高中数学 第二章 空间向量与立体几何 1 从平面向量到空间向量课件 北师大版选修21.ppt

第二章空间向量与立体几何 1从平面向量到空间向量 学习目标1 理解空间向量的概念 2 了解空间向量的表示法 了解自由向量的概念 3 理解空间向量的夹角 4 理解直线的方向向量与平面的法向量的概念 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一空间向量的概念 类比平面向量的概念 给出空间向量的概念 在空间中 把具有大小和方向的量叫作空间向量 答案 若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同 则终点也一定相同吗 一定相同 因为相等向量的方向相同 长度相等 所以表示相等向量的有向线段的起点相同 终点也相同 答案 思考2 梳理 空间向量的有关概念 1 定义 在空间中 把既有又有的量 叫作空间向量 2 长度 空间向量的大小叫作向量的或 3 表示法 4 自由向量 与向量的起点无关的向量 大小 方向 长度 模 有向线段 知识点二空间向量的夹角 思考 在平面内 若非零向量a与b共线 则它们的夹角是多少 0或 答案 梳理 间向量的夹角 1 文字叙述 a b是空间中两个非零向量 过空间任意一点o 作 a b 则叫作向量a与向量b的夹角 记作 2 图形表示 aob a b 0 锐角 直角 钝角 3 范围 a b 4 空间向量的垂直 如果 a b 那么称a与b互相垂直 记作 0 a b 知识点三向量与直线 平面 1 向量与直线与平面向量一样 也可用空间向量描述空间直线的方向 如图所示 l是空间一直线 a b是直线l上任意两点 则称为直线l的向量 显然 与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量 直线的方向向量于该直线 方向 平行 2 向量与平面如图 如果直线l垂直于平面 那么把直线l的方向向量a叫作平面 的 法向量 题型探究 类型一有关空间向量的概念的理解 例1给出以下结论 两个空间向量相等 则它们的起点和终点分别相同 若空间向量a b满足 a b 则a b 在正方体abcd a1b1c1d1中 必有 若空间向量m n p满足m n n p 则m p 其中不正确的个数是a 1b 2c 3d 4 答案 解析 两个空间向量相等 它们的起点 终点不一定相同 故 不正确 若空间向量a b满足 a b 则不一定能判断出a b 故 不正确 显然正确 故选b 在空间中 向量 向量的模 相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致 两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同 模相等 两向量互为相反向量的充要条件是大小相等 方向相反 反思与感悟 答案 解析 a 1b 2c 3d 4 2 如图 在长方体abcd a b c d 中 ab 3 ad 2 aa 1 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中 单位向量共有多少个 解答 试写出模为的所有向量 解答 试写出与向量相等的所有向量 解答 试写出向量的所有相反向量 解答 类型二求空间向量的夹角 例2如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求下列各对向量的夹角 解答 解答 解答 引申探究 解答 如图 连接b1c 则b1c a1d 在 acb1中 因为ac ab1 b1c 求解空间向量的夹角 要充分利用原几何图形的性质 把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角 要注意向量方向 反思与感悟 跟踪训练2 答案 解析 取ab的中点o 连接oc od 易得oc ab od ab 故ab 平面ocd 又cd 平面ocd 所以ab cd 类型三直线的方向向量与平面法向量的理解 例3已知正四面体a bcd 1 过点a作出方向向量为的空间直线 解答 如图 过点a作直线ae bc 由直线的方向向量的定义可知 直线ae即为过点a且方向向量为的空间直线 2 过点a作出平面bcd的一个法向量 解答 如图 取 bcd的中心o 由正四面体的性质可知 ao垂直于平面bcd 故向量可作为平面bcd的一个法向量 直线的方向向量有无数个 但一定为非零向量 平面的法向量也有无数个 它们互相平行 给定空间中任意一点a和非零向量a 可以确定 1 唯一一条过点a且平行于向量a的直线 2 唯一一个过点a且垂直于向量a的平面 反思与感悟 跟踪训练3如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 p是dd1的中点 以c1为起点 指出直线ap的一个方向向量 解答 取bb1中点q c1c中点m 连接c1q bm pm 则pm綊dc綊ab 所以四边形apmb为平行四边形 所以ap綊bm 又在四边形bqc1m中 bq綊c1m 所以四边形bqc1m为平行四边形 所以bm綊c1q 当堂训练 2 3 4 5 1 1 下列命题中 正确的是a 若 a b 则a与b共线b 若 a b 则a bc 若a b 则 a b d 若a b 则a与b不共线 模相等 方向不确定 向量不一定共线 故a错误 向量不能比较大小 故b错误 向量不相等 但方向可以相同或相反 所以不相等的向量可以共线 故d错误 因此c正确 答案 解析 2 3 4 5 1 2 以长方体abcd a1b1c1d1的任意两个顶点为起点和终点的向量中 能作为直线bb1的方向向量的个数为a 8b 7c 6d 5 答案 解析 2 3 4 5 1 3 若把空间中所有单位向量的起点放置于同一点 则这些向量的终点构成的图形为 这些向量的终点到起点的距离均为1 且起点相同 故终点构成的图形是球面 答案 解析 球面 2 3 4 5 1 4 在长方体中 从同一顶点出发的三条棱的长分别为1 2 3 在分别以长方体的任意两个顶点为起点和终点的向量中 模为1的向量个数为 研究长方体的模型可知 所有顶点两两相连得到的线段中 长度为1的线段只有4条 故模为1的向量有8个 答案 解析 8 2 3 4 5 1 5 在直三棱柱abc a1b1c1中 以下向量可以作为平面abc