高中数学第一章3平均值不等式学案选修.docx

3平均值不等式1掌握定理1和定理2及其证明，并能灵活应用2理解定理3和定理4及其证明，并能简单应用3会用相关定理解决简单的最大(最小)值问题1二元均值不等式(1)定理1：对任意实数a，b，有a2b2_(此式当且仅当ab时取“”号)(2)定理2：对任意两个正数a，b，有_(此式当且仅当ab 时取“”号)我们称_为正数a与b的算术平均值，_为正数a与b的几何平均值定理2可叙述为：两个正数的_不小于它们的_【做一做11】函数yx(x3)的最小值是()A5 B4 C3 D2【做一做12】“ab0”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2三元均值不等式及其推广(1)定理3：对任意三个正数a，b，c，有a3b3c3_(此式当且仅当abc时取“”号)(2)定理4：对任意三个正数a，b，c，有(此式当且仅当abc时取“”号)定理4可叙述为：三个正数的_不小于它们的_(3)n个正数的算术几何平均不等式：一般地，对n个正数a1，a2，an(n2)，我们把数值_，_分别称为这n个正数的算术平均值与几何平均值，且有_，此式当且仅当_时取“”号，即n个正数的算术平均值不小于它们的_【做一做2】设x，y，zR，且xyz1求证：36答案：1(1)2ab(2)算术平均值几何平均值【做一做11】A原式变形为yx33x3，x30，0y235当且仅当x3，即x4时等号成立【做一做12】A当ab0时，ab成立，当ab时，不能推出“ab0”，故选A2(1)3abc(2)算术平均值几何平均值(3)a1a2an几何平均值【做一做2】分析：本题需变式出现积为定值的情况，而条件中是和为定值xyz1，所以对所证不等式的左边需变形出现积为定值的情况证明：1414461236当且仅当，且xyz1，即x，y，z时取等号对定理1和定理2的理解剖析：(1)a2b22ab与成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数有些同学易忽略这一点，例如：(1)2(4)22(1)(4)成立，而不成立(2)这两个不等式都带有等号，应从两方面理解，“当且仅当时，取号”这句话：当ab时，取等号，其意义是ab；仅当ab时，取等号，其意义是ab综合起来，其意义是：ab是成立的充要条件(3)从这两个不等式我们可以得到如下结论：2(ab0)；(a0，b0)(4)式子中的a，b可以是数字，也可以是复杂的代数式题型一利用平均值不等式证明不等式【例1】若x0，y0，xy1，求证：9分析：本题是有条件的证明不等式问题，要巧用“xy1”来证明反思：利用平均值不等式证明不等式时，要注意把握平均值不等式的结构特点，以便灵活地用于解题，另外，式子的灵活变形，进行拆项、凑项，也是常用的方法题型二利用平均值不等式求最值【例2】设x0，y0，x21，求x的最大值分析：利用x21，将式子进行变形再利用定理进行求解反思：在解题过程中，要拼凑出和为定值，利用(a0，b0)来求解最大值【例3】求函数f(x)x(52x)2的最大值分析：对于x(52x)2无法直接利用平均值不等式求最值，可先拼凑出平均值不等式的形式后再求最值反思：利用abc3应注意不等式成立的条件在求最值时，除了注意“一正”、“二定”、“三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情况题型三利用平均值不等式解决实际问题【例4】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底面宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a m，高为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60 m2，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A，B孔的面积忽略不计)分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y由题意y与ab成反比，可设比例系数为k，则y又由于箱体材料多少的限制，a，b之间应有一定的关系式，即22b2ab2a60，因此该题的数学模型是：已知aba2b30，a0，b0，求a，b为何值时，y最小反思：(1)对于分母是一次式，分子是二次式的分式，可采用本题中的变形方法(2)本题的难度不在于建立数学模型，而在于建模后如何求函数的最值，这需要扎实的数学知识和灵活应用基本定理、公式解题的能力(3)可以说解应用题需要过两关：一关是如何对由文字给出的应用问题建立数学模型；另一关就是对于建模后的数学模型，如何用相关的数学知识将其解答出来题型四易错辨析【例5】设a，b，x，yR，且有a2b23，x2y26，求axby的最大值错解：ax，by，axby(a2b2x2y2)，axby的最大值为错因分析：错解中不等式取等号的条件是当且仅当xa，yb，由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值反思：在利用平均值不等式进行证明或求解时，一定要注意等号取得的条件是否满足，即“一正、二定、三相等”的原则答案：【例1】证明：证法一：左边11119右边当且仅当xy时，等号成立证法二：左边52549右边当且仅当xy时，等号成立证法三：利用三角函数来证明令xcos2，ysin2，0左边111189右边当02，且，即xy时取等号【例2】解：x0，y0，x21，x当且仅当x，y时，x取得最大值【例3】解：f(x)4x(52x)(52x)3当且仅当4x52x，即x时，等号成立当x时，函数f(x)x(52x)2有最大值【例4】解：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意，得y，其中k为比例系数(k0)根据题意，得22b2ab2a60(a0，b0)b(由a0，b0，可得0a30)y令ta2，则at2从而34，y当且仅当t，即a2时，取“”号，a6由a6，可得b3综上所述，当a6，b3时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小【例5】正解：a2y2b2x22aybx，(a2b2)(x2y2)(axby)2，当且仅当aybx时取等号axby3，当且仅当axby且a2b23且x2y26时，等号成立1下列结论正确的是()A当x0且x1时，lg x2B当x0时，2C当x2时，x的最小值为2D当0x2时，x无最大值2已知a，b，cR，且abc1，则与9的大小关系是()A9 B9C9 D不确定3若x，y是正数，则22的最小值是_4设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面的宽与高的比为(1)，画面的上、下各留8 cm的空白，左、右各留5 cm的空白怎样确定画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张面积最小？答案：1B在选项A中，0x1时，lg x0不成立；选项C中，等号取不到；选项D中，x为增函数，当x2时取得最大值2A332229当且仅当abc时取等号34原式x2y2x0，y0