高中数学 3.5.3 对数函数的图像和性质同步教学课件 北师大版必修1.ppt

5 3对数函数的图像和性质 1 掌握对数函数的图像与性质 重点 2 会应用对数函数的图像与性质解决一些简单问题 难点 3 体会数形结合思想在研究函数问题中的应用 1 对数函数的概念 我们把叫作对数函数 其中定义域是 值域是r 叫作对数函数的底数 2 指数函数和对数函数互为反函数 2 1 1 2 1 2 4 o y x 3 性质 1 定义域是 2 值域是r 3 图像过特殊点 1 0 4 在其定义域上是增函数 函数y log2x的图像 性质 1 定义域是 2 值域是 3 图像过特殊点 4 在其定义域上是减函数 2 1 1 2 1 2 4 o y x 3 对数函数y log0 5x的图像 对数函数y logax a 0 且a 1 的图像与性质 a 1 0 a 1 定义域 值域 过定点 在 0 上是 在 0 上是 0 r 1 0 即当x 1时 y 0 增函数 减函数 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 例1 求下列函数的定义域 1 y ax2 2 y a 4 x 解析 1 因为x2 0 即x 0 所以函数y ax2的定义域为 x x 0 2 因为4 x 0 即x 4 所以函数y a 4 x 的定义域为 x x 4 对数式有意义 底数大于0且不等于1 真数大于0 1 例2 比较下列各题中两个数的大小 2 3 解 1 因为2 1 函数y log2x是增函数 5 3 4 7 所以 2 因为0log0 29 3 因为函数y log3x是增函数 所以 同理 所以 4 当a 1时 函数y logax在上是增函数 此时 当0 a 1时 函数y logax在上是减函数 此时 提升总结 利用对数函数的性质比较大小 当底数相同真数不同时 直接利用单调性即得结果 当底数不同真数相同时 可以根据对数函数图像与底数反映出来的规律比较大小 当真数与底数都不同时 常引入第三个数1或0 间接比较两个对数的大小 变式练习 例3观察在同一坐标系内函数y log2x x 0 与函数y 2x x r 的图像 分析它们之间的关系 1 2 解从图 1 上可以看出 点p a b 与点q b a 关于直线y x对称 函数y log2x与函数y 2x互为反函数 对应于函数y log2x图像上的任意一点p a b p点关于直线y x的对称点q b a 总在函数y 2x图像上 所以 函数y log2x的图像与函数y 2x的图像关于直线y x对称 如图 2 例4人们早就发现了放射性物质的衰减现象 在考古工作中 常用14c的含量来确定有机物的年代 已知放射性物质的衰减服从指数规律 c t c0e rt 其中t表示衰减的时间 c0表示放射性物质的原始质量 c t 表示经衰减了t年后剩余的质量 为计算衰减的年代 通常给出该物质质量衰减一半的时间 称其为该物质的半衰期 14c的半衰期大约是5730年 由此可确定系数r 人们又知道 放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的 1950年在巴比伦发现一根刻有hammurbi王朝字样的木炭 当时测定 其14c分子的衰减速度为4 09个 g min 而新砍伐烧成的木炭中14c的衰减速度为6 68个 g min 请估算出hammurbi王朝所在年代 解 因为14c的半衰期大约是5730年 所以建立方程1 2 e 5730r解得r 0 000121 由此可知14c的衰减规律服从指数型函数c t c0e 0 000121t 设发现hammurbi王朝木炭时 公元1950年 该木炭已衰减了t0年 因为放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的 所以c t0 c0 4 09 6 68 于是 4 09 6 68两边取自然对数 得 0 000121t0 4 09 6 68 解得t0 4054 年 即hammurbi王朝大约存在于公元前2100年 1 函数的定义域为 2 函数的定义域为 3 比较下列各题中两个数的