高中数学 第一章 数列 复习课2 等比数列课件 北师大版必修5.ppt

等比数列复习课 1 理解等比数列的概念 2 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系 并能用有关知识解决相应的问题 1 等比数列的有关概念 1 等比数列的定义如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q q 0 表示 2 等比中项如果a g b成等比数列 那么g叫作a与b的等比中项 即 g是a与b的等比中项 a g b成等比数列 g2 ab 做一做1 1 下列数列为等比数列的是 a 0 0 0 0 b 22 42 62 82 c q 1 q 1 2 q 1 3 q 1 4 答案 d 做一做1 2 如果 4 a b c 16成等比数列 那么 a b 8 ac 64b b 8 ac 64c b 8 ac 64d b 8 ac 64解析 b2 ac 4 16 64 且b与首项 4同号 b 8 答案 b 2 等比数列的通项公式及前n项和公式 1 若等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则其通项公式为an a1qn 1 若等比数列 an 的第m项为am 公比为q 则其第n项an可以表示为an amqn m 2 等比数列的前n项和公式 当q 1时 sn na1 当q 1时 做一做2 1 在等比数列 an 中 a2017 8a2014 则公比q的值为 a 2b 3c 4d 8解析 a2017 a2014q3 8a2014 q3 8 q 2 答案 a a 35b 33c 31d 29 答案 c 3 等比数列及前n项和的性质 1 若 an 为等比数列 且k l m n k l m n n 则ak al am an 2 相隔等距离的项组成的数列仍成等比数列 即ak ak m ak 2m 仍成等比数列 公比为qm 3 当q 1或q 1且n为奇数时 sn s2n sn s3n s2n仍成等比数列 其公比为qn 做一做3 一个项数为偶数的等比数列 它的偶数项和是奇数项和的2倍 又它的首项为1 且中间两项的和为24 则此等比数列的项数为 a 6b 8c 10d 12解析 设此数列共有2n项 公比为q 偶数项和为奇数项和的2倍 又an an 1 24 a1 1 1 2n 1 1 2n 24 解得n 4 2n 8 答案 b 题型一 题型二 题型三 题型一等比数列的判定 例1 数列 an 的前n项和为sn 若an sn n cn an 1 求证 数列 cn 是等比数列 分析 由an sn n得到an 1与an的关系 结合cn an 1 利用定义证明 题型一 题型二 题型三 反思在判断一个数列是否为等比数列时 应根据条件灵活选用方法 定义法 等比中项法 通项公式法 若一个数列中的项包含0 则它一定不是等比数列 题型一 题型二 题型三 变式训练1 已知数列 an 的首项a1 5 前n项和为sn 且sn 1 2sn n 5 n n 求证 数列 an 1 是等比数列 证明 由已知sn 1 2sn n 5 n n 可得当n 2时 sn 2sn 1 n 4 两式相减得sn 1 sn 2 sn sn 1 1 即an 1 2an 1 从而an 1 1 2 an 1 当n 1时 s2 2s1 1 5 即a2 a1 2a1 6 又a1 5 所以a2 11 从而a2 1 2 a1 1 故an 1 1 2 an 1 对n n 恒成立 所以数列 an 1 是等比数列 题型一 题型二 题型三 题型二等比数列性质的应用 例2 1 在等比数列 an 中 a1 1 a10 3 则a2a3a4a5a6a7a8a9等于 2 各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为sn 若sn 2 s3n 14 则s4n等于 a 80b 30c 26d 16分析 1 应用m n p q时 可用am an ap aq求解 2 利用等比数列的性质 依次n项和成等比数列求解 题型一 题型二 题型三 解析 1 根据等比数列的性质 a2a9 a3a8 a4a7 a5a6 a1a10 a2a3a4a5a6a7a8a9 a1a10 4 34 81 故选a 2 由等比数列性质知sn s2n sn s3n s2n s4n s3n 仍成等比数列 设s2n x 即2 x 2 14 x成等比数列 由 x 2 2 2 14 x 解得x 6或x 4 舍去 s2n 6 则s4n s3n sn q3 s4n 14 2 23 30 故选b 答案 1 a 2 b反思在解决等比数列的有关问题时 要注意挖掘隐含条件 利用性质 特别是性质 若m n p q 则am an ap aq 可以简化运算 提高解题速度 题型一 题型二 题型三 变式训练2 记等比数列 an 的前n项积为tn n n 已知am 1am 1 2am 0 且t2m 1 128 则m的值为 a 4b 7c 10d 12 答案 a 题型一 题型二 题型三 题型三等差 等比数列的综合问题 例3 成等差数列的三个正数的和等于15 并且这三个数分别加上2 5 13后成为等比数列 bn 中的b3 b4 b5 1 求数列 bn 的通项公式 2 若数列 bn 的前n项和为sn 求证 分析 设成等差数列的三个正数 利用等比数列的性质解出公差d 从而求出bn 利用定义法证明 2 题型一 题型二 题型三 1 解 设成等差数列的三个正数分别为a d a a d 依题意 得a d a a d 15 解得a 5 所以 bn 中的b3 b4 b5依次为7 d 10 18 d 依题意 有 7 d 18 d 100 解得d 2或d 13 舍去 故 bn 的第3项为5 公比为2 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 变式训练3 已知等差数列 an 的公差不为零 a1 25 且a1 a11 a13成等比数列 1 求 an 的通项公式 2 求a1 a4 a7 a3n 2 1 2 3 4 5 1等比数列 an 的前n项和sn 3n a 则a等于 a 3b 1c 0d 1答案 b 1 2 3 4 5 2设sn为等比数列 an 的前n项和 已知3s3 a4 2 3s2 a3 2 则公比q为 a 3b 4c 5d 6 答案 b 1 2 3 4 5 3在等比数列 an 中 a5 4 a7 8 则a9 答案 16 1 2 3 4 5 4在如下的表格中 每格填上一个数字后 使得每一横行成等差数列 每一纵列成等比数列 则a b c的值为 答案 1 1 2 3 4 5 5已知等比数列 an 满足an 1 an 9 2n 1 n n 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 an