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白帆 论文定稿 O151.21本科生毕业论文（申请学士学位）论文题目矩阵的广义逆及其应用作者姓名白帆所学专业名称数学与应用数学指导教师王圣祥xx年4月30日学号506035xx论文答辩日期xx年6月5日指导教师（签字）滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。 除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。 本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 滁州学院本科毕业论文-1-矩阵的广义逆及其应用摘要矩阵的广义逆，即Moore-Penrose逆在众多理论与应用科学领域，例如微分方程、数值代数、线性统计推断、最优化、电网络分析、系统理论、测量学等，都扮演着不可或缺的重要角色。 本文首先介绍了广义逆的定义以及广义逆的性质，主要内容是矩阵广义逆的应用，包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用，广义逆的Cramer法则和广义逆的计算，并对部分理论给出简单的解释，同时加以举例说明。 关键词分块矩阵；广义逆；MoorePenrose逆；Cramer法则The GeneralizedInverse Matrixand ItsApplication Abstract:The generalized inverse is the inverse of Moore-Penrose in many theoriesand thefields ofapplied sciences.Differential equation,numerical algebra,linear statisticalinference,optimization,the analysisof electricalwork,system theoryand surveying,etc playan indispensiblerole.The thesisintroduces thedefinition and the propertyof thegeneralized inversefor thefirst place,andtheprimary contentistheapplication ofgeneralized inversematrix,including itsall kindsof applicationsin theblock matrixtheory,its Cramer rule andits calculation.Besides briefexplanations aregiven tosome theorieswith illustrations.Keywords:block matrix;generalizedinverse;inverseofMoore-Penroce;Cramerrule.滁州学院本科毕业论文-2-1引言矩阵的广义逆概念是由美国学者E.H.Moore首先提出的，但在此后的30多年里，矩阵的广义逆很少被人们所注意，直到1955年英国学者R.Penrose利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的简洁实用的新定义之后，广义逆矩阵的理论与应用才进入了迅速发展的时期。 半个世纪以来，在众多理论与应用科学领域都扮演着不可或缺的重要角色。 陈永林，张云孝，杨明，刘先忠,徐美进等在文献1,2,12,14中给出了矩阵广义逆的定义，还对部分定义进行了举例证明。 罗自炎，修乃华，杨明等又在文献8,14中给出了矩阵广义逆的各种定理；而陈明刚，燕列雅，李桃生，姜兴武，王秀玉，吴世，杜红霞，刘桂香等又分别在文献4,6,9,13，16中对矩阵广义逆进行了推广，介绍了分块矩阵的广义逆以及循环矩阵的广义逆。 张静，徐美进，徐长青，杜先能,蔡秀珊,崔雪芳等又在文献3,12,15，17,18中给出了矩阵广义逆的计算方法，并加以举例说明。 同时还提出了广义逆的Cramer法则及其应用。 潘芳芳，梁少辉，赵彬等又在文献5,11中介绍了Quantale矩阵的广义逆及其正定性。 鲁立刚，何永济，王自风，赵梁红等则在文献7,10介绍了Fuzzy矩阵广义逆的性质和应用。 本文在上述工作的基础上，总结了广义逆的定义以及广义逆的性质，给出矩阵广义逆在数学中的应用，包括广义逆在分块矩阵理论中的各种应用，广义逆的Cramer法则和广义逆的计算，并对部分理论给出简单的解释，对一些重要的结论给出典型例题加以说明。 