另外几个元素的问题 这类问题一般是利用通项公式 把问题归纳为解方程 或方程组 这里必须注意n是正整数 r是非负整数 且r n 4 证明组合恒等式常用赋值法 基础自测 1 2011 福建卷 1 2x 5的展开式中 x2的系数等于 a 80b 40c 20d 10 解析 因为 1 2x 5的通项为tr 1 2x r 2rxr 令r 2 则2r 22 4 40 即x2的系数等于40 故选b 答案 b 2 2012 重庆卷 8的展开式中常数项为 a b c d 105 解析 原式展开式的第r 1项为tr 1 8 r r rx4 r 令4 r 0 则r 4 所以展开式中常数项为 故选b 答案 b r 3 2012 韶关市第一次调研 2 8展开式中含x4项的系数为 解析 tr 1 28 r r 当r 8时 x4的系数是28 8 1 8 1 答案 1 4 2011 株洲市模拟 若 x 2 5 a5x5 a4x4 a3x3 a2x2 a1x a0 则a1 a2 a3 a4 a5 用数字作答 解析 令x 1得a5 a4 a3 a2 a1 a0 1 令x 0 得a0 32 所以a5 a4 a3 a2 a1 31 答案 31 考点探究 考点一 求二项展开式中特定的项 例1 1 2012 东莞市模拟 6的展开式的常数项是 用数字作答 2 2012 大纲全国卷 若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等 则该展开式中的系数为 解析 1 tr 1 2x 6 r r 1 r 2x 6 2r 当r 3时 得展开式的常数项 为 1 3 20 2 由题知 n 8 tr 1 x8 r r 2r 8 令2r 8 2 得r 5 的系数为 56 答案 1 20 2 56 点评 二项展开式的通项公式tr 1 an rbr r 0 1 2 n 集中体现了二项展开式中的指数 项数 系数的变化 它在求展开式的某些特定项 如含指定幂的项 常数项 中间项 有理项 系数最大的项等 及其系数以及数 式的整除等方面有着广泛的应用 使用时要注意 1 通项公式表示的是第 r 1 项 而不是第 r 项 2 通项公式中a和b的位置不能颠倒 变式探究 1 1 2012 山东日照模拟 若在 ax 1 6的展开式中x4的系数为240 则正实数a为 a 2b 3c 5d 7 2 2012 南昌市一模 设n 则二项式n的展开式中 x2的系数为 解析 1 因为t3 ax 4 1 2 所以a4 240 a 0 故a 2 故选a 2 因为n 6 cosx 6 所以在二项式6中 其展开式通项为tr 1 x6 r r 2 rx6 2r 当r 2时 x2的系数为 2 2 60 答案 1 a 2 60 考点二 赋值法的应用 例2 若 2x 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 求 1 a0 a2 a4 2 a1 a3 2的值 2 a0 a1 a2 a3 的值 思路点拨 对涉及到求与二项式展开式系数有关的求和问题时 常用赋值法 即给二项式中的字母赋予适当的值 例如1或者 1等 问题即可得到解决 解析 1 在使用赋值法前 应先将 a0 a2 a4 2 a1 a3 2变形 即 a0 a2 a4 2 a1 a3 2 a0 a1 a2 a3 a4 a0 a1 a2 a3 a4 令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 2 4 令x 1 则a0 a1 a2 a3 a4 2 4 因此 a0 a2 a4 2 a1 a3 2 2 4 2 4 2 2 4 1 2 因为 a0 a1 a2 a3 a4 a0 a1 a2 a3 a4 2 4 而a4 24 16 所以 a0 a1 a2 a3 2 4 16 点评 二项式定理给出的是一个恒等式 对于a b的一切值都成立 因此 可将a b设定为一些特殊的值 在使用赋值法时 令a b等于多少 应就具体情况而定 有时取 1 有时取 1 也有时要取其他值 一般地 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式各项系数之和为f 1 偶数项系数之和a0 a2 a4 奇数项系数之和为a1 a3 a5 变式探究 2 1 2012 福州市模拟 若 1 2x 2012 a0 a1x a2x2 a2012x2012 x r 则 的值为 a 2b 0c 1d 2 2 2012 厦门市模拟 已知 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x 8 a0 a1x a2x2 a8x8 则a1 a2 a3 a8 解析 1 令x 0 则a0 1 令x 则a0 0 1 故选c 2 令x 0则a0 8 令x 1则a0 a1 a8 2 22 28 29 2 由 知a1 a2 a8 29 10 答案 1 c 2 29 10 考点三 求二项展开式中系数最大 小 的项 例3 已知二项式 1 若展开式中第5项 第6项与第7项的二项式系数成等差数列 求展开式中二项式系数最大项的系数 