机械控制理论基础教学PPT系统的稳定性.ppt

机械控制理论基础 第六章系统的稳定性 机械控制理论基础 课程内容 数学工具方面 第二章拉普拉斯变换的数学方法 系统建模方面 第三章系统的数学模型 系统分析方面 第四章控制系统的时域分析第五章控制系统的频率特性第六章控制系统的稳定性分析系统的校正与设计方面 第七章控制系统的校正与设计 6 1稳定性6 2劳斯 胡尔维茨稳定性判据6 3奈奎斯特稳定性判据6 4系统的相对稳定性 6 1稳定性 1 稳定性的概念 定义 系统受到外界干扰作用时 其被控制量yc t 将偏离平衡位置 当这个干扰作用去除后 若系统在足够长的时间内能够恢复到其原来平衡位置或者趋于一个给定的新的平衡状态 则系统是稳定的 反之若系统对干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或产生持续振荡 则系统是不稳定的 只有稳定的系统才能正常工作 在设计一个系统时 首先要保证其稳定性 在分析一个系统时 也首先要判定是否稳定 线性系统是否稳定 是系统本身一个特性 与输入量或干扰无关 2 判别系统稳定性的基本准则 线性定常系统微分方程的一般形式为 6 1 由拉氏变换的数学方法求解式 6 1 其中x t 为输入 y t 为输出 ai i 0 n bj j 0 m 为常数 再经拉氏反变换可得原函数 令 为式 6 1 的齐次通解 是与初始条件a0 s b0 s 有关而与输入或干扰x t 无关的补函数 令 为式 6 1 的非齐次特解 是与初始条件a0 s b0 s 无关而与输入或干扰x t 有关的特解 既然系统的稳定与否要看系统在除去干扰后的运行情况 因此系统的补函数yc t 就完全反应了系统是否稳定 如果当时 则系统为稳定 若当时 或是时间t的周期函数 则系统不稳定 为此需求解yc t 一般称a s 0为系统的 特征方程 它的解si称为特征根 若si为复数 则由于实际物理系统a s 的系数均为实数 因此si总是以共扼复数形式成对出现 即 亦即 则系统不稳定 此时 只有当其实部ai 0时 方能使得在时 若si为实数 则只有当实数之值小于0 即ai 0时 方能使得在时 反之 若si为的实部ai 0时 则当时 将使得 即 综上所述 判别系统稳定性的问题可归结为对系统特征方程的根的判别 即 一个系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的所有根都必须为负实数或具有负实部的复数 亦即稳定系统的全部特征根si均在复平面的左半平面 若实部 则 将包含 即这样的时间函数 系统将产生持续振荡 其振荡频率等于bi 系统也不稳定 应当指出 上述不稳定区虽然包括虚轴 但对于虚轴上的坐标原点应具体分析 当有一个特征根在坐标原点时 常数 系统达到新的平衡状态 仍属稳定 当有两个及两个以上特征根在坐标原点时 其瞬态响应发散 系统不稳定 对于如图所示闭环系统 传递函数为 令该函数的分母等于零就得到系统的特征方程 故可以根据上述方程特征根的位置来判别系统的稳定性 由 可知 系统特征方程a s 0的特征根与系统闭环传递函数f s 的极点是相同的 因此由系统的传递函数 取其分母a s 0 即可分析系统的稳定性 6 2劳斯 胡尔维茨稳定性判据 线性定常系统的稳定性分析 本质上就是确定特征方程根在复平面上的位置 劳斯 胡尔维茨稳定性判据是通过分析特征方程的根与系数的代数关系 由特征方程中的系数来判别特征根是否在s平面左平面 以及不稳定根的个数 1 劳斯稳定性判据 1 系统稳定的必要条件 线性定常系统的特征方程为 式中 系数ai i 0 1 2 n 为实数 并且 将上式右边展开得到特征根与系数的关系如下 假设其特征根为si i 1 2 n 则 若特征根的实部全为负数时 