高考数学一轮复习 第二十章 计数原理 20.1 两个计数原理、排列与组合课件.ppt

第二十章计数原理 20 1两个计数原理 排列与组合 高考数学 1 分类计数原理 分步计数原理 1 完成一件事有几类办法 各类办法相互独立 每类办法中又有多种不同的方法 则完成这件事的不同方法数是各类办法中不同方法种数的和 这就是分类计数原理 2 完成一件事需要分成n个步骤 每一步的完成有多种不同的方法 则完成这件事的不同方法种数是各步不同的方法种数的乘积 这就是分步计数原理 知识清单 2 分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数 它们的区别在于 分类计数原理与分类有关 各种方法相互独立 用其中任意一种方法都可以完成这件事 分步计数原理与分步有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成了 3 排列 1 定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 排列数定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有不同排列的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用 表示 3 排列数公式 n n 1 n m 1 4 全排列 n个不同元素全部取出的一个排列 叫做n个不同元素的一个全排列 n n 1 n 2 3 2 1 n 于是排列数公式写成阶乘形式为 规定0 1 4 组合 1 定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 2 组合数 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有不同组合个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用表示 3 计算公式 由于0 1 所以 1 5 组合数的性质 1 2 两个基本原理应用的解题策略1 分类计数原理与分步计数原理的区别一个与分类有关 一个与分步有关 在综合运用这两个计数原理时 既要会合理分类 又能合理分步 一般情形是先分类后分步 分类计数原理中无论是哪一类方法都能单独完成这件事 分步计数原理的每一个步骤都依次完成后 这件事才完成 2 计数原理与涂色问题涂色问题是计数原理应用的典型问题 由于涂色本身就是策略的一个运用过程 能较好地考查学生的思维连贯性与敏捷性 加之涂色问题的趣味性 自然成为高考的热点之一 方法技巧 例1如图 要给1 2 3 4 5五块区域分别涂上四种颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须不同颜色 则不同的涂色方法数为 解析解法一 按区域顺序分步涂色 先涂5号区域 有4种不同的涂法 涂剩下的4个区域要分两种情形 若1 3号区域同色 则1 3号区域有3种涂法 此时2 4号区域各有2种涂法 由分步计数原理知有3 2 2 12种涂法 若1 3号区域不同色 则1 3号区域有3 2 6种涂法 此时2 4号区域各只有1种涂法 由分步计数原理知有6 1 1 6种涂法 由分类和分步计数原理知总共有4 12 6 72种不同的涂色方法 解法二 按所用颜色种数分类涂色 第一类 4种颜色全用 则1 3号区域同色 且2 4号区域不同色 或1 3号区域不同色 且2 4号区域同色 故有2 4 3 2 48种不同的涂色方法 第二类 只用3种颜色 则1 3号区域同色 且2 4号区域也同色 故有 24种不同的涂色方法 由分类计数原理知总共有48 24 72种不同的涂色方法 答案72 排列 组合及其应用的解题策略求解排列 组合问题的基本思路是 排组分清 加乘明确 有序排列 无序组合 分类相加 分步相乘 1 简单问题直接法直接列式计算 例2将字母a a b b c c排成三行两列 要求每行的字母互不相同 每列的字母也互不相同 则不同的排列方法共有种 解析从a b c中任选两个排在第一行 有种方法 则另一个字母在第二行有种方法 其余则确定 共有 12种方法 答案12 评析遇到有相同元素的排列问题时 一般应画出图表 这样比较直观 还能避免出现重复计数 2 相邻问题捆绑法在特定条件下 将几个相关元素当成一个元素来考虑 待整个问题排好之后再考虑它们 内部 的排列 它主要用于解决相邻问题 例3用字母a y 数字1 8 9构成一个字符不重复的五位号牌 要求字母a y不相邻 数字8 9相邻 则可构成的号牌个数是 用数字作答 解析先把8 9捆绑 有2种方法 再把它与1排列 有2种排法 此时共有3个空供字母a y插入 有6种方法 故可构成的号牌个数是2 2 6 24 答案24 评析本题考查 相邻 与 不相邻 问题 考查捆绑法和插空法 把相邻元素当成一个元素时 一定要注意这些相邻元素要作全排列 3 相间问题插空法先把一般元素排列好 然后把特定元素插排在它们之间和两端的空中 例4在1 2 3 4 5 6 7的任一排列a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7中 使相邻两数都互质的排列种数为 解题导引把1 3 5 7作全排列 把6插空排好 再把2 4插空排好 用分步计数原理得结论 解析先把数字1 3 5 7作全排列 有 24种排法 再排数字6 由于数字6不与3相邻 在排好的排列中 除去3的左 右2个空隙 还有3个空隙可排数字6 故数字6有3种排法 最后排数字2 4 又数字2 4不与6相邻 故在剩下的4个空隙中排上2 4 有种排法 共有 3 864种排法 答案864 4 多元问题分类法将符合条件的排列分为几类 每一类的排列数较易求出 然后根据分类计数原理求出排列总数 例5方程ay b2x2 c中的a b c 3 2 0 1 2 3 且a b c互不相同 在所有这些方程所表示的曲线中 不同的抛物线共有条 解析a b均不为0 且b取互为相反数的两数时抛物线相同 故分a取1与a不取1两类 a取1时 b2的取值可分为4 9两类 当b2 4和b2 9时 c都有5种情况 此时有2 5 10 种 a不取1时 a有种取法 不妨设a取2 则b2的取值有1 4 9三类 当b2 1时 c有4种取法 当b2 4时 c有4种取法 当b2 9时 c有5种取法 此时有 4 4 5 52 种 故共有10 52 62 种 即不同的抛物线有62条 答案62 5 至少 至多间接法 至少 至多 的排列组合问题需分类讨论 且一般分类的情况较多 所以通常用间接法 即排除法 它适用于反面明确且易于计算的问题 例6从5男2女中选3位代表 至少有1位女同志 分别到3个不同的工厂进行调研 不同的分派方法有种 解析解法一 选出的3位代表为1男2女 则有 5种方法 选出的3位代表为2男1女 则有 20种方法 再将3位代表分配到3个不同的工厂调研 有 6种方法 故分派方法有 5 20 6 150种 解法二 选出的3位代表没有女同志 则有 10种方法 所以选出3位代表 至少有1位女同志的选法有 25种方法 再将3位代表分配到3个不