高中数学 第一章 导数及其应用章末复习课件 新人教A版选修22.ppt

章末复习 第一章导数及其应用 学习目标 1 理解导数的几何意义 并能解决有关切线的问题 2 能熟练应用求导公式及运算法则 3 掌握利用导数研究函数的单调性 极值与最值 并能应用其解决一些实际问题 4 了解定积分的概念及其简单的应用 知识梳理 达标检测 题型探究 内容索引 知识梳理 2 几何意义 函数y f x 在x x0处的导数是函数图象在点 x0 f x0 处的切线的斜率 表示为 其切线方程为 f x0 y f x0 f x0 x x0 1 导数的概念 2 基本初等函数的导数公式 1 c 0 2 x 3 ax a 0 4 ex 6 lnx 7 sinx 8 cosx x 1 axlna ex cosx sinx 3 导数的运算法则 1 f x g x 2 f x g x f x g x f x g x f x g x 4 复合函数的求导法则 1 复合函数记法 y f g x 2 中间变量代换 y f u u g x 3 逐层求导法则 yx yu ux 5 函数的单调性 极值与导数 1 函数的单调性与导数在某个区间 a b 内 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 2 函数的极值与导数 极大值 在点x a附近 满足f a f x 当xa时 则点a叫做函数的极大值点 f a 叫做函数的极大值 极小值 在点x a附近 满足f a f x 当xa时 则点a叫做函数的极小值点 f a 叫做函数的极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 3 求函数f x 在闭区间 a b 上的最值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的极值 将函数y f x 的与处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个就是 最小的一个就是 极值端点 最大值最小值 f b f a 1 f x0 是函数y f x 在x x0附近的平均变化率 2 函数f x sin x 的导数是f x cosx 思考辨析判断正误 题型探究 类型一导数几何意义的应用 解答 例1设函数f x x3 ax2 9x 1 a 0 直线l是曲线y f x 的一条切线 当l的斜率最小时 直线l与直线10 x y 6平行 1 求a的值 解f x x2 2ax 9 x a 2 a2 9 f x min a2 9 由题意知 a2 9 10 a 1或 1 舍去 故a 1 解答 2 求f x 在x 3处的切线方程 解由 1 得a 1 f x x2 2x 9 则k f 3 6 f 3 10 f x 在x 3处的切线方程为y 10 6 x 3 即6x y 28 0 跟踪训练1直线y kx b与曲线y x3 ax 1相切于点 2 3 则b 解析由题意知f 2 3 则a 3 f x x3 3x 1 f x 3x2 3 f 2 3 22 3 9 k 又点 2 3 在直线y 9x b上 b 3 9 2 15 答案 解析 15 例2设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 类型二函数的单调性 极值 最值问题 解答 解由f x ex 2x 2a x r 知f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 eln2 2ln2 2a 2 1 ln2 a 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 证明 证明设g x ex x2 2ax 1 x r 于是g x ex 2x 2a x r 由 1 知当a ln2 1时 g x 取最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x r 都有g x 0 所以g x 在r内单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 反思与感悟本类题考查导数的运算 利用导数研究函数的单调性 求函数的极值和证明不等式 考查运算能力 分析问题 解决问题的能力 跟踪训练2已知函数f x xlnx 1 求f x 的最小值 解答 解f x 的定义域是 0 f x 1 lnx 2 若对所有x 1都有f x ax 1 求实数a的取值范围 解答 解 f x xlnx 当x 1时 f x ax 1恒成立 等价于xlnx ax 1 x 1 恒成立 当x 1时 g x 0 g x 在 1 上单调递增 g x min g 1 1 a 1 即实数a的取值范围为 1 3 若关于x的方程f x b恰有两个不相等的实数根 求实数b的取值范围 解答 解若关于x的方程f x b恰有两个不相等的实数根 即y b和y f x 在 0 上有两个不同的交点 类型三定积分及其应用 解答 反思与感悟由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 1 画出函数的图象 明确平面图形的形状 2 通过解方程组 求出曲线交点的坐标 3 确定积分区间与被积函数 转化为定积分计算 4 对于复杂的平面图形 常常通过 割补法 来求各部分的面积之和 跟踪训练3如图所示 直线y kx将抛物线y x x2与x轴所围图形的面积分为相等的两部分 求k的值 解答 解抛物线y x x2与x轴的两交点的横坐标分别为x1 0 x2 1 所以抛物线与x轴所围图形的面积s 抛物线y x x2与y kx两交点的横坐标分别为x1 0 x2 1 k 达标检测 1 如图 y f x 是可导函数 直线l y kx 2是曲线y f x 在x 3处的切线 令g x xf x g x 是g x 的导函数 则g 3 等于a 1b 0c 2d 4 解析 直线l y kx 2是曲线y f x 在x 3处的切线 f 3 1 g x xf x g x f x xf x 1 2 3 4 5 答案 解析 解析 1 2 3 4 5 答案 a 有最大值0 无最小值 d 既无最大值也无最小值 1 2 3 4 5 当f x 0时 x 4或x 0 当f x 0时 0 x 4 f x 在 0 4 上单调递减 在 1 0 和 4 5 上单调递增 1 2 3 4 5 解析 答案 解析不妨取a 1 又d 0 f x x3 bx2 cx f x 3x2 2bx c 由题图可知f 2 0 f 3 0 12 4b c 0 27 6b c 0 1 2 3 4 5 答案 解析 4 体积为16 的圆柱 当它的半径为时 圆柱的表面积最小 1 2 3 4 5 2 解析设圆柱底面半径为r 母线长为l 当r 2时 圆柱的表面积最小 解答 1 2 3 4 5 令f x 0 得x 1 令f x 0 得0 x 1或x 0 y f x 的单调递增区间是 1 单调递减区间是 0 0 1 令g x 0 解得x 2或x 0 舍去 当x 0 2 时 g x 0 g x 在 0 2 上单调递减 在 2 上单调递增 解答 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 3 试判断方程f x mx 0 m r且m为常数 的根的个数 1 2 3 4 5 结合 2 可得函数g x 在区间 0 2 上单调递减 在 0 2 上单调递增 原问题转化为y m与y g x 的交点个数 其图象如图 1 2 3 4 5 当m 0时 方程f x mx 0 m r且m为常数 的根的个数为0 1 利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y y0 f x0 x x0 明确 过点p x0 y0 的曲线y f x 的切线方程 与 在点p x0 y0 处的曲