则由上式可以看出系统稳定的必要条件为 特征多项式所有系数符号相同 若系数中有不同的符号或其中某个系数为零 a0 0除外 则必有带正实部的根 系统不稳定 这只是个必要条件而非充分条件 2 系统稳定的必要条件 由特征方程系数构造劳斯数列如下 劳斯数列中第一行为特征方程原系数的奇数项 第二行为原系数的偶数项 第三行ci由第一行和第二行按下式计算 其余的依此类推 一直算到第n 1行 劳斯数列的完整阵列呈现为倒三角形 在展开的阵列中 为了简化后面的数值计算 可以用一个整数去乘或除某一整行 不改变稳定性的结论 系数c的计算一直进行到其余的c值全部为零为止 第四行di则按下式计算 劳斯稳定性判据可概括为 系统稳定的充分必要条件是 其特征方程的全部系数符号相同 并且其劳斯数列的第一列 an an 1 c1 d1等 所有各项全部为正 否则系统不稳定 如果劳斯数列第一列发生符号变化 则其符号变化的次数就是不稳定根的数目 例如 没有不稳定的根 稳定 有一个不稳定的根 不稳定 有两个不稳定的根 不稳定 例6 1设系统传递函数为 试判断其稳定性 如不稳定 求出系统在右半平面极点的数目 解 系统特征方程为 各项系数为正 排出劳斯数列得 数列第一列有两次符号变化 因此f s 有两个极点在s平面的右半平面 系统不稳定 对特征方程直接求解 其根为 与劳斯判据判别结果一致 3 应用劳斯判据的两种特殊情况 在应用劳斯判据时 如果发生第一列中出现零且该行其它元素不全为零的情况 则下一行计算会出现被零除的情况 从而使劳斯数列无法继续计算 下面介绍两种解决办法 第一种方法 用一个小的正数代替0 仍按上述方法计算各行 再令求极限 来判别劳斯数列第一列系数的符号 例6 2设系统特征方程为 判断其是否稳定 若不稳定时 不稳定根的个数 解 排出劳斯数列 当时 即劳斯数列第一列中有两次符号变化 因此特征方程有两个根在s的右半平面 例6 3仍然对例6 2的系统 解 原特征方程为 第二种方法 用代入原特征方程 得到一个新的关于p的方程 再对此方程应用劳斯判别法 新方程不稳定根数就等于原方程不稳定根数 用代入原特征方程 得 相应的劳斯数列为 同样有两次符号变化 和前面所得结论一致 应用劳斯判据时 可能遇到的另一种特殊情况是劳斯数列中出现某一行元素全为零的情况 这种情况意味着特征方程在s平面存在一些对称的根 一对 或几对 大小相等符号相反的实根 一对 或几对 共轭虚根 或呈对称位置的两对共轭复根 这种情况下系统必不稳定 不稳定根及其个数可通过 辅助方程 求得 所谓 辅助方程 即由不为零的最后一行元素组成的方程式 式中s均为偶次项 解 排出劳斯数列 求解得该方程的两对共扼虚根为 这两对根同时也是原特征方程的根 他们位于虚轴上 由系统稳定性的基本准则可知 该系统是不稳定的 由于s3行中各元素全为0 故将s4行的各元素构成一个辅助方程 例6 4系统特征方程为 判断其是否稳定 及若不稳定时不稳定根的个数 例6 5系统特征方程为 判断其是否稳定 及若不稳定时不稳定根的个数 解 排出劳斯数列 由于s3行中各元素全为0 故将s4行的各元素构成一个辅助方程 该方程的两对共轭复根为 显然该系统不稳定 并且有两个不稳定的根 例6 6系统特征方程为 判断其是否稳定 及若不稳定时不稳定根的个数 解 由于特征方程的系数符号不全相同 系统肯定不稳定 排出劳斯数列如下 由于s3行中各元素全为0 故将s4行的各元素构成一个辅助方程 该方程的根为 显然系统不稳定 其根为两对关于虚轴对称的实根 并且有两个不稳定根 2 胡尔维茨稳定性判据 胡尔维茨法也属于代数判据 它是把特征方程和系数用相应的行列式表示 系统稳定的充要条件为 1 特征方程的所有系数an an 1 a0均为正 2 由特征方程系数组成的各阶胡尔维茨行列式均为正 即 