基本初等函数教案

基本初等函数教案 基本初等函数一【要点精讲】1指数与对数运算 （1）根式的概念定义若一个数的n次方等于a(n?1,且n?N?)，则这个数称a的n次方根。 即若xn?a，则x称a的n次方根n?1且n?N?)，1）当n为奇数时，a的n次方根记作na；2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作?na(a?0)性质1）(na)n?a；2）当n为奇数时，a?a；3）当n为偶数时，na?|a|? （2）幂的有关概念规定1）a n?a?a?a(n?N*；2）a0?1(a?0)；n个3）a?pn n?a(a?0)。 ?a(a?0)1?p(p?Q，4）an?nam(a?0,m、n?N*且n?1)am性质1）a r?as?ar?s(a?0,r、s?Q）；2）(ar)s?ar?s(a?0,r、s?Q）；3）(a?b)r?a r?b r(a?0,b?0,r?Q）。 （注）上述性质对r、s?R均适用。 （3）对数的概念定义如果a(a?0,且a?1)的b次幂等于N，就是a?N，那么数b称以a为底N的对数，记作log aN?b,其中a称对数的底，N称真数1）以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN；2）以无理数e(e?2.71828?)为底的对数称自然对数，log eN，记作ln N；基本性质1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）log a1?0；3）log a a?1；4）对数恒等式alog aNb?N。 运算性质如果a?0,a?0,M?0,N?0,则11）log a(MN)?log aM?log aN；2）log aM?log aM?log aN；N3）log aMn?nlog aM(n?R）换底公式log aN?log mN(a?0,a?0,m?0,m?1,N?0),log manlog a b。 m1）log a b?log b a?1；2）log am bn?2指数函数与对数函数 （1）指数函数定义函数y?a x(a?0,且a?1)称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为(0,?)；3）当0?a?1时函数为减函数，当a?1时函数为增函数。 函数图像1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第 一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当0?a?1时，图象向左无限接近x轴，当a?1时，图象向右无限接近x轴）；3）对于相同的a(a?0,且a?1)，函数y?ax与y?a?x的图象关于y轴对称函数值的变化特征0?a?1x?0时0?y?1，a?1x?0时y?1，x?0时y?1，x?0时y?1x?0时y?1，x?0时0?y?1， （2）对数函数x(a?0,且a?1)称对数函数，定义函数y?log a1）函数的定义域为(0,?)；2）函数的值域为R；3）当0?a?1时函数为减函数，当a?1时函数为增函数；x4）对数函数y?log a x与指数函数y?a(a?0,且a?1)互为反函数2函数图像1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第 一、四象限；2）对数函数都以y轴为渐近线（当0?a?1时，图象向上无限接近y轴；当a?1时，图象向下无限接近y轴）；4）对于相同的a(a?0,且a?1)，函数y?log a x与y?log1x的图象关于x轴对称。 a函数值的变化特征0?a?1a?1时y?0，x?1时y?0，x?1时y?0.0?x?1时y?0，x?1时y?0，x?1x?0时0?y?1. （3）幂函数1）掌握5个幂函数的图像特点2）a0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a0时过（0，0）4）幂函数一定不经过第四象限四【典例解析】题型1指数运算?3?340.532 (3) (5)?(0.008)?(0.02)?(0.32)2?0.06250.25；例1 （1）计算892211 （2）化简a?8a b4b?23ab?a243132323?(a?2323ba?3a2?)?。 53aa?a2184910003426254)?50?()解 （1）原式=()3?()2?(2798101000013471421172?25?(?2)?2?；932995210 （2）原式=a(a)?(2b)(a)?a?(2b)?(2b)132131313213133133?a?2b(a?a)?111a(a2?a3)52313132312?a(a?2b)?131313aa?2b1313?aa5616?a?a?a?a2。 13点评根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。 例2 （1）已知x?x121212?12?3，求x2?x?2?2x?x32?32的值?3解x?x12?3，(x?x)?9，x?2?xx?x?1?1122?9，?7，(x?x?1)2?49，x?x322?2?47，?32又x?x?(x?x)?(x?1?x?1)?3?(7?1)?18，?47?2?3。 18?312?12x2?x?2?2x?x32?32?3点评本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2对数运算 （2）.(江苏省南通市xx届高三第二次调研考试)幂函数y?f(x)的图象经过点(?2,?1)，则满足f(x)278的x的值是.1答案3例3计算 （1）(lg2)?lg2?lg50?lg25； （2）(log32?log92)?(log43?log83)；2lg5?lg8000?(lg23)2 （3）11lg600?lg0.036?lg0.1224解 （1）原式?(lg2)2?(1?lg5)lg2?lg52?(lg2?lg5?1)lg2?2lg5?(1?1)lg2?2lg5?2(lg2?lg5)?2； （2）原式?(lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3?)?(?)?(?)?(?)lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg23lg25lg35?；2lg36lg24? （3）分子=lg5(3?3lg2)?3(lg2)2?3lg5?3lg2(lg5?lg2)?3；分母=(lg6?2)?lg3616?lg6?2?lg?4；100010100?原式=3。 4点评这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧例4设a、b、c为正数，且满足a?b?c222b?c a?c)?log2(1?)?1；a bb?c2)?1，log8(a?b?c)?，求a、b、c的值。 （2）若log4(1?a3a?b?c a?b?c a?b?c a?b?c?log2?log2(?)