高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、合情推理 1.1.1 集合、常用逻辑用语课件 理 新人教版.ppt

第一讲集合 常用逻辑用语 知识回顾 1 集合的概念 关系及运算 1 集合元素的特性 确定性 无序性 2 集合与集合之间的关系 a b b c 3 空集是任何集合的子集 互异性 a c 4 含有n个元素的集合的子集有 个 真子集有 个 非空真子集有 个 5 重要结论 a b a a b a 2n 2n 1 2n 2 a b b a 2 四种命题之间的关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有 的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性 2 一个命题的逆命题与它的否命题同真同假 相同 没有关系 3 充要条件设集合a x x满足条件p b x x满足条件q 则有 ab ba a b 4 简单的逻辑联结词 1 命题p q 只要p q有一真 即为真 命题p q 只有p q均为真 才为真 p和p为真假对立的命题 2 命题p q的否定是 命题p q的否定是 p q p q 5 全 特 称命题及其否定 1 全称命题p x m p x 它的否定为 p 2 特称命题p x0 m p x0 它的否定为 p x0 m p x0 x m p x 易错提醒 1 忽略集合元素互异性致误 在求解与集合有关的参数问题时 一定要注意集合元素的互异性 否则容易产生增根 2 忽略空集致误 空集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 在分类讨论时要注意 空集优先 的原则 3 混淆命题的否定与否命题致误 在求解命题的否定与否命题时 一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定 而否命题既对命题的条件进行否定 又对命题的结论进行否定 否则容易致误 4 注意问题的表达方式 a的充分不必要条件是b 是指b能推出a 但a不能推出b a是b的充分不必要条件 是指a能推出b 但b不能推出a 考题回访 1 2016 全国卷 已知集合a 1 2 3 b x x 1 x 2 0 x z 则a b a 1 b 1 2 c 0 1 2 3 d 1 0 1 2 3 解析 选c b x x 1 x 2 0 x z x 1 x 2 x z 所以b 0 1 所以a b 0 1 2 3 2 2015 全国卷 设命题p n0 n 则p为 a n n n2 2nb n0 n c n n n2 2nd n0 n 解析 选c p n n n2 2n 3 2016 全国卷 设集合s x x 2 x 3 0 t x x 0 则s t a 2 3 b 2 3 c 3 d 0 2 3 解析 选d 在集合s中 x 2 x 3 0 解得x 3或x 2 所以s t x 0 x 2或x 3 4 2014 全国卷 甲 乙 丙三位同学被问到是否去过a b c三个城市时 甲说 我去过的城市比乙多 但没去过b城市 乙说 我没去过c城市 丙说 我们三人去过同一个城市 由此可判断乙去过的城市为 解析 由丙可知 乙至少去过一个城市 由甲可知甲去过a c且比乙多 故乙只去过一个城市 且没有去过c城市 故乙只去过a城市 答案 a 热点考向一集合的概念及运算命题解读 主要考查集合的交集 并集的运算 有时也会考查补集 集合之间的关系 四年来只出现选择题题型 典例1 1 2016 全国卷 设集合a x x2 4x 30 则a b 2 2016 福州一模 已知集合a x y ln 1 2x b x x2 x 全集u a b 则 u a b 解题导引 1 先依据a b的意义 求出各自的解集 再求交集 2 先化简a b两个集合 再求出它们的并集 最后求出它们的补集 规范解答 1 选d a x x2 4x 30 所以a b 2 选c 对于a b 0 1 a b u 1 u a b 0 命题角度二集合间的关系的判断 典例2 1 2016 蚌埠二模 已知集合m 1 4 7 m n m 则集合n不可能是 