胡尔维茨行列式按照下面方法生成 在主对角线上写出特征方程式的第二项的系数an 1直到最后一项的系数a0 在主对角线以下的各行中 按列填充下标号码逐次增加的各系数 而在对角线以上各行中 按列填充下标号码逐次减小的各系数 如果在某位置上按次序应填入的系数下标大于n或小于0 则在该位置补0 当主行列式及其主对角线上各子行列式均大于零时 特征方程式就没有根在s平面的右半平面 即系统稳定 例6 7系统特征方程为 判别系统稳定性 解 写出胡尔维茨主行列式 可得各子行列式为 因为这些子式均大于零 故系统稳定 6 3奈奎斯特稳定性判据 奈奎斯特稳定性判据是一种几何判断 它根据开环传递函数的特点 通过作奈奎斯特图来研究闭环控制系统稳定性 不仅能判别稳定性还可以分析系统的稳定和不稳定程度 并从中找出改善系统性能的途径 1 基本原理 如图所示闭环系统 其传递函数为 闭环系统稳定的充要条件 特征方程的根全部在s平面的左半平面 只要有一个根在右半平面或虚轴上 系统就不稳定 奈奎斯特判据是根据开环奈奎斯特图以及开环极点位置来判断闭环特征方程的根的位置 从而判定稳定性 下面介绍其步骤 1 闭环特征方程与特征函数 系统闭环特征方程为 而其特征函数为 故开环传递函数为 而闭环特征方程可表示为 6 16 6 18 6 17 6 19 其中g s h s 都是复数s的函数 可分别表示为如下多项式之比 特征函数可表达为 式 6 17 中分母 分子的阶次分别为n和m 因为g s 和h s 均为物理可实现的环节 所以 故特征函数a s 分子分母的阶次均为n 比较 6 17 6 18 和 6 19 可得如下结论 闭环特征方程的根与特征函数的零点完全相同 特征函数的极点与开环传递函数的极点完全相同 特征函数的零点数与其极点数相同 等于n 因为系统开环传递函数及其极点已知 根据式 6 18 可以通过对开环传递函数g s h s 和特征函数的频率特性分析 确定特征函数的零点 即闭环特征方程根 的分布 从而判别系统的稳定性 这就是奈奎斯特稳定性判据的基本原理 2 幅角原理 奈奎斯特判据的数学基础是复变函数理论中的幅角原理 由前面特征函数零 极点与开环极点的关系 利用幅角原理 可以得到特征函数零点分布与开环极点分布及开环幅角变化的关系 将 6 18 分解因式得 6 20 6 18 将 6 21 和 6 22 代入 6 20 得 6 23 6 24 6 25 下面以右图为例说明如何确定n 由式6 25可知 在 a s 平面上 过原点任作一条直线oc 观察a s 形成的矢端曲线ga以不同方向通过oc直线次数的差值来定n 顺时针通过为负 逆时针通过为正 a n 2 b n 0 c n 3 d n 0 6 25 3 奈奎斯特判据 判别系统的稳定性就是判别闭环特征方程在s平面右半平面根的个数 即特征函数a s 在右半平面的零点数 6 26 4 开环传递函数与奈奎斯特判据 6 27 我们可以通过坐标平移 由1 g s h s 平面即 a s 平面变换到gh平面 g s h s 的简写 即由1 g s h s 0变换为 如图所示 在1 g s h s 平面上绕原点逆时针旋转的圈数 相当于在gh平面上绕 1 j0 点逆时针旋转的圈数 这样我们就可以用系统的开环传递函数g s h s 来判别系统的稳定性 4 开环传递函数与奈奎斯特判据 当在s平面上的点沿虚轴及包围右半平面之无穷大半圆gs曲线顺时针旋转一周时 在gh平面上所画的开环传递函数g s h s 的轨迹叫做奈奎斯特曲线 4 开环传递函数与奈奎斯特判据 综上所述 用奈奎斯特法判别系统稳定性 一个系统稳定的必要和充分条件是 z p n 0式中 z为闭环特征方程在s右半平面的特征根数 p为开环传递函数在s右半平面 不包括原点 的极点数 