2.矩阵广义逆的定义及其推导2.1定义定义1.对于任意复数矩阵A，如果存在Y，满足MoorePenrose方程 （1）AAYA? （2）YYAY? （3）YA(AY)? （4）AY(YA)?则称Y为A的一个MoorePenroce广义逆，或简称加号逆，记作YA?。 如果某个Y只满足其中某几条，则称它为A的某几条广义逆。 如若有某个Y满足 （1）式，则称Y为A的1广义逆，或简称减号逆，记作YA?。 如果Y满足 （1）和 （2）式，则称Y为A的1,2广义逆，记作(1,2)1,2AYA?。 滁州学院本科毕业论文-3-例1.设111aA?当a1?时，A可逆,且111111Aaa?;当a=1时，A不可逆,且不难验证11?1114A?。 注意到11lima?AA?,这说明A?的元素并非是关于A的元素的连续函数。 一般地，把A的元素的变化引起其秩的变化时，这种非连续性将会发生。 例2.设矩阵()aA?为11?矩阵。 若0a?，定义0A?；当0a?时，1aa?（0a?）。 定义2.设A为m行n列矩阵，若其中ij A，ijB的级数相同，则?ijijr s?ABAB?。 111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAAAAAAAAAAA?（1-1）其中(1im,1jn)ij A?为m行n列式A中元素ija的代数余子式，则称A?为的A广义伴随矩阵。 定义3.设A为m行n列矩阵，若0A?,则称A为一广义非奇异矩阵；若0A?，则称A为一广义奇异矩阵。 2.2方程的理论推导命题1.1,3AB BXA AA?为的解。 证明设1,3AB?,则()AABAAB AB A A?因此B?满足矩阵方阵XA AA?；反之，设B?为矩阵方程XA AA?的一个解，那么,AB A A AA AB?于是ABAB A ABB A AA?;()()ABB A ABB A ABAB?滁州学院本科毕业论文-4-所以B?A1,3，从而A1，3=B B?为X A?=A的解。 证毕。 类似地，可得命题2.1,4AC CAA XA?为的解。 由命题1和命题2立即可得命题3.1,3=(1,4),A1,4=(1,3)AAA?。 命题4.如果B,C分别为矩阵方程,A AXA AA YA?的一个解，那么，=AA CB C AB C B A?证明根据命题1和命题2可得()=A A CB A ABA B AAB B AAA?;()()=A CB AA CBCA BAB C AA CBBA C ABBA C ABC AA CBACB?;(AACB)=()=()=()ABB A ABB AAB ABAACB?;()=()=()=()=()=(A)ACB AC AA CBAC ABACAC AA CC AAC CACABA CAA CBACA?由A的唯一性可知，=AAC?,又=;=CABCAACBACBC BACBAABCBA?所以，=AACBCABCBA?证毕。 3.矩阵广义逆的定理定理1.A的广义逆A?具有下列性质 (1)()=AA?； (2)()=()AA?； (3)()(),()()()AAAAA AAAAA?； (4)rank=rankA=rank=rankAAAA A?； (5)rank=rank()mnA mIAAnrankI（AA?； (6)()(),()()R AARAN AAN A?；滁州学院本科毕业论文-5- (7)()=(R AA)(),()()()R ARAN AN AANA?；+()R AP()()() (8)();,(),NANAR AAAAAAA PIAAPA AA AAA PIAA?例3.设矩阵?11,1,3AB?,不难检验，1132,1?,10102AB?,因此有110BA?,而=2AB,1()2AB?,故1()()2ABABB A?。 例4.设矩阵A满足rank()=(),Anm?B为n m?矩阵，且rank)=Bn（，则直接验证可得11()()()ABB BBAAA?因为1()AA AA?，1()BB BB?从而有()ABB A?证毕。 定理2.设,m nrnm?ACXC?l，则 （1）1,212AXAXArankXrankAXrankXrankA?且且 （2）1,2A,1XXYAZY ZA?其中证明 （1）先证第一个等价性，必要性是显然的。 下证充分性。 若1XA?且rank=rankXA，则XAXAXA?，且rank=rank=rankAXAX所以，将等式=XAXA XA右消A，可得=AX X,故1,2AX?。 注意到2AX?等价于1AX?，用第一个等价性，可得1,21rank=rankAAXAXX?