a b 1 4 c md 2 7 2 2016 佛山二模 自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考 主要包括 北约 联盟 华约 联盟 卓越 联盟和 京派 联盟 在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时 得到如下结果 报考 北约 联盟的学生 都没报考 华约 联盟 报考 华约 联盟的学生 也报考了 京派 联盟 报考 卓越 联盟的学生 都没报考 京派 联盟 不报考 卓越 联盟的学生 就报考 华约 联盟 根据上述调查结果 下列结论错误的是 a 没有同时报考 华约 和 卓越 联盟的学生b 报考 华约 和 京派 联盟的考生一样多c 报考 北约 联盟的考生也报考了 卓越 联盟d 报考 京派 联盟的考生也报考了 北约 联盟 解题导引 1 由m n m 得n m 根据集合关系进行判断即可 2 将各个联盟看成集合 画出韦恩图即可得出结果 规范解答 1 选d 因为m n m 所以n m 所以集合n不可能是 2 7 2 选d 集合a表示报考 北约 联盟的学生 集合b表示报考 华约 联盟的学生 集合c表示报考 京派 联盟的学生 集合d表示报考 卓越 联盟的学生 由题意得所以选项a b d 正确 选项b b c 正确 选项c a d 正确 规律方法 1 解答集合问题的策略 1 正确理解各个集合的含义 弄清集合元素的属性 2 依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解 2 一般策略 1 若给定的集合是不等式的解集 用数轴求解 2 若给定的集合是点集 用图象法求解 3 若给定的集合是抽象集合 常用venn图求解 题组过关 1 2015 全国卷 已知集合a 2 1 0 1 2 b x x 1 x 2 0 则a b a 1 0 b 0 1 c 1 0 1 d 0 1 2 解析 选a 由已知得b x 2 x 1 故a b 1 0 2 2016 朔州二模 已知集合a 1 2 3 4 b x z x 1 则a zb a b 4 c 3 4 d 2 3 4 解析 选d 因为集合a 1 2 3 4 b x z x 1 1 0 1 所以a zb 2 3 4 3 2016 江南十校一模 已知集合p x 1 x b b n q x x2 3x 0 x z 若p q 则b的最小值等于 a 0b 1c 2d 3 解析 选c 集合p x 1 x b b n q x x2 3x 0 x z 1 2 p q 可得b的最小值为2 4 2016 武汉一模 已知集合a x y lg x x2 集合b x x2 cx0 若a b 则c的取值范围为 a 0 1 b 0 1 c 1 d 1 解析 选c 由题意将两个集合化简得 a 0 1 b 0 c 因为a b 所以c 1 加固训练 1 2016 蚌埠二模 已知全集u 0 1 2 3 4 集合m 2 3 4 n 0 1 4 则集合 0 1 可以表示为 a m nb m nc m n d m n 解析 选b 全集u 0 1 2 3 4 集合m 2 3 4 n 0 1 4 所以m 0 1 n m 0 1 2 2016 衡阳一模 已知集合a 0 1 2 b x y lnx 则a b a 0 2 b 0 1 c 1 2 d 0 1 2 解析 选c b x y lnx x x 0 则a b 1 2 3 2016 蚌埠二模 若全集u 0 1 2 4 且 ua 1 2 则集合a a 1 4 b 0 4 c 2 4 d 0 2 解析 选b 全集u 0 1 2 4 且 ua 1 2 则集合a 0 4 4 2016 佛山二模 已知u r 函数y ln 1 x 的定义域为m 集合n x x2 x 0 则下列结论正确的是 a m n nb m un c m n ud m un 解析 选a 由1 x 0 解得x 1 故函数y ln 1 x 的定义域为m 1 由x2 x 0 解得0 x 1 故集合n x x2 x 0 0 1 所以m n n 5 2016 长沙二模 已知集合a x 3 x 3 b x x x 4 0 则a b a 0 4 b 3 4 