高等数学武大社教案01第一章函数.docx

第一章 函数一、教学目标1.熟悉函数的基本性质、 反函数、基本初等函数；2.掌握函数的性质、复合函数、初等函数。二、课时分配本章节共4个小节，共安排8个学时.三、教学重点1.函数的性质；2.反函数的相关知识.四、教学难点初等函数的基本概念.五、教学内容第一节 函数的基本概念一、函数的定义定义设D是由数组成的集合.如果对于每个数xD，变量y按照一定的法则f总有唯一确定的数值和它对应，那么将对应法则f称为在D上x到y的一个函数，记作y=f（x），x称为自变量,y称为因变量，D称为函数的定义域.当x取x0D时，与x0对应的y的数值称为函数在点x0处的函数值，记作f（x0）.当x取遍D中的一切数时，对应的函数值集合M=y|y=f（x），xD称为函数的值域.在函数的定义中，对每一个xD，只能有唯一的一个y值与它对应，这种定义的函数称为单值函数.二、函数的表示法1.表格法表格法是将自变量的值与对应的函数值列成表格表示两个变量的函数关系的方法.2.图像法图像法是用图像表示两个变量的函数关系的方法.【例1】设fx=1-x,x03,0x1ln2x-1,x1求f-3,f13,f1,f1+h【解】f-3=1-(-3)=4=2f13=3f1=ln21-1=ln1=0f1+h=1-(1+h),1+h03,01+h1ln21+h-1,1+h1=-h,h-13,-1h0ln1+2h,h03.解析法解析法是用一个等式表示两个变量的函数关系的方法.（1）分段函数.在定义域的不同范围内用不同的解析式表示的函数称为分段函数.例如函数f (x )=sgnx=-1,x0及gx=-1,-1x1都是分段函数.分段函数仍然是一个函数，而不是几个函数.（2）隐函数.如果自变量与因变量的对应关系是用一个方程F（x，y）=0确定的，则这种函数称为隐函数.（3）参数方程所确定的函数.在许多实际问题中，变量x与y之间的函数关系还可以用含某一参数的方程组来确定.三、函数的定义域在实际问题中，函数的定义域要根据问题的实际意义确定当不考虑函数的实际意义，而仅就抽象的解析式来研究函数时，这时定义域就取使解析式有意义的自变量的全体.要使解析式有意义，我们通常考虑以下几点：（1）分式的分母不能为零；（2）偶次根式的被开方数必须为非负数；（3）对数式中的真数必须大于零；（4）幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数要考虑各自的定义域；（5）若函数表达式由几个数学式子组成，则其定义域应取各部分定义域的交集；（6）分段函数的定义域是各个定义区间的并集【例2】求下列函数的定义域：(1)y=1x2+2x+1(2) y=4-x2+1x2-1(3) y=logx+12(4) y=x,0x1x+1,x1【解】(1) 若使函数有意义，则x2+2x+10，即(x+1)20，即x-1.所以函数的定义域为(-，-1)(-1，+).(2) 若使函数有意义，则4-x20x2-10，即-2x2x1或x-1，解得1x2或-2x-1.所以函数的定义域为-2，-1)(1，2.(3) 若使函数有意义，则x+120，即x-1.所以函数的定义域为(-1，+).(4) y=x,0x1x+1,x1是分段函数.若使函数有意义，则将分段表达式的定义域合在一起，即可得该分段函数的定义域.所以函数的定义域为0，+）.第二节 函数的性质一、奇偶性定义设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意的xD,f（-x）=-f（x），那么f（x）为奇函数；如果对于任意的xD，f（-x）=f（x），那么f（x）为偶函数.否则f（x）为非奇非偶函数.二、单调性定义若对于区间D内任意的两点x1，x2，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），那么f（x）在区间D上单调增加，称f（x）为D上的单调递增函数，区间D称为f（x）的单调增区间；特别地，若成立严格不等式f（x1）f（x2），称f（x）为D上的严格减函数.