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定积分的5大几何应用和4 大物理应用定积分几何应用的智轩记忆歌诀上下（曲）原函横（绕X轴旋转）面积（纵周长），左右（曲）反函横周长（纵面积）；两轴轮换形（心）除外，平移（轴）双函识减符。一、5大几何应用1.1 平面图形的面积应用 称为左右曲不相交图形，称为上下曲相交图形 评 注 既然是定积分应用，当然积分方向以常数区间为准。对上下曲不相交图形，被积函数为上原函数减去下原函数（远减近），对左右曲不相交图形，被积函数为右反函数减去下反函数（远减近），对于相交图形则为远减近的绝对值，画图以面积所在的位置定正负。1.2 平面曲线的弧长 1.3 旋转体积 评 注 对左右曲图形 。如果旋转轴为平行于或的直线，比如上下曲绕，如在两曲线的上方，则旋转的体积，则计算如下（其余类推）： 设为离旋转轴的近曲线，为离旋转轴的远曲线，则体积元及体积为： 形象记忆法：上述公式靠死记是不行的，时间长了必会混淆，但你仔细观察一下有规律： 上下曲绕及其平行轴和上下曲绕及其平行轴利用圆面积，其余情形用圆的周长。而且上下曲，定积分方向为，左右曲为，这是定积分要求的；和在形式上满足“导数”关系；还有个特征就是，是交替出现的，如中，而中。1.4 旋转体的侧面积（对于上下曲图形） 形象记忆法：，交替出现。1.5 形心（重点） 质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心是重合的。 曲线形心（在多元函数积分应用时，还有平面和图形和空间图形的形心问题，请对照。） 静力矩定义： 形心坐标 评 注 对质心只要在每项积分中加入线密度为即可，当常数，即几何体均匀时， 质心与形心完全重合，上述公式通用，下同。上述形心公式与旋转体的侧面积联系起来，便得到： 古尔金第一定理： 面密度为的均匀平面薄板的形心（上下曲型） 评 注 对质心只要在每项积分中加入密度函数即可。上述形心公式与旋转体的体积积联系起来，便得到： 古尔金第二定理： 二、4大物理应用（物理应用几何应用+物理定理）2.1 压力或浮力问题（以球形物体受到的水压为例）2.2 引力（万有引力或电场力）问题 例如在轴上有一根长为，均匀质量密度为的木棒，中心放在原点，在轴上处有一个单位质点，则万有引力计算如下： 又如在轴上有一根长为，均匀电荷密度为
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