高三数学一轮复习 8.2直线的交点坐标与距离公式课件 .ppt

第二节直线的交点坐标与距离公式 知识梳理 1 两条直线的交点 唯一解 无解 有无数组解 2 三种距离 考点自测 1 思考 给出下列命题 若两直线的方程组成的方程组有解 则两直线相交 点p x0 y0 到直线y kx b的距离为 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离 也可以看做是两条直线上各取一点的最短距离 其中正确的是 a b c d 解析 选c 错误 当方程组有唯一解时两条直线相交 若方程组有无穷多个解 则两条直线重合 错误 应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式 即本问题的距离为 正确 因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长 即点到直线的距离 正确 两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长 即两条直线上各取一点的最短距离 2 点 1 1 到直线x 2y 5的距离为 解析 选d 因为直线x 2y 5可化为x 2y 5 0 所以点 1 1 到直线x 2y 5的距离为 3 已知直线l1 3x 4y 4 0与l2 6x 8y 12 0 则直线l1与l2之间的距离是 解析 选b 因为直线l1的方程可化为 6x 8y 8 0 且l2的方程为 6x 8y 12 0 所以两直线的距离为 4 2014 宁波模拟 直线x 2y 1 0关于直线x 1对称的直线方程是 a x 2y 1 0b 2x y 1 0c 2x y 3 0d x 2y 3 0 解析 选d 方法一 设所求直线上任一点为 x y 则它关于x 1的对称点 2 x y 在直线x 2y 1 0上 所以2 x 2y 1 0 化简得x 2y 3 0 方法二 根据直线x 2y 1 0关于直线x 1对称的直线斜率是互为相反数得答案a或d 再根据两直线交点在直线x 1上知选d 5 直线l1过点 2 0 且倾斜角为30 直线l2过点 2 0 且与直线l1垂直 则直线l1与直线l2的交点坐标为 解析 直线l1方程为 直线l2方程为 l1 l2方程联立可得 答案 6 已知直线l1与l2 x 2y 2 0平行 且l1与l2的距离是则直线l1的方程为 解析 因为直线l1与l2 x 2y 2 0平行 所以可设l1的方程为 x 2y c 0 c 2 又因为两直线的距离为所以解得所以直线l1的方程为答案 考点1直线的交点 典例1 1 2014 滨州模拟 当时 直线l1 kx y k 1与直线l2 ky x 2k的交点在 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 2 求经过直线l1 3x 4y 5 0与直线l2 2x 3y 8 0的交点m 且满足下列条件的直线方程l 与直线l3 2x y 5 0平行 与直线l4 4x 3y 6 0垂直 解题视点 1 可由两直线方程 求出交点坐标 再判断横 纵坐标的符号即可 2 可依据条件求出直线的交点 再利用垂直关系或平行关系 求出直线的斜率 进而求出直线的方程 也可以利用过两直线交点的直线系设出直线方程 再利用垂直关系或平行关系求出参数值 即得直线方程 规范解答 1 选b 解方程组得两直线的交点坐标为因为所以故交点在第二象限 2 方法一 由解得所以交点m 1 2 因为所求直线与 2x y 5 0平行 所以可得所求直线斜率为k 2 所以y 2 2 x 1 即所求的直线方程l为2x y 4 0 因为所求直线与4x 3y 6 0垂直 所以可得所求直线斜率为所以即所求直线方程l为3x 4y 11 0 方法二 由于l过l1 l2的交点 故l是直线系3x 4y 5 2x 3y 8 0中的一条 将其整理 得 3 2 x 4 3 y 5 8 0 由条件知所求直线斜率为2 即解得代入直线系方程即得l的方程为2x y 4 0 由条件知所求直线斜率为即解得 24 代入直线系方程得3x 4y 11 0 规律方法 1 两直线交点的求法求两直线的交点坐标 就是解由两直线方程组成的方程组 以方程组的解为坐标的点即为交点 2 常见的四大直线系方程 1 过定点p x0 y0 的直线系a x x0 b y y0 0 a2 b2 0 还可以表示为y y0 k x x0 斜率不存在时可视为x x0 2 与直线ax by c 0平行的直线系方程是ax by m 0 m r且m c 3 与直线ax by c 0垂直的直线系方程是bx ay m 0 m r 4 