且此即第2个等价性。 （2）若1,2AX?,则=,1AX XXAX?反之，若=,1AX YAZYZ?、,则可直接验明滁州学院本科毕业论文-6-=AXA AXAXX且定理3.下列命题是等价的 （1）1,4AG?, (2)=GAAA?, (3)()=R AGA AAP?； (1)1,3AG?, (2)=AA GA?, (3)()R AP=APG AA?； (1)1,3,4AG?， (2)=,=AG AGAAA?, (3)=,=GA AAGAAA?.定理4.如果m n?矩阵=()ijAa的行（列）式0A?,那么1AA?是A的广义逆。 证明:设1GAA?，因为,mnAAA IAAA I?所有AGAA?,故G是A的广义逆。 证毕。 下面给出求矩阵广义逆的初等变换法本文只对m?n的情况进行讨论，当m?n时，利用列式相应的性质可得相应的结论，用1212mmNjjj?表示矩阵A的位于1，2，?，m行；1j，2j，?，mj列的元素构成的A的m阶子式定理5.设m n?矩阵()mn?,()ijAa?,如果1212mmNjjj?的行列式不为零，则112120mmNPjjj?是A的广义逆，其中0是()nmm?阶零矩阵,1111221,2,1,21,2,31,1mmjjjjjjjjm mPPPPP PPP?这里1kP是列交换初等矩阵。 证明:因为1212mmAPNjjj?滁州学院本科毕业论文-7-其中?是一个()m n n?m?矩阵，所以112112121xx120mmmmmNAPjjjAmmNNjjjAjjjI AA?从而112120mmNPjjj?是A的广义逆。 证毕。 一般地，如果m n?矩阵A是满秩的，且A的(min(,)m nrr?阶子式1212rriiiNjjj?的行列式不等于零，则当mn?时，112120mmNPjjj?是A的一个广义逆，其中P满足1212mmAPNjjj?当mn?时，设1212niiiNPAn?，则121012niiiNPn?是A的广义逆。 当mn?时，两种方法求得矩阵的广义逆是相同的，都是矩阵的逆。 如果mn?，则两种方法求得矩阵的广义逆也有可能不同，并且由定理 1、定理2的条件可知，定理2的应用范围更广。 因滁州学院本科毕业论文-8-为由0A?可知A是满秩的，但反之不成立。 例5.设125210A?，因为180A?，所以用伴随矩阵法求得A的广义逆1G1171811821711241891933166GAA?又因为A的二阶子式121xx21N?,121501320N?,122502310N?所以，可用初等变换法求得A的广义逆234,G GGPI?，1121233122133N?,121212331221331221330033GPN?；2,3PP?，113110120xx2,0131113110510510NNGP?；1,22,3PPP?，114001xx2,011312231255055NNGP?.例如,若101010A?，则A是满秩的。 故该矩阵有广义逆，可用初等矩阵法求得，但由于0A?，故不能用广义伴随矩阵法求A的广义逆。 定理6.()ABB A?当且仅当下面的两个等式成立滁州学院本科毕业论文-9-AABB ABB A?,BBAABA AB?例6.考虑三角矩阵0302B?，显然其特征值为120,2?，由定义式直接解方程可得0013213B?B?的特征值显然为0，213，但1210,2?。 进一步，可检验B的对应特征值为0,2的特征向量分别为1213,?02?，而B?的对应特征值0,213的特征向量分别为1220,?31?，显然B?的特征向量12,?均非B的特征向量，但1B?的特征向量一定是B的特征向量。 定理7.n阶方阵A为一个EP-矩阵当且仅当A?A?例7.仍考虑矩阵0302?，由上例可得，9616413BB?,0001BB?说明矩阵B非EP-矩阵。 定理8.n阶方阵A为一个EP-矩阵当且仅当00AXA X?这里AX,均为n n?矩阵。 4.广义逆的应用4.1?,Moore-PenroseABA BCD?分块矩阵与的逆两分块矩阵?,A B的MP逆（）1964年，R.E.Cline获得了分块矩阵?,A B的MP逆?,A B?的显式?()(),()()AA BCA B IC C KBAAIBCA BCIC C KBA AIBC?（4.1）其中C()IAA B?,1()()KIIC CBAA BIC C?。 （）1971年，L.Mihalyffy得到了?,AB?的较简公式滁州学院本科毕业论文-10-?11()(),=()()ITTAA BCABT ITTAABCC?（4.2）其中()CIAA B?,()TA BIC C?四分块矩阵ABCD?