专题复习教案――三角函数(学生用).doc

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专题复习教案三角函数一、本专题知识结构：二、重点知识回顾1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边相同的角，都可以表示成k3600+的形式，特例，终边在x轴上的角集合|=k1800，kZ，终边在y轴上的角集合|=k1800+900，kZ，终边在坐标轴上的角的集合|=k900，kZ。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度弧长公式：；扇形面积公式：。 2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：（1）三角函数定义：角中边上任意一点为，设则：（2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（3）特殊角的三角函数值02sin010-10cos10-101tan01不存在0不存在0（3）同角三角函数的基本关系：（4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）:sin()sin,cos()cos,tan()tansin()sin,cos()cos,tan()tansin()sin,cos()cos,tan()tansin()sin,cos()cos,tan()tansin()sin,cos()cos,tan()tan，sin()cos,cos()sinsin()cos,cos()-sin3、两角和与差的三角函数（1）和（差）角公式（2）二倍角公式二倍角公式：；（3）经常使用的公式升（降）幂公式：、；辅助角公式：（由具体的值确定）；正切公式的变形：.4、三角函数的图象与性质（一）列表综合三个三角函数，的图象与性质，并挖掘：最值的情况；了解周期函数和最小正周期的意义会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；会从图象归纳对称轴和对称中心；的对称轴是，对称中心是；的对称轴是，对称中心是的对称中心是注意加了绝对值后的情况变化.写单调区间注意.（二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式“五点法”作图的列表方式；求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.（三）正弦型函数的图象变换方法如下：先平移后伸缩的图象得的图象得的图象得的图象得的图象先伸缩后平移的图象得的图象得的图象得的图象得的图象5、解三角形正、余弦定理正弦定理（是外接圆直径）注：；。余弦定理：等三个；注：等三个。几个公式:三角形面积公式：；内切圆半径r=；外接圆直径2R=在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：ABC中，三、考点剖析考点一：三角函数的概念【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。【命题规律】在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以选择题和填空题为主。例1、（2008北京文）若角的终边经过点P(1,-2),则tan 2的值为.考点二：同角三角函数的关系【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明强化记忆，在解题时要注意，这是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨论是关键。例、（浙江理）若则=( ) （A） （B）2 （C） （D）例3、（2007全国卷1理1）是第四象限角，则（ ）ABCD考点三： 诱导公式【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin与cos对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中+的整数k来讲的，象限指+中，将看作锐角时，+所在象限，如将cos(+)写成cos（+），因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又+看作第四象限角，cos(+)为“+”，所以有cos(+)=sin。【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数值，也有些大题用到诱导公式。例4、(2008陕西文) 等于（ ）ABCD例5、（2008浙江文）若 .考点四：三角函数的图象和性质【内容解读】理解正、余弦函数在0，2，正切函数在（-，）的性质，如单调性、最大值与最小值、周期性，图象与x轴的交点，会用五点法画函数的图象，并理解它的性质：（）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期。注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等 ，以选择题、解答题为主，难度以容易题、中档题为主。例6、(2008天津文)设，则（ ）ABCD例7、(2008山东文、理)函数的图象是（ ）yxOyxOyxOyxOABCD例8、(2008天津文)把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）ABCD例9、（浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是( )（A）0 （B）1 （C）2 （D）4考点五：三角恒等变换【内容解读】经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；能从两角差的余弦公式，导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，公式之间的规律，能用上述的公式进行简单的恒等变换；注意三角恒等变换与其它知识的联系，如函数的周期性，三角函数与向量等内容。【命题规律】主要考查三角函数的化简、求值、恒等变换。题型主、客观题均有，近几年常有一道解答题，难度不大，属中档题。例10、（2008惠州三模）已知函数（I）求函数的最小正周期； （II）求函数的值域. 例11、（2008广东六校联考）已知向量(cosx，sinx)，()，且x0，（1）求（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。