过直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0的交点的直线系方程为a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 r 但不包括l2 提醒 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时 一定要注意系数及符号的变化规律 变式训练 1 2014 绍兴模拟 设点a 1 1 b 0 1 若直线ax by 1与线段ab 包括端点 有公共点 则a2 b2的最小值为 解析 选c 因为直线ax by 1与线段ab 包括端点 有公共点 则a b两点在直线ax by 1的异侧或至少有一点在直线ax by 1上 所以 a b 1 b 1 0 画出可行域 如图 因此a2 b2的最小值应为原点到直线a b 1 0的距离的平方 即 2 2013 莱芜模拟 已知线段pq两端点的坐标分别为 1 1 2 2 若直线l x my m 0与线段pq有交点 求m的取值范围 解析 方法一 直线x my m 0恒过点a 0 1 则或所以且m 0 又m 0时 直线x my m 0与线段pq有交点 所以所求m的取值范围是 方法二 过p q两点的直线方程为即代入x my m 0 整理得由已知解得即m的取值范围是 加固训练 设直线l1 y k1x 1 l2 y k2x 1 其中实数k1 k2满足k1k2 2 0 1 证明l1与l2相交 2 证明l1与l2的交点在椭圆2x2 y2 1上 证明 1 假设l1与l2不相交 则l1与l2平行 有k1 k2 代入k1k2 2 0 得k12 2 0 此与k1为实数的事实相矛盾 从而k1 k2 即l1与l2相交 2 方法一 由方程组得得交点p的坐标 x y 为而 此即表明交点在椭圆2x2 y2 1上 方法二 交点p的坐标 x y 满足显然x 0 从而代入k1k2 2 0 得整理得 2x2 y2 1 所以交点p在椭圆2x2 y2 1上 考点2对称问题 典例2 1 平面直角坐标系中直线y 2x 1关于点 1 1 对称的直线方程是 a y 2x 1b y 2x 1c y 2x 3d y 2x 3 2 2013 湖南高考 在等腰直角三角形abc中 ab ac 4 点p是边ab上异于a b的一点 光线从点p出发 经bc ca反射后又回到原点p 如图 若光线qr经过 abc的重心 则ap等于 a 2b 1c d 解题视点 1 可在直线y 2x 1上任取两点 求出这两点关于点 1 1 的对称点坐标 最后求出直线方程 2 先建立直角坐标系 求直线bc的方程 然后求出点p关于直线bc ac的对称点 由题意知这两点所在直线必过三角形的重心 然后用三点共线完成解答 规范解答 1 选d 在直线y 2x 1上任取两个点a 0 1 b 1 3 则点a关于点 1 1 对称的点m 2 1 b关于点 1 1 对称的点n 1 1 由两点式求出对称直线mn的方程即y 2x 3 故选d 2 选d 由题意 以a为原点 ab为x轴 ac为y轴建立平面直角坐标系 设ap m 则p m 0 a 0 0 b 4 0 c 0 4 直线bc的方程为x y 4 则点p关于直线bc的对称点p1的坐标为 4 4 m 点p关于直线ac的对称点p2的坐标为 m 0 而三角形abc的重心为根据光学性质知点p1 p2 g三点共线 则故解之得故 互动探究 在题 1 中 关于点 1 1 对称 改为 关于直线x y 0对称 则结果如何 解析 在直线y 2x 1上任取两个点a 0 1 b 1 3 则点a关于直线x y 0的对称点m 1 0 b关于直线x y 0的对称点n 3 1 由两点式求出对称直线mn的方程即x 2y 1 0 规律方法 1 中心对称问题的两个类型及求解方法 1 点关于点对称 若点m x1 y1 及n x y 关于p a b 对称 则由中点坐标公式得进而求解 2 直线关于点的对称 主要求解方法是 在已知直线上取两点 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标 再由两点式求出直线方程 求出一个对称点 再利用两对称直线平行 由点斜式得到所求直线方程 2 轴对称问题的两个类型及求解方法 1 点关于直线的对称 若两点p1 x1 y1 与p2 x2 y2 关于直线l ax by c 0对称 由方程组可得到点p1关于l对称的点p2的坐标 x2 y2 其中b 0 x1 x2 2 直线关于直线的对称 一般转化为点关于直线的对称来解决 有两种情况 一是已知直线与对称轴相交 二是已知直线与对称轴平行 常见的点关于特殊直线的对称点 1 点p a b 