等比数列的前n项求和解题思路.doc

25等比数列的前n项和等比数列前n项和公式的基本运算【例1】 在等比数列an中，(1)S230，S3155，求Sn；(2)a1a310，a4a6，求S5；(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求q.解：(1)由题意知，解得或，从而Sn5n1或Sn.(2)法一：由题意知，解得，从而S5.法二：由(a1a3)q3a4a6，得q3，从而q.又a1a3a1(1q2)10，所以a18，从而S5.(3)因为a2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280的两根从而或又Sn126，解得q2或q，所以q为2或.变式训练11：数列an为等比数列，各项均大于0，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，试求此数列的首项a1和公比q.解：S2n2Sn，q1.依题意，得得，qn81，q1，故前n项中an最大ana1qn154，8154.将qn81代入得a1q1.联立解得等比数列前n项和性质的应用【例2】 已知等比数列an中，前10项和S1010，前20项和S2030，求S30.思路点拨：法一：法二：解：法一：设公比为q，则得1q103，q102，S30(1q10q20)10(124)70.法二：S10，S20S10，S30S20仍成等比数列，又S1010，S2030，S30S20S3030，即S3070. 等比数列前n项和的常用性质(1) 项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，(2) 公比为q.若共有2n项，则q；若共有2n1项，则S奇S偶(q1且q1)(2)“片断和”性质：等比数列an中，公比为q，前m项和为Sm(Sm0)，则Sm，S2mSm，S3mS2m，SkmS(k1)m，构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列变式训练21：等比数列an中，若S27，S691，求S4. 解：法一：S27，S691，易知q1，由知91，q4q2120，q23，S4a1(1q)(1q2)7(13)28.S428.法二：an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列，即7，S47,91S4成等比数列，(S47)27(91S4)解得S428或21.S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)S2，S428.错位相减求和问题【例3】 求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和思路点拨：分析通项公式的结构特征，一个因式2n1，另一个因式an1，联想推导等比数列前n项公式的方法，即错位相减法求和解：当a1时，数列变为1,3,5,7，(2n1)则Snn2，当a1时，有Sn13a5a27a3(2n1)an1aSna3a25a37a4(2n1)an得：SnaSn12a2a22a32an1(2n1)an(1a)Sn1(2n1)an2(aa2a3a4an1)1(2n1)an21(2n1)an又1a0，Sn.当a1时，Snn2当a1时，Sn (1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用这一思路和方法要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比是负数的情形更值得注意(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准备写出“SnqSn”的表达式(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查变式训练31：求12x23x410x18的和解：当x1时，数列变为1,2,3,4，10，所以S1055，当x1时，S1012x23x410x18，x2S10x22x43x69x1810x20，(1x2)S101x2x4x1810x20110x20(x2x4x18)110x20又x21，S10.综上可得，当x1时，S10，当x1时，S1055.等比数列前n项和的实际应用【例4】 某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年取出本利共多少元(结果保留到个位)?思路点拨：解答本题可先建立数学模型用数列知识求解后再回解：为了便于思考一年内每月的存款的本金和利息的和按月分开算第一年内的本息和可分为：第一个月：5(10.2%)11，第二个月：5(10.2%)10，第十二个月：5.那么，第一年的本息和为5(10.2%)115(10.2%)1055.于是三年后取出时第一年所存钱的本息和为5(16%)2.同理第二年所存钱在最后取时本息和为5(16%)第三年所存钱在年底取出时的本息和为5.每月存5元，月利为0.2%，年利为6%，三年后取出的本息和为5(16%)25(16%)55193(元)三年后取出的本利共193元 (1)“零存整取”的计算“零存整取”是单利计算，属于等差数列求和问题其本利和为SP(1nr)，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，简称本利和(2)“定期自动转存”的计算“定期自动转存”是复利计算，属于等比数列求通项问题，到期后的本利和为SP(1r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和注意复利计算是求等比数列的第n项，而不是求和(3)应用数列知识解决实际问题的步骤根据实际问题提取数据；建立数据关系，对提取的数据进行分析、归纳，建立数列的通项公式或递推关系；检验关系是否符合实际，符合实际可以使用，不符合要修改关系；利用合理的结论对实际问题展开讨论变式训练41：从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第1年)总投入Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn、Tn的表达式；(2)第几年旅游业的总收入才能首次超过总投入？ 解：(1)第1年投入800万元，第2年投入800(1)万元，第n年投入800(1)n1万元所以，n年内的总投入Sn800800(1)800(1)n140001()n第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400(1)万元，第n年旅游业收入为400(1)n1万元所以，n年内的总收入Tn400400(1)400(1)n11600()n1(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，因此TnSn0，即1600()n140001()n0，化简得5()n