高中数学 第四章 用数学归纳法证明不等式4本讲整合课件 新人教A版选修45.ppt

本讲整合 答案 证明整除问题 证明几何问题 伯努利不等式 专题一 专题二 专题一 对数学归纳法原理及步骤的理解1 数学归纳法的证明过程共有两步 缺一不可 其中 第一步是奠基 第二步是假设与递推 2 第一步是证明n取第一个可取值时命题成立 但不一定就是n 1 3 第二步证明过程中 必须用上归纳假设 否则就不是用数学归纳法证明 专题一 专题二 例1用数学归纳法证明 对于任意x 0的实数 以及正整数n 都有xn xn 2 xn 4 n 1 时 需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为 a n0 1b n0 2c n0 1 2d 以上答案均不正确分析 根据n的取值条件以及不等式是否成立进行确定 解析 由于n n 则n的最小值为n0 1 答案 a 专题一 专题二 变式训练1某个命题与正整数有关 如果当n k时 该命题不成立 那么可推得当n k 1时命题也不成立 现在当n 5时 该命题成立 那么可推得 a 当n 6时该命题不成立b 当n 6时该命题成立c 当n 4时该命题不成立d 当n 4时该命题成立解析 依题意当n 4时该命题不成立 则当n 5时 该命题也不成立 而当n 5时 该命题成立却无法判断n 6时该命题是不是成立 故选d 答案 d 专题一 专题二 专题二 数学归纳法的应用分析 注意到这是与正整数n有关的命题 可考虑用数学归纳法证明 专题一 专题二 专题一 专题二 变式训练2求证 2n 2 n2 n n 证明 1 当n 1时 左边 21 2 4 右边 1 左边 右边 当n 2时 左边 22 2 6 右边 22 4 所以左边 右边 当n 3时 左边 23 2 10 右边 32 9 所以左边 右边 因此当n 1 2 3时 不等式成立 2 假设当n k k 3 时不等式成立 即2k 2 k2 当n k 1时 2k 1 2 2 2k 2 2 2k 2 2 2k2 2 k2 2k 1 k2 2k 3 k2 2k 1 k 1 k 3 k2 2k 1 k 1 2 所以2k 1 2 k 1 2 故当n k 1时 不等式成立 由 1 2 可知 不等式2n 2 n2对于任何n n 都成立 专题一 专题二 例3已知y f x 满足f n 1 f n lgan 1 n 2 n n 且f 1 lga 是否存在实数 使f n n2 n 1 lga 对任意n n 都成立 证明你的结论 分析 可先根据f 1 f 2 的值 建立关于 的方程组 求得 的值 然后再利用数学归纳法证明结论 解 由已知得f n f n 1 lgan 1 令n 2 f 2 f 1 lga lga lga 0 又f 1 1 lga 专题一 专题二 专题一 专题二 变式训练3设pn 1 x n qn 1 nx x2 n n x 1 试比较pn与qn的大小 并加以证明 解 1 当n 1 2时 pn qn 2 当n 3时 若x 0 显然有pn qn 若x 0 则pn qn 若x 1 0 则p3 q3 x3 0 所以p3 q3 p4 q4 4x3 x4 x3 4 x 0 所以p4 q4 猜想当k 3时 pk qk 用数学归纳法证明如下 当k 3时 p3 q3成立 假设当k m时不等式成立 即pm qm 当k m 1时 pm 1 1 x pm 1 x qm 专题一 专题二 即当k m 1时 不等式成立 所以当n 3 且x 1 0 时 pn qn 1 2 3 4 考点 数学归纳法的应用1 2017浙江高考 已知数列 xn 满足 x1 1 xn xn 1 ln 1 xn 1 n n 证明 当n n 时 1 0 xn 1 xn 解 1 用数学归纳法证明 xn 0 当n 1时 x1 1 0 假设n k时 xk 0 那么n k 1时 若xk 1 0 则00 因此xn 0 n n 所以xn xn 1 ln 1 xn 1 xn 1 因此0 xn 1 xn n n 1 2 3 4 2 由xn xn 1 ln 1 xn 1 得 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2015安徽高考 设n n xn是曲线y x2n 2 1在点 1 2 处的切线与x轴交点的横坐标 1 求数列 xn 的通项公式 1 解 y x2n 2 1 2n 2 x2n 1 曲线y x2n 2 1在点 1 2 处的切线斜率为2n 2 从而切线方程为y 2 2n 2 x 1 令y 0 解得切线与x轴交点的横坐标xn 1 2 3 4 1 2 3 4 解 1 f x 的定义域为 f x 1 ex 当f x 0 即x0时 f x 单调递减 故f x 的单调递增区间为 0 单调递减区间为 0 当x 0时 f x f 0 0 即1 x ex 1 2 3 4 下面用数学归纳法证明 当n 1时 左边 右边 2 成立 1 2 3 4 所以当n k 1时 也成立 根据 可知 对一切正整数n都