关于x轴的对称点p a b 2 点p a b 关于y轴的对称点p a b 3 点p a b 关于y x的对称点p b a 4 点p a b 关于y x的对称点p b a 5 点p a b 关于x m m 0 的对称点p 2m a b 6 点p a b 关于y n n 0 的对称点p a 2n b 变式训练 1 2014 嘉兴模拟 若直线l1 y k x 4 与直线l2关于点 2 1 对称 则直线l2恒过定点 a 0 4 b 0 2 c 2 4 d 4 2 解析 选b 由于直线l1 y k x 4 恒过定点 4 0 其关于点 2 1 对称的点为 0 2 又由于直线l1 y k x 4 与直线l2关于点 2 1 对称 所以直线l2恒过定点 0 2 故应选b 2 2014 石家庄模拟 若直线y ax 8与y x b的图象关于直线y x对称 则a b 解析 直线y ax 8关于y x对称的直线方程为x ay 8 所以x ay 8与y x b为同一直线 故得所以a b 2 答案 2 加固训练 1 已知直线l x y 1 0 l1 2x y 2 0 若直线l2与l1关于l对称 则l2的方程是 a x 2y 1 0b x 2y 1 0c x y 1 0d x 2y 1 0 解析 选b l1与l2关于l对称 则l1上任一点关于l的对称点都在l2上 故l与l1的交点 1 0 在l2上 又易知 0 2 为l1上一点 设其关于l的对称点为 x y 则得即 1 0 1 1 为l2上两点 可得l2方程为x 2y 1 0 2 直线x 2y 1 0关于x 3对称的直线方程为 解析 设m x y 为所求直线上的任意一点 则其关于x 3对称的点为 6 x y 从而有6 x 2y 1 0 即x 2y 7 0 所以直线x 2y 1 0关于x 3对称的直线方程为x 2y 7 0 答案 x 2y 7 0 考点3三种距离公式的应用 考情 两点间的距离 点到直线的距离 两平行线间的距离在高考中常有所体现 一般是以选择题 填空题的形式出现 考查两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两平行线间的距离公式以及转化与化归思想等 高频考点通关 典例3 1 2014 杭州模拟 已知点a 1 0 b cos sin 且 ab 则直线ab的方程为 2 2014 安康模拟 点p到点a 1 0 和直线x 1的距离相等 且p到直线y x的距离等于这样的点共有 a 1个b 2个c 3个d 4个 解题视点 1 由 ab 可求出点b的坐标 进而得出直线方程 2 可设p点坐标 利用待定系数法求解 规范解答 1 选b 因为a 1 0 b cos sin 且 ab 所以所以 所以即直线ab的方程为所以ab的方程为 2 选c 设p x y 依题意得 化简得 即或解得 有两组解 有一组解 所以点p共有3个 通关锦囊 关注题型 通关题组 1 2014 宁波模拟 已知a 1 3 b 5 2 在x轴上有一点p 若 ap bp 最大 则p点坐标为 a 3 4 0 b 13 0 c 5 0 d 13 0 解析 选b 作出a点关于x轴的对称点a 1 3 则a b所在直线方程为x 4y 13 0 令y 0得x 13 所以点p的坐标为 13 0 2 2013 江苏高考 在平面直角坐标系xoy中 设定点a a a p是函数图象上一动点 若点p a之间的最短距离为则满足条件的实数a的所有值为 解析 设由两点间的距离公式得令得若a 2 则当t a时 解得或 舍去 若a 2 则当t 2时 pa min2 2 a 2 a2 2 2a2 4a 2 8 解得a 1或a 3 舍去 答案 1 加固训练 1 2013 金华模拟 已知两点a 3 2 和b 1 4 到直线mx y 3 0的距离相等 则m的值为 a 0或b 或 6c 或d 0或 解析 选b 依题意得所以 3m 5 m 7 所以3m 5 m 7或3m 5 7 m 所以m 6或m 故应选b 2 2014 德州模拟 过点a 1 2 且与原点距离最大的直线方程为 a x 2y 5 0b 2x y 4 0c x 3y 7 0d 3x y 5 0 解析 选a 所求直线与oa垂直 因为koa 2 所以所求直线方程为y 2 x 1 即x 2y 5 0 巧思妙解9 巧用直线系求直线方程 典例 2014 福州模拟 经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点 且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程为 解析 常规解法 先解方程组得l1 l2的交点 1 2 再由l3的斜率为知l的斜