c 0 3 d 3 4 解析 选b 因为集合a x 3 x 3 b x x x 4 0 x 0 x 4 所以a b x 3 x 4 3 4 热点考向二命题及逻辑联结词命题解读 主要考查全 特 称命题的否定 四种命题之间的关系以及命题的否定 以选择题 填空题的形式出现 典例3 1 2016 黄冈二模 下列命题中的假命题是 a x0 r lnx0 x 1c x 0 5x 3xd x0 0 x0 sinx0 2 2016 衡阳一模 已知命题p 0 r cos 0 cos 0 命题q x r x2 1 0 则下面结论正确的是 a p q是真命题b p q是假命题c p是真命题d p是假命题 解题导引 1 根据对数函数以及指数函数的性质分别判断各个选项即可 2 p 取 0 则cos 0 cos 0 即可判断出真假 命题q 利用实数的性质可得q的真假 再利用复合命题真假的判定方法即可得出 规范解答 1 选d 对于a 比如x0 时 ln 1 是真命题 对于b 令f x ex x 1 f x ex 1f 0 0 是真命题 对于c 因为当 0时 y x 在第一象限为增函数 所以5x 3x是真命题 对于d 令g x x sinx g x 1 cosx 0 g x 递增 所以g x g 0 0 是假命题 2 选a 对于p 取 0 则cos 0 cos 0 因此正确 对于命题q x r x2 1 0 正确 由上可得 p q是真命题 规律方法 1 命题真假的判定方法 1 一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别 2 四种命题真假的判断 一个命题和它的逆否命题同真假 而其他两个命题的真假无此规律 3 形如p q p q p命题的真假根据p q的真假与联结词的含义判定 2 全称命题与特称命题真假的判定 1 全称命题 要判定一个全称命题是真命题 必须对限定集合m中的每一个元素x验证p x 成立 要判定其为假命题时 只需举出一个反例即可 2 特称命题 要判定一个特称命题为真命题 只要在限定集合m中至少能找到一个元素x0 使得p x0 成立即可 否则 这一特称命题就是假命题 3 常见词语及否定 题组过关 1 2016 太原一模 命题 x r 函数y x 是增函数的否定是 a x r 函数y x0 是减函数b x r 函数y x0 不是增函数c x0 r 函数y x0 不是增函数d x0 r 函数y x0 是减函数 解析 选c 因为全称命题的否定是特称命题 所以 命题 x r 函数y x 是增函数的否定是 x0 r 函数y x0 不是增函数 2 2016 广州一模 已知命题p x n 命题q x0 r 则下列命题中为真命题的是 a p qb p qc p q d p q 解析 选a 由得x 0 故命题p为真命题 因为所以所以所以 2 0 所以x0 故命题q为真命题 所以p q为真命题 3 下列说法中正确的是 a 命题 若x2 1 则x 1 的否命题为 若x2 1 则x 1 b 已知a 1 f x 则f x 1成立的充要条件为 2 x 0 c 命题 存在x0 r 使得x02 x0 1 0 的否定是 对任意x r 均有x2 x 1 0 d 命题 角 的终边在第一象限 则 是锐角 的逆否命题为真命题 解析 选b 对于a 命题 若x2 1 则x 1 的否命题为 若x2 1 则x 1 不满足否命题的定义 所以a不正确 对于b f x 1 所以x2 2x 0 所以 2 x 0 正确 对于c 命题 存在x0 r 使得x02 x0 1 0 的否定是 对任意x r 均有x2 x 1 0 不满足命题的否定形式 所以不正确 对 于d 命题 角 的终边在第一象限 则 是锐角 是假命题 所以其逆否命题也为假命题 所以d不正确 4 2014 全国卷 不等式组的解集记为d 有下面四个命题 p1 x y d x 2y 2 p2 x0 y0 d x0 2y0 2 p3 x y d x 2y 3 p4 x0 y0 d x0 2y0 1 其中真命题是 a p2 p3b p1 p4c p1 p2d p1 p3 解析 选c 画出可行域如图所示 设x 2y z 则y x 当直线经过点a 2 1 时z取得最小值 zmin 