高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第2课时 平面与平面垂直课件 新人教B版必修2.ppt

第2课时平面与平面垂直 第一章1 2 3空间中的垂直关系 学习目标1 理解面面垂直的定义 并能画出面面垂直的图形 2 掌握面面垂直的判定定理及性质定理 并能进行空间垂直的相互转化 3 掌握面面垂直的证明方法 并能在几何体中应用 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一平面与平面垂直的定义 1 条件 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直 又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直 2 结论 两个平面互相垂直 3 记法 平面 互相垂直 记作 知识点二平面与平面垂直的判定定理 思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物 做成 铅锤 用这种方法来检查墙与地面是否垂直 当挂铅锤的线从上面某一点垂下时 如果墙壁贴近铅锤线 则说明墙和地面什么关系 此时铅锤线与地面什么关系 答案都是垂直 梳理平面与平面垂直的判定定理 垂线 a 知识点三平面与平面垂直的性质定理 思考黑板所在平面与地面所在平面垂直 你能否在黑板上画一条直线与地面垂直 答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直 因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线 则所画直线必与地面垂直 梳理 垂直于它们 交线的直线 思考辨析判断正误 1 若l 则过l有无数个平面与 垂直 2 若平面 平面 任取直线l 则必有l 3 已知两个平面垂直 过一个平面内任意一点作交线的垂线 则此垂线必垂直于另一个平面 题型探究 例1如图 四棱锥p abcd的底面是正方形 pd 底面abcd 点e在棱pb上 求证 平面aec 平面pdb 类型一面面垂直的判定 证明 证明设ac bd o 连接oe ac bd ac pd pd bd为平面pdb内两条相交直线 ac 平面pdb 又 ac 平面aec 平面aec 平面pdb 反思与感悟应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤 跟踪训练1如图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱垂直底面 acb 90 ac aa1 d是棱aa1的中点 证明 平面bdc1 平面bdc 证明 证明由题设知bc cc1 bc ac cc1 ac c 所以bc 平面acc1a1 又dc1 平面acc1a1 所以dc1 bc 由题设知 a1dc1 adc 45 所以 cdc1 90 即dc1 dc 又dc bc c 所以dc1 平面bdc 又dc1 平面bdc1 所以平面bdc1 平面bdc 类型二面面垂直的性质定理及应用 例2如图 在三棱锥p abc中 pa 平面abc 平面pab 平面pbc 求证 bc ab 证明 证明如图 在平面pab内 作ad pb于d 平面pab 平面pbc 且平面pab 平面pbc pb ad 平面pbc 又bc 平面pbc ad bc 又 pa 平面abc bc 平面abc pa bc 又 pa ad a bc 平面pab 又ab 平面pab bc ab 反思与感悟证明线面垂直 一种方法是利用线面垂直的判定定理 另一种方法是利用面面垂直的性质定理 本题已知面面垂直 故可考虑面面垂直的性质定理 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时 要注意以下三点 1 两个平面垂直 2 直线必须在其中一个平面内 3 直线必须垂直于它们的交线 跟踪训练2如图所示 p是四边形abcd所在平面外的一点 abcd是 dab 60 且边长为a的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd g为ad边的中点 求证 1 bg 平面pad 证明平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 又 四边形abcd是菱形且 dab 60 abd是正三角形 bg ad bg 平面pad 证明 2 ad pb 证明由 1 可知bg ad pg ad 又bg pg g ad 平面pbg 又pb 平面pbg ad pb 证明 类型三垂直关系的综合应用 例3如图所示 abc为正三角形 ce 平面abc bd ce 且ce ac 2bd m n分别是ae ac的中点 求证 1 de da 解答 解取ce的中点f 连接df 易知df bc 因为ce 平面abc 所以ce bc 所以ce df 因为bd ce 所以bd 平面abc 所以bd ab 在rt efd和rt dba中 所以rt efd rt dba 所以de da 2 平面bdmn 平面eca 解因为ec 平面abc 所以ec bn 因为 abc为正三角形 所以bn ac 因为ec ac c 所以bn 平面eca 又因为bn 平面bdmn 所以平面bdmn 平面eca 解答 3 平面dea 平面eca 解因为m n分别是ae ac的中点 解答 所以四边形mnbd是平行四边形 所以dm bn 由 2 知bn 平面eca 所以dm 平面eca 又因为dm 平面dea 所以平面dea 平面eca 反思与感悟在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直 线面垂直 面面垂直的相互转化 每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直 最终达到目的 其转化关系如下 跟踪训练3如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd和pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 证明 pa ad 平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 由平面和平面垂直的性质定理可得pa 平面abcd 证明 2 be 平面pad 证明 ab cd ab ad cd 2ab e和f分别是cd和pc的中点 故四边形abed为平行四边形 故有be ad 又ad 平面pad be 平面pad be 平面pad 证明 3 平面bef 平面pcd 证明 证明在平行四边形abed中 由ab ad可得 abed为矩形 故有be cd 由pa 平面abcd 可得pa ab 再由ab ad可得ab 平面pad cd 平面pad 故有cd pd 再由e f分别为cd和pc的中点 可得ef pd cd ef 而ef和be是平面bef内的两条相交直线 故有cd 平面bef 由于cd 平面pcd 平面bef 平面pcd 达标检测 答案 1 下列四个命题 垂直于同一条直线的两条直线相互平行 垂直于同一个平面的两条直线相互平行 垂直于同一条直线的两个平面相互平行 垂直于同一个平面的两个平面相互平行 其中错误的命题有a 1个b 2个c 3个d 4个 1 2 3 4 5 解析 1 2 3 4 5 解析 垂直于同一条直线的两条直线相互平行 不正确 如正方体的一个顶角的三个边就不成立 垂直于同一个平面的两条直线相互平行 根据线面垂直的性质定理可知正确 垂直于同一条直线的两个平面相互平行 根据面面平行的判定定理可知正确 垂直于同一个平面的两个平面相互平行 不正确 如正方体相邻的三个面就不成立 故选b 2 如图 设p是正方形abcd外一点 且pa 平面abcd 则平面pab与平面pbc 平面pad的位置关系是a 平面pab与平面pbc 平面pad都垂直b 它们两两垂直c 平面pab与平面pbc垂直 与平面pad不垂直d 平面pab与平面pbc 平面pad都不垂直 1 2 3 4 5 答案 解析 解析 pa 平面abcd pa bc 又bc ab pa ab a bc 平面pab bc 平面pbc 平面pbc 平面pab 由ad pa ad ab pa ab a 得ad 平面pab ad 平面pad 平面pad 平面pab 由已知易得平面pbc与平面pad不垂直 故选a 1 2 3 4 5 1 2 3 3 如图 在四面体abcd中 已知ab ac bd ac 那么d在面abc内的正投影h必在a 直线ab上b 直线bc上c 直线ac上d abc内部 4 5 解析 解析在四面体abcd中 已知ab ac bd ac ab bd b ac 平面abd 又 ac 平面abc 平面abc 平面abd 平面abc 平面abd ab d在面abc内的射影h必在ab上 故选a 答案 1 2 3 4 5 4 如图所示 已知af 平面abcd de 平面abcd 且af de ad 6 则ef 解析 解析 af 平面abcd de 平面abcd af de 又af de 四边形afed为平行四边形 故ef ad 6 答案 6 5 如图所示 在四棱锥s abcd中 底面四边形abcd是平行四边形 sc 平面abcd e为sa的中点 求证 平面ebd 平面abcd 证明 证明连接ac与bd交于o点 连接oe o为ac的中点 e为sa的中点 eo s