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不等式 推理与证明 第六章 第32讲不等关系与不等式 栏目导航 2 不等式的基本性质 b a a c a c b c ac bc ac bc a c b d ac bd 0 an bn 1 思维辨析 在括号内打 或 1 两个实数a b之间 有且只有a b a b a b三种关系中的一种 2 一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数 不等号方向不变 3 一个非零实数越大 则其倒数就越小 4 同向不等式具有可加和可乘性 5 两个数的比值大于1 则分子不一定大于分母 d d 解析 y x3在 上为增函数 所以a3 b3 d 5 下列各组代数式的判断正确的是 x2 5x 6 2x2 5x 9 x 3 2 x 2 x 4 当x 1时 x3 x2 x 1 x2 y2 1 2 x y 1 解析 2x2 5x 9 x2 5x 6 x2 3 0 所以x2 5x 6 2x2 5x 9 故 正确 x 3 2 x 2 x 4 1 所以 x 3 2 x 2 x 4 故 错误 当x 1时 x3 x2 x 1 x 1 x2 1 0 所以当x 1时 x3 x2 x 1 故 正确 x2 y2 1 2 x y 1 x 1 2 y 1 2 1 0 所以x2 y2 1 2 x y 1 故 正确 比较大小的常用方法 1 作差法 其基本步骤为作差 变形 判断符号 得出结论 用作差法比较大小的关键是判断差的正负 常采用配方 因式分解 分子 分母 有理化等变形方法 一比较两个数 式 的大小 2 作商法 即判断商与1的关系 得出结论 要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负进行判断 这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤 3 单调性法 利用有关函数的单调性比较大小 4 特殊值验证法 对于一些题目 有的给出取值范围 可采用特殊值验证法比较大小 b d a b 二不等式的性质及应用 1 判断不等式是否成立 需要逐一给出推理判断或反例说明 常用的推理判断需要利用不等式的性质 2 在判断一个关于不等式的命题真假时 先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑 找到与命题相近的性质 并应用性质判断命题真假 当然判断的同时还要用到其他知识 比如对数函数 指数函数的性质等 a c 三利用不等式的性质求范围 应用不等式性质求范围问题的注意点应用不等式的性质求某些代数式的取值范围应注意两点 一是必须严格运用不等式的性质 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围 解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系 最后通过 一次性 不等关系的运算求解范围 此外 这类问题还可以用线性规划的知识求解 例3 已知函数f x ax2 bx 且1 f 1 2 2 f 1 4 求f 2 的取值范围 c b 解析 由不等式的性质知c正确 故选c c c 错因分析 由两个不等式的范围求另一个式子的范围时 宜采用待定系数法 否则会扩大所求范围 例1 已知1 a b 5 1 a b 3
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