证明 （1）左边?log2abab （1）求证log2(1?(a?b)2?c2a2?2ab?b2?c22ab?c2?c2?log2?log2?log2?log22?1；ab abab解 （2）由log4(1?b?c b?c)?1得1?4，a a2?3a?b?c?0?2由log8(a?b?c)?得a?b?c?83?4?3由?得b?a?2?由得c?3a?b，代入a?b?c得2a(4a?3b)?0，a?0，4a?3b?0?由、解得a?6，b?8，从而c?10。 点评对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。 题型3指数、对数方程例5(江西师大附中xx届高三数学上学期期中)222?2x?b已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数.2?a （1）求a,b的值；5 （2）若对任意的t?R，不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立，求k的取值范围.?1?b?0,解得b?12?a1?1?2x?1?2?1从而有f(x)?x?1，解得a?2.又由f (1)?f(?1)知?22?a4?a1?a?2x?111 （2）解法一由 （1）知f(x)?x?1?x,22?12?2由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式解 （1）因为f(x)是R上的奇函数，所以f (0)?0,即f(t2?2t)?f(2t2?k)?0等价于f(t2?2t)?f(2t2?k)?f(?2t2?k).因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2?2t?2t2?k.1即对一切t?R有3t2?2t?k?0,从而?4?12k?0,解得k?3?2x?1解法二由 （1）知f(x)?x?1,2?222?2t?2t?1?22t?k?1又由题设条件得2?2t2?k?1?0t?2t?12?22?22222即(22t?k?1?2)(?2t?2t?1)?(2t?2t?1?2)(?22t?k?1)?0得23t2?2t?k?1，因底数21，故3t2?2t?k?013上式对一切t?R均成立，从而判别式?4?12k?0,解得k?.例6（xx广东理7）设a?R，若函数y?e ax?3x，x?R有大于零的极值点，则（B）Aa?3Ba?3Ca?13Da?13【解析】f(x)?3?ae ax，若函数在x?R上有大于零的极值点，即f(x)?3?ae ax?0有正根。 当有f(x)?3?ae ax?0成立时,显然有a?0,此时x?13ln(?)，由x?0我们马上就能得到参数a的范围为a?3.aa点评上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。 题型4指数函数的概念与性质x?1?2e,x2，例7设f(x)?则f(f (2)的值为（）2?log3(x?1)，x?2.A0B1C2D32解C；f (2)?log3(2?1)?1，f(f (2)?2e0?1?2。 e点评利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值?1f(log x)?x?x(a?0,且a?1)试求函数f(x)的单调区间。 a例8已知log a x?t，则x=a t，tR。 解令所以f(t)?a?a即f(x)?a?a?t x?x，（xR）。 6因为f(x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在0，+）上的单调性。 任取x1，x2，且使0?x1?x2，则f(x2)?f(x1)?(ax2?a?x2)?(ax1?a?x1)(ax1?ax2)(1?ax1?x2)?ax1?x2x1x2x1?x2?1，所以f(x2)?f(x1)?0，即f(x)在0，+ （1）当a1时，由0?x1?x2，有0?a?a，a上单调递增。 x1?x2x1x2?1，所以f(x2)?f(x1)?0，即f(x)在0，+ （2）当0 综合所述，0，+是f(x)的单调增区间，（，0）是f(x)的单调区间。 点评求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。 特别是分a?1,0?a?1两种情况来处理。 题型5指数函数的图像与应用例9若函数y?()12|1?x|?m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）Cm1D0 (2)?2x?1?(x?1)，(x?1)画图象可知1m1时，函数y=log ax和y=(1a)x的图象只可能是()14分yo1yxAo1y yo1xBxCo1xD解当a1时，函数y=log ax的图象只能在A和C中选，又a1时，y=(1a)x为减函数。 答案B点评要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性例14设A、B是函数y=log2x图象上两点,其横坐标分别为a和a+4,直线l:x=a+2与函数y=log2x图象交于点C,与直线AB交于点D。 （1）求点D的坐标； （2）当ABC的面积大于1时,求实数a的取值范围解 （1）易知D为线段AB的中点,因A(a,log2a),B(a+4,log2(a+4)，所以由中点公式得D(a+2,log2a(a?4)。 (a?2)2 （2）SABC=S梯形AACC+S梯形CCBB-S梯形AABB=?=log2,a(a?4)其中A,B,C为A,B,C在x轴上的射影。 (a?2)2由SABC=log21,得0 a(a?4)点评解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。 例16已知函数f(x)?log a(ax? （1）求函数f(x)的定义域； （2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性 （3）若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。 解 （1）由ax?a0，x0x?0?x?ax22x)(a?0,a?1为常数）x?01a2得x?ax?x?f(x)的定义域是x?(1,?)。 a2 （2）若a=2，则f(x)?log2(2x?x)9设x1?x2?1，则4(2x1?x1)?(2x2?x2)?2(x1?x2)?(x1?x2)?(x1?x2)2(x1?x2)?1?0?f(x1)?f(x2)故f(x)为增函数。 （3）设x1?x2?1a2则ax1?ax2?1?(ax1?x1)?(ax2?x2)?a(x1?x2)?(x1?x2)?(x1?x2)a(x1?x2)?1?0?ax1?x1?ax2?x2f(x)是增函数，f(x1)f(x2)即log a(ax1?x1)?log a(ax2?x2)联立、知a1，a(1，+)。 点评该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我