2[1].2估计量的评选标准.doc

2 估计量的评选标准问题：用不同的方法求出的同一参数的估计量可能不同，哪个估计量更好？怎样衡量？2.1 无偏估计引例：有一大批产品，废品率为未知，现任取件产品进行检验，获取子样观测值，构造统计量来估计未知参数.如果，则不利于产品卖方；如果，则不利于产品买方。事实上，的值随每次抽样结果而变，因此自然希望抽样检验长期进行的话，在平均意义下能有一个不偏不倚的结果，即.这就是估计量的无偏性要求。 定义：设是未知参数的估计量，若，则称是的无偏估计(unbiased estimator)，简记为UE；若，则称是的有偏估计(biased estimator)；若，则称是的渐近无偏估计(asymptotic unbiased estimator).例2.2.1 是来自母体的一个子样，证明：是的无偏估计，但子样方差不是的无偏估计。证明：，故是的无偏估计；故不是的无偏估计，但由于故是的渐近无偏估计.为得的无偏估计，对进行修正（称为纠偏），令：则. 即是的无偏估计，此即修正样本方差. 例2.2.2 设母体，则是的无偏估计.例2.2.3 是来自母体的一个子样，证明： 是的无偏估计。证明： ，故即：是的无偏估计。 证毕.例2.2.4 ，的矩估计量 ，的最大似然估计，它们是的无偏估计吗？解：，故是的无偏估计.是来自母体的一个子样，故 （1）代入（1）式得：.不是的无偏估计，只是一个渐近无偏估计.说明：对进行纠偏，令：，则，即为的无偏估计。同一参数的无偏估计并不唯一。如何再进一步判别各无偏估计量的好坏？2.2 优效估计（1）有效性定义：设都是的无偏估计，若对于任意子样容量n有，则称比有效(efficiency)。例2.2.5 在上例中 ，的两个无偏估计与哪个更有效？解： 其中，故更有效.例2.2.6 是来自母体的一个子样，未知，记，证明：都是的无偏估计，其中最有效。证明: 故：都是的无偏估计， ， 即：中最有效。 证毕（2）最小方差无偏估计定义：若的一切具有二阶矩的无偏估计中，满足：对的任意无偏估计，都有，则称是的最小方差无偏估计(minimum variance unbiased estimator)。用定义判定一个估计量是否最小方差无偏估计一般较难，下面讨论无偏估计量的方差的下界。（3）罗-克拉美（R-C）不等式对于连续母体情形，有定理：设是实数轴上的一个开区间，是母体的一个分布密度函数族，是来自母体的子样，是未知参数的无偏估计，如果母体及满足正则条件：()集合：与无关；()存在,且对中的一切有：，及 其中；()则有不等式此不等式称为R-C不等式，称为R-C下界.例如：指数分布的母体满足条件()，而均匀分布的母体不满足.对于离散母体情形，类似条件下有其中.有关计算中，有时用到如下等式：对连续型母体，对离散型母体，（4）优效估计定义: 若的无偏估计的方差达到R-C下界, 即，则称是的优效估计(optimal efficient estimator)； 若的无偏估计为, 则称为的(有)效率(efficiency), 显然，优效估计的(有)效率为1）； 若的无偏估计满足：, 则称是的渐近优效估计(asymptotic optimal efficient estimator).例2.2.7 , 问是否为未知参数的优效估计？解:，故是的无偏估计.求R-C下界母体分布律为 ，故即：是的优效估计.例2.2.8 设母体的分布密度为, 问是否为未知参数的优效估计？解:，故是的无偏估计.求R-C下界即：是的优效估计.例2.2.9 , 问是否分别为的优效估计？解: （）对于，故是的无偏估计. .求R-C下界母体分布密度为，故 （1）由（1）得：， 故即：是的优效估计.（）对于 ，故是的无偏估计. ，.求R-C下界由（1）式知： （2）从而 ，故不是的优效估计.但，故是的渐近优效估计.注：事实上可以证明，已经是的最小方差无偏估计, 这说明的优效估计不存在.在满足正则条件的估计量族范围内，优效估计是最小方差无偏估计.2.3 相合估计事实上，与子样容量有关， 对于估计量的无偏性、有效性的讨论都是在取定的情形下进行的。而当时，形成一个随机变量序列，自然希望依概率收敛于待估参数本身。（1）定义: 若当时, , 则称是的相合估计(consistent estimator，或称为一致估计). 这样，充分大时（即对于大子样），与充分接近几乎是必然的，从而可以用一次抽样所得的去估计.（2）结论：，分别是的相合估计.也是的相合估计.证明: Ch11已证: 时，, 故：， 分别是的相合估计.因为, 数列，由依概率收