n为自变量s沿包含虚轴及整个右半平面在内的极大的封闭曲线顺时针转一圈时 开环奈奎斯特图绕 1 j0 点逆时针转的圈数 当p 0 即开环无极点在s右半平面 则系统稳定的必要和充分条件是开环奈奎斯特图不包围 1 j0 点 即n 0 4 开环传递函数与奈奎斯特判据 如果特征方程式为 其中即为式4 56所示的典型表达形式 k为开环增益 将中的k分离出来则有 即可通过的奈奎斯特图绕点转的圈数和极点数来判别系统的稳定性 对于g s h s 在原点或虚轴上有极点的情况 应使s沿着绕过这些极点的极小半圆变化 如图 a 所示 这个小半圆的半径为 通常是在s平面的右半侧绕过这些极点 这样原点和虚轴上的极点就不包括在内 以原点处的极点为例 当s沿着虚轴从向上运动到这些小半圆时 由于 故s是从开始沿此小半圆绕到 然后再沿虚轴继续运动 如图 b 所示 这些小半圆的面积趋近于零 因此除了原点和虚轴上的极点外 右半s平面的零点 极点仍将全部被包含在无穷大半径的封闭曲线之内 对应于s平面上这一无穷小半圆 在gh平面上的图形是一个半径趋于无穷大的半圆 因为g s h s 的极点在虚轴上 其幅值是变量s的幅值之倒数 这样gh的向量轨迹为如图 c 所示的封闭曲线 4 开环传递函数与奈奎斯特判据 2 用奈奎斯特法判别系统的稳定性 例6 8判别如图所示0型系统的稳定性 其对应开环传递函数和奈奎斯特图分别为 因为p 0 n 0 所以z 0 系统稳定 因为p 0 n 2 所以z p n 2 系统不稳定 因为p 0 n 0 所以z p n 0 系统稳定 例6 10设系统开环传递函数和奈奎斯特图如下 试判别其稳定性 例6 11判别ii型系统的稳定性 其开环传递函数为 例6 12已知系统的开环传递函数如下 试分析其稳定性 3实例判别电液伺服系统的稳定性 电液伺服系统开环传递函数可简化为 系统的奈奎斯特图 开环传递函数的频率特性 与负实轴交点的相位角应为 180 即 解得 可得与负实轴交点的幅值为 要使系统稳定 则必须满足 即 即速度放大系数kv受和的限制 不能太大 6 4系统的相对稳定性 由奈奎斯特图与 1 j0 点的关系 不但可判别系统稳定与否 而且它还表示了系统稳定或不稳定的程度 即系统的相对稳定性 我们用相位裕量和幅值裕量来表示系统稳定性的程度 1 相位裕量g和幅值裕量kg 在开环奈奎斯特图上 从原点到奈奎斯特图与单位圆的交点连一直线 该直线与负实轴的夹角就是相位裕量g 可表示为 为奈奎斯特图与单位圆交点频率上的相位角 称作剪切频率或幅值穿越频率 系统稳定系统不稳定 g越小表示系统相对稳定性越差 一般取 在开环奈奎斯特图上 奈奎斯特图与负实轴交点处幅值的倒数 称幅值裕量kg 而奈奎斯特图与负实轴交点处的频率称作相位穿越频率 或相位交界频率 则有 在伯德图上 幅值裕量取分贝为单位 则 则 系统稳定 则 系统不稳定 kg一般取8 20db为宜 关于幅值裕量g和相位裕量kg的说明 当 系统稳定 是对最小相位系统而言 对非最小相位系统不适用 衡量一个系统的相对稳定性 必须同时用相位裕量和幅值裕量这两个指标 适当地选择相位裕量和幅值裕量 可以防止系统中参数变化导致系统不稳定的现象 一般取 具有这样稳定性裕量的最小相位系统 即使系统开环增益或元件参数有所变化 通常也能使系统保持稳定 关于幅值裕量g和相位裕量kg的说明 对于最小相位系统 开环的幅频特性和相频特性有一定的关系 要求系统具有的相位裕量 即意味着对数幅频图在穿越频率处的斜率应大于 为保持稳定 在处应以斜率穿越为好 因为当斜率为穿越时 对应的相位角在左右 考虑到还有其他因素的影响就能满足 关于幅值裕量g和相位裕量kg的说明 分析一阶和二阶系统的稳定程度 其相位裕量总大于零 而其幅值裕量为无穷大 因此从理论上一阶和二阶系统不可能不稳定 