2 2 1 0 即z 0 所以命题p1 p2是真命题 加固训练 1 已知命题p x r x 1 0 的否定是 x r x 1 0 命题q 函数y x 3是幂函数 则下列命题为真命题的是 a p qb p qc qd p q 解析 选b 易知命题p是假命题 命题q是真命题 所以p q是真命题 2 下列说法正确的是 a 命题 x0 r x02 x0 2016 0 的否定是 x r x2 x 2016 0 b 命题p 函数f x x2 2x仅有两个零点 则命题p是真命题c 函数f x 在其定义域上是减函数d 给定命题p q 若 p且q 是真命题 则 p是假命题 解析 选d a错误 正确应为 x r x2 x 2016 0 b错误 作出f x x2 f x 2x图象可知有三个交点 c错误 函数f x 在其定义域上不是减函数 d正确 3 已知下列命题 若x2 x 0 则x 0或x 1 的逆否命题为 若x 0且x 1 则x2 x 0 x 1 是 x 3 的充分不必要条件 命题p 存在x0 r 使得sinx0 0 则 p 任意x r 都有sinx 0 若p且q为假命题 则p q均为假命题 其中真命题个数为 a 1b 2c 3d 4 解析 选c 由题可知 正确 正确 特称命题的否定为全称命题 所以 显然正确 若p且q为假命题 则p q至少有一个是假命题 所以 的推断不正确 热点考向三充要条件的判断命题解读 主要考查充要条件的判断 依据充要条件求参数 以选择题 填空题为主 典例4 1 若集合a x x2 x 2 2b a 2c a 1d a 1 2 设a b都是不等于1的正数 则 3a 3b 3 是 loga3 logb3 的 a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 解题导引 1 由a b 想到集合a与集合b有交集 求参数a的取值范围可结合数轴求解 2 首先由3a 3b 3 看能否推出loga33b 3 规范解答 1 选c 由x2 x 2 1 2 选b 由3a 3b 3 知a b 1 所以log3a log3b 0 所以即loga33b 3 是 loga3b 1 所以 3a 3b 3 是 loga3 logb3 的不必要条件 母题变式 1 若本例 1 中条件不变 则a b 的充要条件是 解析 由题意知a x 1 x 2 若a b 则a 1 答案 a 1 2 本例 1 中条件变为 设集合a x y x 4 2 y2 1 b x y x t 2 y at 2 2 1 若存在实数t 使得a b 则实数a的取值范围是 解析 集合a表示的是以 4 0 为圆心 以1为半径的圆 集合b表示的是以 t at 2 为圆心 以1为半径的圆 a b 说明这两个圆至少有一个交点 故 1 1 2 即 a2 1 t2 4 a 2 t 16 0 据题意此不等式有实数解 故判别式 16 a 2 2 4 a2 1 16 0 即3a2 4a 0 解得0 a 答案 0 a 规律方法 充分条件与必要条件的三种判定方法 1 定义法 正 反方向推理 若p q 则p是q的充分条件 或q是p的必要条件 若p q 且qp 则p是q的充分不必要条件 或q是p的必要不充分条件 2 集合法 利用集合间的包含关系 例如 若a b 则a是b的充分条件 b是a的必要条件 若a b 则a是b的充要条件 3 等价法 将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题 题组过关 1 2016 黄冈二模 设集合a x x 1 b x x 1 则 x a且x b 成立的充要条件是 a 1 1d 1 x 1 解析 选d 因为集合a x x 1 b x x 1 又因为 x a且x b 所以 1 x 1 当 1 x 1时 满足x a且x b 2 2016 淮南一模 已知f x 则 f f a 1 是 a 1 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 选b 当a 1 则f a f 1 0 则f 0 0 1 1 则必要性成立 若x 0 若f x 1 则2x 1 1 则x 0 若x 0 若f x 1 则x2 1 1