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椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题(一) 定义:1. 命题甲:动点到两点的距离之2. 和命题乙: 的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 已知、是两个定点，且,若动点满足则动点的轨迹是（ D ）A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段4. 已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得,那么动点的轨迹是( B )A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点5. 椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中心，则的值是 4 。6. 选做：F1是椭圆的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1），求的最小值。解：(二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k的取值范围，使方程表示圆，椭圆，双曲线。（略）2. ( C )A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，所在的象限是（ A ）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 方程所表示的曲线是 椭圆的右半部分 .5. 已知方程表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是 k1 (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，5），椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,求椭圆方程.2. 简单几何性质1 求下列椭圆的标准方程（1）； （2）过（3，0）点，离心率为。 （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是。（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为（5）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。3过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若，则椭圆的离心率为_（四）椭圆系共焦点，相同离心率1 椭圆与的关系为（ A ） A相同的焦点 B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴 D。有相等的焦距2、求与椭圆有相同焦点，且经过点的椭圆标准方程。 （五）焦点三角形4a1. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点。若，则 8 。2. 已知、为椭圆的两个焦点，过且斜率不为0的直线交椭圆于、两点，则的周长是 20 。3. 已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长为 。（六）焦点三角形的面积： 1. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，求点到轴的距离。解：设则解得，所以求点到轴的距离为2. 设是椭圆上的一点，、为焦点，求的面积。解：当，S=3. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，若，则的面积为 。4. 已知AB为经过椭圆的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则AFB的面积的最大值为 cb 。（七）焦点三角形PF1PF21. 设椭圆的两焦点分别为和，为椭圆上一点，求的最大值，并求此时点的坐标。2. 椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 2 ； 120O 。3. 椭圆的焦点为、，为其上一动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围为 。4. P为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点。（1）若的中点是，求证：；（2）若，求的值。解：（1）MO为三角形PF1F2的中位线，（2）=（八）与椭圆相关的轨迹方程定义法：1. 点M(x,y)满足，求点M的轨迹方程。（）2. 已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程.3. 已知圆,圆，动圆与外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程.解：由题所以点的轨迹是：以，为焦点的距离之和为12的椭圆。，方程为4. 已知，是圆（为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为 5. 已知A(0,-1),B(0,1),ABC的周长为6，则ABC 的顶点C的轨迹方程是 。直接法6. 若的两个顶点坐标分别是和，另两边、的斜率的乘积是，顶点的轨迹方程为 。相关点法7. 已知圆，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，垂足为，点在上，并且，求点M的轨迹。8. 已知圆，从这个圆上任意一点P向X轴引垂线段PP，则线段PP的中点M的轨迹方程是 。9. 已知椭圆，A、B分别是长轴的左右两个端点，P为椭圆上一个动点，求AP中点的轨迹方程。10. 一条线段的长为，两端点分别在轴、轴上滑动 ，点在线段上，且,求点的轨迹方程.二、 直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系1 当为何值时,直线和椭圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离。解：由消去y得，判别式：所以，当时直线与椭圆相交；当时直线与椭圆相切；当时直线与椭圆相离。2 若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围为 。 (二)弦长问题1. 设椭圆的左右两个焦点分别为、，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为。（1） 求椭圆的方程；（2） 设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线交椭圆C于另一点N，求的面积。解：由（1）点B（0，），直线BF2的方程为：消去y得：，解得所以点N的坐标为（，）所以(三)点差法1. 已知一直线与椭圆 相交于、两点,弦的中点坐标为，求直线AB的方程. 解：设交点，则有，（2）-（1）得即，又直线AB过点（1，1）所以直线AB的方程为：2. 椭圆C以坐标轴为对称轴，并与直线l:x+2y=7相交于P、Q两点，点R的坐标为（2，5），若为等腰三角形，求椭圆C的方程。解：设椭圆，交点，为等腰三角形，则解得Q（1，3）。所以（1）又则当，则有，则（2）由（1）（2）得，椭圆的方程为当当，则有，则（3）由（1）（3）得B=0（舍去） (四) 定值、定点问题1、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 ， 求证：为定值.证明：设交点由消去y得则有所以为定值(五) 取