但是实际上某些一阶和二阶系统的数学模型本身是在忽略了一些次要因素之后建立的 实际系统常常是高阶的 其幅值裕量不可能为无穷大 因此系统参数变化时 比如开环增益太大 这些系统仍有可能不稳定 系统开环频率特性与系统时域指标之间的关系 对于二阶系统而言 相位裕量 幅值穿越频率 截止频率 与时域指标 超调量 调节时间 有确定性的关系 对高阶系统而言 相位裕量 幅值穿越频率 截止频率 都可以粗略估计高阶系统的响应特性 相位裕量越大 系统阶跃响应的超调量和调节时间就越小 幅值穿越频率 截止频率 也近似与调整时间成反比关系 理想的频率特性 应该有积分环节且开环增益大 以满足稳态误差的要求 在幅值穿越频率 截止频率 的邻域 通常称为中频段 应以 20db dec的斜率穿越0db线 并占有足够宽的频带 以保证系统具备较大的相位裕量 在高于幅值穿越频率 截止频率 的高频段 频率特性应该尽快衰减 以削减噪声的影响 例题 例6 13设系统开环传递函数如下 试分析当阻尼比很小时系统的相对稳定性 例6 14如图控制系统 当k 10和k 100时 试求系统的相位裕量和幅值裕量 2 条件稳定系统 系统开环传递函数为 系统开环增益k较小时 系统稳定性较好 当k增大时 稳定性变差 k值增大或减小到一定程度 系统都有可能趋于不稳定 只有当k值在一定范围时 系统才稳定 这种系统称为 条件稳定系统 例6 15已知单位反馈系统开环传递函数如下 试确定使系统稳定的k值 解 系统的特征方程为 列出劳斯数列 根据劳斯判据 要使系统稳定 必需 即系统稳定的条件为 0 629 k 1 590 条件稳定系统 第六章难点诠释 1 奈奎斯特稳定判据 反馈控制系统稳定的充要条件是 奈奎斯特曲线反时针包围临界点的圈数r等于开环传递函数在右半s平面的极点数p 即 否则闭环系统不稳定 闭环正实部特征根的个数z可按下式确定奈奎斯特稳定判据在 型和 型系統中的应用开环系统传递函数在原点具有重极点 上述奈奎斯特路径经过原点 所以不能应用相角原理 为使奈奎斯特路径不经过原点 而且仍然能包围整个右半s平面 现以原点为圆心作一半径为无穷小的右半圆 并由以下四段组成奈式路径 正虚轴 频率由到 半径为无穷大的右半圆 由 负虚轴 频率由 半径为无穷小的右半圆 由 如图5 37所示 对于 型系统和 型系统 当时 频率特性曲线趋于无穷远处 当时 频率特性曲线也趋于无穷远处 频率特性曲线及其镜像在无穷远处的连接线就是奈奎斯特路径中半径为无穷小得半圆在平面的像 将半径为无穷小的半圆上的点表示为对于 型系统 将式 5 81 代入上面中 则有它是半径为无穷大的右半圆 当由变化到时 由变换到 如图 5 38 所示 图中 和分别为奈奎斯特路径上的 和各点的像 对于 型系统 将式 5 81 代入上面中 则有它是半径为无穷大的圆 当由变化到时 由变化到 如图5 39所示 图中 和分别为奈奎斯特路径上 和各点的像 也就是说 对于 型系统 s平面上以原点为圆心 以无穷远为半径位于该平面右半侧的小半圆在平面上 映射轨迹将是按反时针方向从到分别转过及弧度 以无穷大为半径的圆弧 奈奎斯特判据判断系统稳定性的实际方法用奈奎斯特判据判断反馈系统稳定性时 一般只需绘制从0到时的开环幅相曲线 然后按其包围点圈数n 反时针方向包围时为正 顺时针方向包围时为负 和开环传递函数在右半s平面上的极点数p 根据公式确定闭环特征方程在右半平面上的根的个数 如果 闭环系统稳定 否则闭环系统不稳定 如果开环传递函数包含积分环节 且假设个数为 则绘制开环幅相曲线后从对应的点开始 反时针方向补画个半径为无穷大的圆 但圆的方向是顺时针的 将补画部分也作为开环幅相曲线的一部分 然后求包围临界点的圈数n 例已知单位负反馈的最小相位系统 其开环对数幅频特性如图5 48所示 试求系统开环传递函数 并计算系统的稳定裕度 