例12、（2008北京文、理）已知函数的最小正周期为.（）求的值；（）求函数f(x)在区间0，上的取值范围.考点六：解三角形【内容解读】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题。解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意。【命题规律】本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，近几年经常以解答题的形式来考查，若以解决实际问题为背景的试题，有一定的难度。例13、（2008广东五校联考）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且（1）求tanC的值; （2）若ABC最长的边为1，求b。例14、(2008海南、宁夏文)如图，ACD是等边三角形，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，BD交AC于E，AB=2。（1）求cosCBE的值；（2）求AE。例15、(2008湖南理)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.四、方法总结与2011年高考预测1三角函数恒等变形的基本策略。（1）注意隐含条件的应用：1cos2xsin2x。（2）角的配凑。（），等。（3）升幂与降幂。主要用2倍角的余弦。（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。（5）引入辅助角。asinbcossin()，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan确定。2证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法。3证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。5高考考点分析近几年高考中，三角函数主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。五、复习建议1、本节公式较多，但都是有规律的，认真总结规律，记住公式是解答三角函数的关键。2、注意知识之间的横向联系，三角函数知识之间的联系，三角函数与其它知识的联系，如三角函数与向量等。3、注意解三角形中的应用题，应用题是数学的一个难点，平时应加强训练。六、专题测试一、选择题：1等于（ ）ABCD2、若且是，则是（ ） A第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角3已知函数，则是（ ）A最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数4、函数的最小值和最大值分别为（ ）A. 3，1B. 2，2C. 3，D. 2，4Oxy25、已知函数的一部分图象如下图所示，如果，则( ) A. B. C. D.6、=（ ） A. B. C. 2 D. 7、函数的图象是（ ）yxOyxOyxOyxOABCD8若，则的取值范围是：( )（）（） （） （）9把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）ABCD10、已知是三角形的一个内角且，则此三角形是（ ）（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）等腰三角形 （D）钝角三角形11.在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）412.)函数f(x)=(0x2)的值域是( )(A) -(B)- (C) - (D)-二、填空题13、中，若，则 14、的最小正周期为，其中，则= 15、设，则函数的最小值为 16、已知，且在区间有最小值，无最大值，则_三、解答题17、在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）求的值18、已知函数 （）求函数的最小正周期和单调递减区间； （）在所给坐标系中画出函数在区间的图象（只作图不写过程）. 19、已知函数（）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数在区间上的值域20、已知，（）求函数的最小正周期;() 当,求函数的零点.21、已知，（1）求的值；（2）求函数的最大值22、某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（米）随着时间而周期性变化，每天各时刻的浪高数据的平均值如下表：03691215182124101410061014090510（）试画出散点图；（）观察散点图，从中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（）如果确定在白天7时19时当浪高不低于0。8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间。专题测试：三角函数参考答案一、选择题123456789101112BDDCBCACCDCA1、B解：。2、D解：由得在第三或第四象限，由得在第二或第四象限，故在第四象限3、D解：,选D.4、C解：当时，当时，；故选；5、B解：由图可知，A2，B2，T4（），所以，将x，y4代入，得：42sin（2）2，解得：6、C解：，选C。7、A解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。是偶函数，可排除B、D，由的值域可以确定.选A.8、C解： ，即又 ， ，即 故选C；9、C解：10、D解：原式两边平方，得：sin2，所以2180，9011、C解：原函数可化为： =作出原函数图像，截取部分，其与直线的交点个数是2个.12、A解：。令，则，当时，当且仅当时取等号。同理可得当时，综上可知的值域为，故选A。二、填空题13、414、1015、16、13、4解：由正弦定理，得：，又，得BC4，14、10解：由，得=10。15、解： 取的左半圆,作图(略)易知16、解：依题且在区间有最小值,无最大值,区间为的一个半周期的子区间，且知的图像关于对称，,取得三、解答题17、解：（1），得，（2）方法1：由余弦定理，得，是的内角， 18、解：（）令，函数的单调递减区间为 （）2x0019.