的MP逆1965年，R.E.Cline利用他自己的公式（4.1）给出了矩阵之和的MP逆的两个公式1()()()()AABBC CAABCI TI?T TB AAA BC?（4.3）若=0AB?,则有1()()()(?)()ABAIA BCIC CITTBAAABC?（4.4）（）1975年，Ching-hsing Hung与T.L.Markham写00=+00ABABCDCD?之后，利用公式（4.4），导出了ABCD?的一个很复杂的表达式()()=ABKAEFK CEHCDFH?(4.5)其中KA AC C?,EA BCD?,RBAK E?,SDCK E?LR RSS?,()TK EIL L?,1()()()()FL RILL ITTK EKAEL R?,1()()()()HL SILL ITTK EK CELS?。 如果利用L.Mihalyffy的较简公式（4.2），则相关结果可稍稍简化。 （1）1()()()()AABBC CAABCITTAA BC?,其中C(),IAA B?()TA BIC C? （2）若=0AB?,则1()=()()()ABCA ATITTAA BC?其中()CIAA B?,()TA BICC?滁州学院本科毕业论文-11- （3）=ABCDL RTPL STQ?,其中,K ER SL T均如公式（4.5）中所定义的，而P与Q定义为1()()PITTKAEL R?1()()QITTK CELS?注对于一般的四分块矩阵ABCD?，其MP逆的表达式总是非常复杂的；只有在其子块具有若干特殊的性质与关系时，其MP逆的显式才可能简单些。 4.2 (2),T SCramerA广义逆的法则定理1.设m n?AC?,T与S分别是nC与mC的子空间，dim=dimTS?，另设()TN C?，()R BS?,这里B与C?均列满秩，记BEIBB?,CFIC C?，则 (2),T SA有如下表示（1a）1 (2),T S000BBAA E ACA EC?,(1b)1 (2),0T SA,00CCAF ABFAB?;（2a） (2),T S (1)()T1()()BBBBAA E AA EAEAC CAE?,(2b) (2),T S (1)?1()()()CCCCSAF A AF AFAAFABB?定理2.设 (2),T SA存在，并设()(),R US()=()R BTN V?,B,U,C V?均列满秩，则 (2),T SA有下列表示（1a）?1 (2),T S,AU OAU B?（2a）1 (2),T SVA?VACO?定理3.设m n?AC?， (2),T SA存在，并设=()=()T NCR U,=()=()S RBN V,此中B,U,C V?均列满秩，置 (2),T SijXxA?，则(i=1,n;j=1,m)ijx?可以表示为:滁州学院本科毕业论文-12-(1a)(A i)det/det (0)00jijeBABxC iC?,其中je为m维标准单位向量，（1b）() (0)det/det00TiTijABA ejBjxCC?，其中ie为n维标准单位向量。 （2a）()()det/det (0)00BjBijA EA iApCA EACxC iC?，其中BEIBB?，jp为BE的第j列，（2b）()i()() (0)det/0TCijAF AqA?jBjxd?,其中B?det0CAF ABd?B?,CFIC C?,()iq为CF的第i行。 （3a）det()()/det()ijBjBxA EACCiA pAEACC?，其中BE与jp同(2a)，（3b）()idet()()/det()ijCCxAF ABBqAjAF ABB?，其中CF与()iq同 (2)b。 （4a）()()detdet (0)jijVA ivVA?xCC i?,其中jv表示V的第j列，（4b）?()idet()()(0/detTijxAU ujB?jAU B?，其中()iu表示U的第i行。 定理4.（I）设m n?AC?，则 （1）MP逆 (2)(),()=R AN AAA? （2）加权MP逆11 (2)(),()MNN R AAMN AA?. （3）T-约束MP逆 (2)?,()()TT ATAAP?,其中()TT?R PA? （4）加权Drazin逆11 (2)T S,()d wAWAW?，其中11(R AWA)()kkTR WA?,1()()kkSN AWAN WA?,=ind(k)WA (5)Elden逆0 (2)000(),()()()()HKN RA MNAMAAIKPK HAHN AMA AMAN AMAA M?其中p m?HC?,q n?KC?,0()PIHAHA?,MH H?,NK K?,0NA MAN?.(II)设nm?AC?