2 若展开式前三项的二项式系数和等于79 求展开式中系数最大的项 解析 1 2 n 7或n 14 当n 7时 展开式中二项式系数最大的项是t4和t5 t4的系数 23 t5的系数 24 70 当n 14时 展开式中二项式系数最大的项是t8 t8的系数 27 3432 2 由 79 可得n 12 设tk 1项的系数最大 解得9 4 k 10 4 即k 10 故展开式中系数最大的项为t11 且t11 410 x10 16896x10 点评 1 求二项式系数最大项 1 如果n是偶数 则中间一项的二项式系数最大 2 如果n是奇数 则中间两项第项与第项的二项式系数相等并最大 2 求展开式系数最大项 如求 a bx n a b r 的展开式系数最大的项 一般是采用待定系数法 设展开式各项系数分别为a1 a2 an 1 且第k项系数最大 应用从而解出k来 即得最大项 变式探究 3 1 2012 银川模拟 在n的展开式中 只有第5项的二项式系数最大 则展开式中常数项是 a 7b 7c 28d 28 2 2012 青岛市模拟 已知 1 x n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32 则 1 x n的展开式中系数最小的项是 解析 1 由题知只有第5项的二项式系数最大 即n 8 tr 1 1 r 8 r 由8 r 0 得r 6 即常数项为7 故选b 2 令x 1 得2n 32 所以n 5 故系数最小的项是 x3 10 x3 答案 1 b 2 10 x3 考点四 二项式定理的综合应用 例4 1 求证 3n n 2 2n 1 n n 且n 2 2 求s 除以9的余数 思路点拨 1 把3n化为 2 1 n展开后放缩证明 2 求出系数和构造二项展开式求解 1 证明 n n 且n 2 3n 2 1 n展开后至少有四项 而 2 1 n 2n 2n 1 2 1 2n n 2n 1 2n 1 2n n 2n 1 n 2 2n 1 故3n n 2 2n 1 2 解析 s 227 1 89 1 9 1 9 1 99 98 9 1 9 98 97 9 7 98 97 9是正整数 s被9除的余数为7 点评 1 幂指数含n的不等式 n n 用二项式定理证明 有时比用数学归纳法证明要简捷得多 用二项式定理证明不等式时 要根据n的最小值确定展开后的最少项数 然后视具体情况确定应该保留多少项 这实际上是一个放缩适量的问题 2 利用二项式定理解决整除性问题时 关键是要巧妙地构造二项式 其基本思路是 要证明一个式子能被另一个式子整除 只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可 因此 一般要将被除式化为含有相关除式的二项式 然后再展开 此时常采用 配凑法 消去法 配合整除的有关知识来处理 变式探究 4 1 22013除以9的余数是 a 1b 2c 5d 8 2 1 90 902 903 1 k90k 9010除以88的余数是 a 1b 1c 87d 87 解析 1 22013 8 22010 8 9 1 670 8 9670 9669 9668 9 1 展开式中共671项 最后一项为8 1 8 故余数为8 故选d 2 1 90 902 903 1 k90k 9010 1 90 10 8910 88 1 10 8810 889 888 88 1 前10项均可被88整除 故余数为1 故选b 答案 1 b 2 b 1 要正确理解二项式定理 准确地写出二项式的展开式 2 要注意区分项的系数与项的二项式系数 3 能用二项式定理证明等式和不等式 注意 1 用二项式定理证明等式常用赋值法 也会用到组合数恒等式 2 用二项式定理证明不等式常用放缩法 4 二项式定理的应用通常有以下几类题型 1 通项应用型 利用通项公式研究具体某一项系数的性质等问题 2 系数配对型 展开两因式乘积或可化为两因式乘积的三项式 求某项系数 3 系数性质型 灵活应用二项式系数性质或赋值求系数和 4 利用二项式定理求近似值 证明整除性或求余数问题 证明恒等式或不等式 5 在概率等方面的应用 感悟高考 品味高考 1 2012 安徽卷 x2 2 的展开式的常数项是 a 3b 2c 2d 3 解析 因为 x2 2 x2 25 又展开式中的常数项为 1 5 2 展开式中的常数项为x2 1 4 5 故二项式 x2 2 展开式中的常数项为 2 5 3 故选d 答案 d 2 2012 湖北卷 设a z 且0 a 13 若512012 a能被13整除 则a a 0b 1c 11d 12 解析 512012 a a 13 4 1 2012 a 1 13 4 2012 a 1 13 4 13 4 2 13 4 2012 显然当a 1 13k k z 即a 1 13k k z时 512012 a 13 4 13 4 1 13 4 2011 13k 能被13整除 因为a z 且0 a 13 所以a 12 故选d 答案 d 3 若展开式的常数项为60 则常数a的值为 解析 tr 1 x6 r x6 r 1 rax 2r x6 3r 1 ra 由6 3r 0