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上海海事大学2012-2013学年第 2 学期研究生 数值分析 课程考试试卷A（答案）学生姓名： 学号： 专业：1. 利用Seidel迭代法求解Ax=b时，其迭代矩阵是；当系数矩阵A满足 严格对角占优 时，Seidel迭代法收敛 。 7. 反幂法是求可逆矩阵按模最小 特征值和特征向量的计算方法6. QR法是计算 非奇异矩阵的 所有 特征值和特征向量的计算方法1. 利用Jacobi迭代法求解Ax=b时，其迭代矩阵是；当系数矩阵A满足 严格对角占优 时，Jacobi迭代法收敛 。 2. 对于求解Ax=b，如果右端有的扰动存在而引起解的误差为，则相对误差 3. 幂法是求矩阵按模最大 特征值和特征向量的计算方法Jacobi法是计算 实对称矩阵的所有 特征值和特征向量的计算方法六设方程组Ax=b有唯一解，其等价变形构造的迭代格式为，如矩阵谱半径，但B有一个特征值满足，求证：存在初始向量，使得迭代产生的序列收敛于。 （7分）证明： 由， 对于B的一个特征值满足，特征向量设为，故取初始向量，有，所以收敛于八给定函数函数，对于一切，存在，且，证明对于范围内的任意定数，迭代过程均收敛于的根。 （7分）解：，,单调，根存在条件下必唯一。迭代函数，有条件，可得故： , 所以 所以十 初值问题的解为，是由Euler法得出的数值解 证明：整体误差 ,并说明其收敛性。 （7分）解：对任意固定值x0,取，所以，由Euler法=所以， 对任意固定点，的所以收敛。解：因为，所以略去余项得。又 当时，因为，当时，所以是二阶精度。因为： 因，所以即故梯形公式是无条件绝对稳定的。九试用关于互异节点和的插值多项式和构造出关于节点的不超过n-1次的多项式。（7分）解：因为，且都为不超过n-2次的多项式，故，所以为不超n-1次多项式有得到所以三 假设已知矩阵A的某个特征值的近似值，即有，。试分析用什么方法可以修正特征值的近似值，并得到相应于特征值的特征向量。 （6分） 解：设，故是B的按模最小特征值。由反幂法可得： ，作，即得，则对充分大的，（即为特征值对应的特征向量）且：八 证明用单步法 求解初值问题， 可以给出准确解 。 （7分） 解： 因： 又由taylor展开得：由此：，故当时，该法可得准确解。 九.给定，在区间上有
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