，则滁州学院本科毕业论文-13- (6)Drazin逆()d (2)(),()KKR ANAAA?,其中=ind()KA. （7）群逆# (2)(),RANAA()A?,其中ind()=1A. （8）BD逆 (1)()LA (2),L LA?,这里A与L满足nALLC? （9）广义BD逆()()L (2)?，其中A为-.,L LAA?L ps d.阵，()LLR PA? (10)A为双侧L-约束逆（双侧约束逆）22 (2)T SA,()LLP AP?,其中A为-.L ps d阵2LLTP APLALL?,22()STLLAL?注凡属于广义逆 (2),T SA所获得的结论与公式，自然均适用于上述常用广义逆。 但是，对特定的广义逆而言，因为有其特殊的性质，所有还可能有更简单的行列式公式。 4.3矩阵广义逆的计算当目前为止，我们还没有找到像计算矩阵的一般逆11()detAadj AA?的行之有效的方法来计算矩阵的广义逆,但在矩阵维数较小的前提下利用广义逆的定义式,(),()AYAA YAYYAYAY YAYA?来求广义逆不失为上策。 下面就给出利用这一方法计算广义逆的基本步骤首先，设矩阵A:m n?，rank()=rA,则存在矩阵C:m r?,D:r n?,rank(C)=rank()Dr?,使得ACD?对矩阵A的上述分解称为A的满秩分解。 由于矩阵C,D分别为满列、满行秩，由1()AAAA?,1()BB BB?直接验证得1()()D C?AADDC Ca?其中22,iji jaAa?。 特别，当矩阵A本身为行向量（或列向量）时，1,(,1)CDA CAD?，上式表现为AAAAAA A?.滁州学院本科毕业论文-14-下面来求矩阵A的满秩分解。 我们知道，满秩分解可以通过矩阵的初等行变换来实现。 为了求得矩阵D，我们通过初等行变换化A为阶梯形0rm r?D?，其中:ijDdm n?满足以下条件()对于D的每一行(i=1,2,r)iR?,存在ij，使得1ij d?，且120,;jirdjj jjj?;（）对于D的第ij列(j=1,2,r)?,存在唯一的非零元，即0ikjd?,k?。 i例8.考虑矩阵124124823620?，不难发现，?()2(det1,3100)rank AA?,通过适当的初等行变换，例如（其中，()()jiRa R?表示将A的第i行乘上a加到第j行上）1 (2)R2 (1), (3)R3（1), (3)(RR), (2)R (3), (1)-4 (2)RR10RR?可将矩阵A化为112053001100000A?于是由上述步骤，取142832C?,11205=300110D?。 为了求得DD?,CC?的广义逆，我们可以对DD?，CC?进行初等行变换。 另一计算A?的基本方法是利用矩阵A的奇异值分解AUV?其中矩阵:,:U mm Vnn?均为酉矩阵。 可得AVU?滁州学院本科毕业论文-15-当mn?时，12,ndiag d?dd?，从而12,ndiag d?dd?；当mn?时，10ndd?从而12,0ndiag d?dd?例9.考虑矩阵8616121612?A的奇异值分解为122433233130025350043233001255333A?因此，1230,0dd?。 从而10030000?将它代入AVU?，解得244225122522252150150150A?当然，由于本题中()1rank A?，故用方法1来计算A?更为方便。 我们将要介绍的第三种方法涉及到矩阵分块。 记?1212,nkkAa aaAaaakn?滁州学院本科毕业论文-16-则?11,kk kkkkkAdbAA ab?(4.6)其中11,kKkkkkkdA acaAd?，（4.7）1,0; (1),0kkkkkkkbd ddAc?(4.8)若矩阵A已经给定，则我们可以利用（4.6）、（4.7）和（4.8），通过依次计算12,nAAAA?可得A的广义逆。 结论本文的研究是建立在线性代数的基础上的，在第二章我们首先介绍了广义逆矩阵的定义，对广义逆有了一个初步的认识；第三章介绍了广义逆矩阵的一些重要性质，让我们对广义逆矩阵有了更深层的认识；第四章对广义逆的应用进行了扩展介绍，给出矩阵广义逆矩阵的计算方法。 本文还针对部分性质加入一些例证，对广义逆的定义，定理以及应用给出了更直观的说明。 尽管如此，本文对广义逆矩阵的介绍还是相当有限的，广义逆矩阵的性质和应用是非常广泛的。 总体来说，关键的是要掌握其中的思想方法，以便能够做到举一反三，更进一步地去学习研究广义逆矩阵的性质。 滁州学院本科毕业论文-17-参考文献1陈永林.广义逆矩阵的理论与方法M.南京南京师范大学，xx （12）20-226.2张云孝.广义逆矩阵及其应用的研究J.咸阳师专学报，1997 （6）10-12.3张静.求矩阵的广义逆J.内蒙