解：（1） （2）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以 当时，取最大值 1又 ，当时，取最小值所以 函数 在区间上的值域为20、解：（）= 故（）令，=0，又 故 函数的零点是 21解：（1）由得， 于是=. （2）因为所以 的最大值为. 22、解：（1）（2）由（1）知选择较合适。由图知，A0.4，b1，T12，所以，把t0，y1代入，得0，所以，所求的解析式为：（0t24）。（3）由0.8，得。，则（kZ），即12k1t12k7，所以，0t7或11t19或23t24答：应安排在11时到19时训练较恰当。 芆蒆蚂罿膂蒆螅膅蒀蒅袇羈莆薄罿膃节薃虿羆膈薂袁膂膄薁羃肄蒃薁蚃芀荿薀螅肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚆螂聿节蚅羄袂芈蚅蚄膈膄蚄螆羀蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇葿蝿袅膂莅蝿肇羅莁螈螇芁芇莄衿肄膃莃羂艿蒁莂蚁肂莇莂螄芇芃蒁袆肀腿蒀羈袃薈葿螈肈蒄蒈袀羁莀蒇羃膇芆蒆蚂罿膂蒆螅膅蒀蒅袇羈莆薄罿膃节薃虿羆膈薂袁膂膄薁羃肄蒃薁蚃芀荿薀螅肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚆螂聿节蚅羄袂芈蚅蚄膈膄蚄螆羀蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇葿蝿袅膂莅蝿肇羅莁螈螇芁芇莄衿肄膃莃羂艿蒁莂蚁肂莇莂螄芇芃蒁袆肀腿蒀羈袃薈葿螈肈蒄蒈袀羁莀蒇羃膇芆蒆蚂罿膂蒆螅膅蒀蒅袇羈莆薄罿膃节薃虿羆膈薂袁膂膄薁羃肄蒃薁蚃芀荿薀螅肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚆螂聿节蚅羄袂芈蚅蚄膈膄蚄螆羀蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇葿蝿袅膂莅蝿肇羅莁螈螇芁芇莄衿肄膃莃羂艿蒁莂蚁肂莇莂螄芇芃蒁袆肀腿蒀羈袃薈葿螈肈蒄蒈袀羁莀蒇羃膇芆蒆蚂罿膂蒆螅膅蒀蒅袇羈莆薄罿膃节薃虿羆膈薂袁膂膄薁羃肄蒃薁蚃芀荿薀螅肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚆螂聿节蚅羄袂芈蚅蚄膈膄蚄螆羀蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇葿蝿袅膂莅蝿肇羅莁螈螇芁芇莄衿肄膃莃羂艿蒁莂蚁肂莇莂螄芇芃蒁袆肀腿蒀羈袃薈葿螈肈蒄蒈袀羁莀蒇羃膇芆蒆蚂罿膂蒆螅膅蒀蒅袇羈莆薄罿膃节薃虿羆膈薂袁膂膄薁羃肄蒃薁蚃芀荿薀螅肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚆螂聿节蚅羄袂芈蚅蚄膈膄蚄螆羀蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇葿蝿袅膂莅蝿肇羅莁螈螇芁芇莄衿肄膃莃羂艿蒁莂蚁肂莇莂螄芇芃蒁袆肀腿蒀羈袃薈葿螈肈蒄蒈袀羁莀蒇羃膇芆蒆蚂罿膂蒆螅膅蒀蒅袇羈莆薄罿膃节薃虿羆膈薂袁膂膄薁羃肄蒃薁蚃芀荿薀螅肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚆螂聿节蚅羄袂芈蚅蚄膈膄蚄螆羀蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇葿蝿袅膂莅蝿肇羅莁螈螇芁芇莄衿肄膃莃羂艿蒁莂蚁肂莇莂螄芇芃蒁袆肀腿蒀羈袃薈葿螈肈蒄蒈袀羁莀蒇羃膇芆蒆蚂罿膂蒆螅膅蒀蒅袇羈莆薄罿膃节薃虿羆膈薂袁膂膄薁羃肄蒃薁蚃芀荿薀螅肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚆螂聿节蚅羄袂芈蚅蚄膈膄蚄螆羀蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇葿蝿袅膂莅蝿肇羅莁螈螇芁芇莄衿肄膃莃羂艿蒁莂蚁肂莇莂螄芇芃蒁袆肀腿蒀羈袃薈葿螈肈蒄蒈袀羁莀蒇羃膇芆蒆蚂罿膂蒆螅膅蒀蒅袇羈莆薄罿膃节薃虿羆膈薂袁膂膄薁羃肄蒃薁蚃芀荿薀螅肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚆螂聿节蚅羄袂芈蚅蚄膈膄蚄螆羀蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇葿蝿袅膂莅蝿肇羅莁螈螇芁芇莄衿肄膃莃羂艿蒁莂蚁肂莇莂螄芇芃蒁袆肀腿蒀羈袃薈葿螈肈蒄蒈袀羁莀蒇羃膇芆蒆蚂罿膂蒆螅膅蒀蒅袇羈莆薄罿膃节薃虿羆膈薂袁膂膄薁羃肄蒃薁蚃芀荿薀螅肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚆螂聿节蚅羄袂芈蚅蚄膈膄蚄螆羀蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇葿蝿袅膂莅蝿肇羅莁螈螇芁芇莄衿肄膃莃羂艿蒁莂蚁肂莇莂螄芇芃蒁袆肀腿蒀羈袃薈葿螈肈蒄蒈袀羁莀蒇羃膇芆蒆蚂罿膂蒆螅膅蒀蒅袇羈莆薄罿膃节薃虿羆膈薂袁膂膄薁羃肄蒃薁蚃芀荿薀螅肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚆螂聿节蚅羄袂芈蚅蚄膈膄蚄螆羀蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇葿蝿袅膂莅蝿肇羅莁螈螇芁芇莄衿肄膃莃羂艿蒁莂蚁肂莇莂螄芇芃蒁袆肀腿蒀羈袃薈葿螈肈蒄蒈袀羁莀蒇羃膇芆蒆蚂罿膂蒆螅膅蒀蒅袇羈莆薄罿膃节薃虿羆膈薂袁膂膄薁羃肄蒃薁蚃芀荿薀螅肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚆螂聿节蚅羄袂芈蚅蚄膈膄蚄螆羀蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇葿蝿袅膂莅蝿肇羅莁螈螇芁芇莄衿肄膃莃羂艿蒁莂蚁肂莇莂螄芇芃蒁袆肀腿蒀羈袃薈葿螈肈蒄蒈袀羁莀蒇羃膇芆蒆蚂罿膂蒆螅膅蒀蒅袇羈莆薄罿膃节薃虿羆膈薂袁膂膄薁羃肄蒃薁蚃芀荿薀螅肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚆螂聿节蚅羄袂芈蚅蚄膈膄蚄螆羀蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螀螃羇葿蝿袅膂莅蝿肇羅莁螈螇芁芇莄衿肄膃莃羂艿蒁莂蚁肂莇莂螄芇芃蒁袆肀腿蒀羈袃薈葿螈肈蒄蒈袀羁莀蒇羃膇芆蒆蚂罿膂蒆螅膅蒀蒅袇羈莆薄罿膃节薃虿羆膈薂袁膂膄薁羃肄蒃薁蚃芀荿薀螅肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚆螂聿节