解 1 求开环传递函数本题给定的开环对数幅频特性中 已知低频段斜率为 说明系统包含两个积分环节 在时 开环对数幅频特性斜率由为 故为一阶微分环节交接频率 在时 斜率由变为 故为两个惯性环节的交接频率 根据上面的分析 可得系统的开环频率传递函数为 k可由采用近似方法求得 由于故可取 认为 认为 则即系统开环传递函数为 2 求系统稳定裕度由于又知 所以令 求得 则幅值裕度 近似计算 可知系统是稳定的 5 7开环频率特性与系统动态性能的关系对于单位负反馈系统 其开 闭环传递函数之间的关系为 5 90 系统的动态结构及所有参数惟一地取决于开环传递函数 即使不是单位负反馈系统 系统的开环传递函数也包括了系统中的所有元部件 因此系统的开环频率特性对系统闭环后的动态性能肯定应有所表现 下面仅就这个问题做定性的讨论 1 低频段低频段通常是指的近似线在第一个转折频率以前的区段 这一区段的特性完全由积分环节和开环增益决定 设低频段对应的传递函数为 5 91 5 7开环频率特性与系统动态性能的关系对于单位负反馈系统 其开 闭环传递函数之间的关系为 5 90 系统的动态结构及所有参数惟一地取决于开环传递函数 即使不是单位负反馈系统 系统的开环传递函数也包括了系统中的所有元部件 因此系统的开环频率特性对系统闭环后的动态性能肯定应有所表现 下面仅就这个问题做定性的讨论 1 低频段低频段通常是指的近似线在第一个转折频率以前的区段 这一区段的特性完全由积分环节和开环增益决定 设低频段对应的传递函数为 5 91 则其对应的对数幅频特性为 5 92 为不同值时 低频段对数幅频特性曲线的形状分别为如图5 49所示 它们是一些斜率不等的直线 斜率值为 对于常见的 型系统 要求开环传递函数中串联有一个积分环节 即 为了保证系统跟踪斜坡信号的精度 开环增益k应足够大 这就限定了低频率段的斜率和高度 斜率应为 高度将由k值决定 开环增益k和低频段高度的关系可以用多种方法确定 例如 将低频段对数幅频的延长线交于0db 则由式 5 92 得 则其对应的对数幅频特性为 5 92 为不同值时 低频段对数幅频特性曲线的形状分别为如图5 49所示 它们是一些斜率不等的直线 斜率值为 对于常见的 型系统 要求开环传递函数中串联有一个积分环节 即 为了保证系统跟踪斜坡信号的精度 开环增益k应足够大 这就限定了低频率段的斜率和高度 斜率应为 高度将由k值决定 开环增益k和低频段高度的关系可以用多种方法确定 例如 将低频段对数幅频的延长线交于0db 则由式 5 92 得 5 93 故 5 94 或者说交点处的角频率等于 若 则交点处的 可在对数坐标的0db线上找出数值为k的点 过此点做斜率的直线 即为 型系统的低频段对数幅频特性 对 型系统 低频段的斜率为 其延长线与0db线的交点频率则为 可见 低频段斜率的绝对值越大 位置越高 对应于串联的积分环节的数目越多 型别越高 开环增益越大 故闭环系统在满足稳定的条件下 低频段斜率的绝对值越大 其稳态误差越小 动态响应的最终精度越高 5 93 故 5 94 或者说交点处的角频率等于 若 则交点处的 可在对数坐标的0db线上找出数值为k的点 过此点做斜率的直线 即为 型系统的低频段对数幅频特性 对 型系统 低频段的斜率为 其延长线与0db线的交点频率则为 可见 低频段斜率的绝对值越大 位置越高 对应于串联的积分环节的数目越多 型别越高 开环增益越大 故闭环系统在满足稳定的条件下 低频段斜率的绝对值越大 其稳态误差越小 动态响应的最终精度越高 2 中频段中频段是指开环对数幅频特性曲线在截止频率附近的区段 这一区段的特性集中反映闭环系统动态响应的稳定性和快速性 下面在假定闭环系统稳定的条件下 对两种典型情况进行讨论 如图5 50所示 第一种典型情况如果曲线