三、有界性对任意xX都成立，则称函数f（x）在X上有上界，K1称为函数f（x）在X上的一个上界（任何大于K1的数也是f（x）在X上的上界）；如果存在数K2，使得f（x）K2对任意xX都成立，则称函数f（x）在X上有下界，K2称为函数f（x）在X上的一个下界（任何小于K2的数也是f（x）在X上的下界）；如果存在正数M，使得|f（x）|M对任意xX都成立，则称函数f（x）在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f（x）在X上无界.这就是说，如果对于任何正数M,总存在x1X，使|f（x1）|M，那么函数f（x）在X上无界.【例3】 就函数f(x)=sinx在(-，+)内来说，数1是它的一个上界，数-1是它的一个下界(当然，大于1的任何数也是它的上界，小于-1的任何数也是它的下界).又|sinx|1对任一实数x都成立，故函数f(x)=sinx在(-，+)内是有界的.这里M=1(当然也可取大于1的任何数作为M，而使|f(x)|M成立).四、周期性定义设函数f（x）的定义域为D.对于任意的xD，如果存在不为零的数T，使得f（x+T）=f（x），那么f（x）为D上的周期函数.T称为f（x）的一个周期，并且nT（n为非零整数）也是它的周期.通常，我们把函数的最小正周期称为函数的周期.【例4】函数y=sinx和y=cosx都是以2为周期的周期函数.y=sinx和y=cosx的图像分别如图1-8和图1-9所示.第三节 反函数定义在函数的定义中，按关系式y=f(x),xA,yB x是自变量，y是因变量（函数）.在关系式y=f（x）中，如果反过来，将y看成自变量，x看成因变量（函数），即对每一个yB，按y=f（x）都有唯一确定的x值与之对应，则称x是y的反函数.在求反函数的表达式时，可将关系式y=f（x）看成一个方程式，从中将x解出，写作x=(y),yB这就是反函数的表达式.习惯上自变量的记号取作x，故将式中x，y记号对换（对应关系不变），得y=(x),xB它仍是y=f（x）的反函数.若将记为f-1，则式可写为y=f-1x,xB【例】求下列函数的反函数y=f-1(x)：(1) y=f(x)=ex+3；(2) y=f(x)=x+1x-1；(3) y=f(x)=ex-e-x2【解】(1) 从y=ex+3中解出x.取自然对数得lny=x+3，解得x=lny-3，再将x与y对换，得所求反函数为y=f-1x=lnx-3 (2) 从y=x+1x-1中解出x.由(x-1)y=x+1，整理后得x(y-1)=1+y，解出x=y+1y-1，将x与y对换，得所求反函数为y=f-1x=x+1x-1这里，反函数y=f-1x就是函数y=f(x)本身.(3) 从y=ex-e-x2中解出x，由于y=ex-e-x2=e2x-12ex，即(ex)2-2yex-1=0解得ex=yy2+1，因ex0，故舍去负号，即得x=ln(y+y2+1)，将x与y对换，得所求反函数为y=f-1x=ln(x+x2+1)第四节 初等函数一、基本初等函数我们把常数函数y=c（c为常数）、幂函数y=xa（为实数）、指数函数y=ax（a0，a1，a为常数）、对数函数y=logax（a0，a1，a为常数）、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.二、复合函数定义若函数y=f（u）,u=g（x）,且u=g（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定义域中,则变量y通过变量u与变量x建立了对应关系,这个对应关系称为y是x的复合函数,u是中间变量,x是自变量,通常将y=f (u),u=g(x)合并写成y=fg(x)【例1】指出下列函数的复合过程:(1) y=cos2x;(2) y=x2+2x【解】(1) y=cos2x是由y=u2,u=cosx复合而成的；(2) y=x2+2x是由y=u,u=x2+2x复合而成的.三、初等函数定义基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）经过有限