借因式分解求值.doc

借因式分解求值湖北省黄石市下陆中学周国强因式分解用处多多。其中，某些求值问题亦可借助因式分解来解决，现举几例，以求抛砖引玉。一、.求算式的值 例1 计算：10035012006 简析：因为2006=1003 2，5012=1002，所以运用提公因式法进行因式分解，可简化运算。解：原式=100350121003=1003（10031002）=1003。 例2 计算：1012029998 简析：因为首项是101，第二项中的202=2101，第三项中的9998=99991， 所以考虑用完全平方公式分解因式，可简化运算。 解：原式=1012101（99991）=（1011）9999=1009999=1。 二、求代数式的值 例3 当m=5时，求m34m+225的值 简析：直接代入计算较麻烦，可先考虑用十字相乘法将所求的式子因式分解，再代入 计算。 解：m34m+225=（m9）（m25）=（m+3）（m3）（m+5）（m 5）， 当m=5时，原式= 0。例4 已知a+a +1=0,求a+2a+5a+4a的值 。 简析：显然，解出a的值后，再代入计算是不可取的。若先把所求式子进行因式分解， 然后整体代入求值，则事半功倍。解：a+2a+5a+4a=（a+a）+4（a+a）=（a+a）（a+a+4），当a+a = 1时，原式=1（1+4）=3。 三、求待定系数的值 例5 二次多项式x+2mx3 m能被x1整除，求 m的值。 简析：二次多项式x+2mx3 m能被x1整除，即x+2mx3 m中含有因式 x1。若x+2mx3 m能分解为两个关于x的一次式的积，则问题迎刃而解。 解：x+2mx3 m（x+3m）(xm), 又x+2mx3 m能被x1整除， x+3mx1或xm= x1， m=或1. 例6. k为何值时，方程（k1）x(2k+3)x+(k+4)=0(k1)的两根平方差为15？ 简析：先将方程左边进行因式分解，进而求出两根，依题意可构造关于k的方程来解。 解：将原方程左边因式分解，变形为 （k1）x(k+4)（1）=0 ，。 =15, 3 k8 k=0或3 k4 k+6=0(无解) 由3 k8 k=0得k=0或k=。故当k=0或k=时，方程两根的平方差为15.四、求函数的最值： 例7. 已知为实数，求函数y=（x4）（x1 0 x+21）100的最值。 简析：同学们会求二次函数的最值，而本题中的函数不是二次函数，能否求出它的最值呢？由于本题中的函数较特殊，我们不妨用因式分解法试试。解：（x4）（x1 0 x+21）100 =（x+2）（x2）（x3）（x7）100 =（x5x14）（x5x+6）100 =（x5x）8（x5x）+16 =（x5x+4）0 无论x取何值，函数y总有最大值0。例8.已知：关于x的方程x2 x k=0有实数根，且y=+x，函数y有最值吗？若有，试求出其值，若没有，请说明理由。 简析：借助因式分解不难求出y关于k的函数，再看此函数有无最值。解：+x=（+）（+）3 又+=2，=k +x=2（43k）=86k 依题意，有24k0，k1， 即y=86k 这是y关于k的一次