行列式解法技巧论文.doc

目 录 1 行列式的定义和性质 2 1 1 行列式定义 2 1 2 行列式的性质 2 2 求解行列式的技巧 3 2 1 行列式的常用技巧 3 2 1 1 化三角形解行列式法 4 2 1 2 降阶法 按行 列 展开法 5 2 1 3 递 逆 推公式法 6 2 1 4 利用范德蒙行列式 7 2 1 5 数学归纳法 8 2 1 6 加边法 升阶法 9 2 2 求解行列式的其他技巧 11 2 2 1 拆项法 11 2 2 2 因式分解法 12 参考文献 13 致 谢 14 行列式解法技巧 摘 要 行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一 在数学中 有着广泛的应用 懂得如何计算行列式显得尤为重要 本文先阐述行 列式的基本性质 然后介绍各种具体的方法 最后由行列式与其它知 识的联系介绍其它几种方法 通过这一系列的方法进一步提高我们对 行列式的认识 对我们以后的学习带来十分有益的帮助 关键词 行列式 矩阵 范德蒙行列式 递推法 The calculation method of determinant Abstract Determinant is an basic and important subject in advanced algebra it is very useful in mathematic It is very important to know how to calculate determinant The paper first introduced the basic nature of determinant then introduced some methods Finally with the other determinant of knowledge on the links in several other ways through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinat on our learning will bring very useful help Keywords Determinant matrix Vandermonde Determinant recurrence method 行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要 对行列式进行较深入的认识 本文对行列式的解题技巧进行总结归纳 作为行列式本身而言 我们可以发现它的两个基本特征 当行列式是一个三 角形行列式时 计算将变得十分简单 于是将一个行列式化为三角形行列式便 是行列式计算的一个基本思想 行列式的另一特征便是它的递归性 即一个行 列式可以用比它低阶的一系列行列式表示 于是对行列式降阶从而揭示其内部 规律也是我们的一个基本想法 即递推法 这两种方法也经常一起使用 而其 它方法如 加边法 降阶法 数学归纳法 拆行 列 法 因式分解法等可以 看成是它们衍生出的具体方法 1 行列式的定义和性质 1 1 行列式定义 定义定义 行列式与矩阵不同 行列式是一个值 它是所有不同行不同列的数的 积的和 那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关 逆序数为偶数符号为正 逆序数为奇数 符号为负 例例 1 1 n n Dn 000 0001 0020 0100 计算行列式 解 解 不为零的项一般表示为 故 n D naaaa nnnn 1122 1 2 2 1 nD nn n 1 2 行列式的性质 行列式有如下基本性质行列式有如下基本性质 1 行列式的行列互换 行列式不变 2 互换行 列式中的两行或者两列 行列式反号 3 行列式中某行乘以一个数等于行列式 乘以这个数 4 行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数 加到另外一行或 者列上 行列式不变 5 行列式的某两行或者某两列成比例 行列式为零 6 行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时 行列式可拆另两个 行列式的和 例例 2 2 一个阶行列式 的元素满足则称反n ijn aD 2 1 njiaa jiij 对称行列式 证明 奇阶数行列式为零 证明 证明 由知 即 故行列式可表示为 jiij aa iiii aa niaii 2 1 0 0 0 0 0 321 32313 22312 11312 nnn n n n n aaa aaa aaa aaa D 由行列式的性质 AA 0 0 0 0 1 0 0 0 0 321 32313 22312 11312 321 32313 22312 11312 nnn n n n n nnn n n n n aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa D n n D1 为奇数时 得当n nn DD 因而得0 n D 2 求解行列式的技巧 2 1 行列式的常用技巧 常用的行列式解法技巧包括化三角形解行列式法 降阶法 递 逆 推公 式法 利用范德蒙行列式解行列式法 数学归纳法等等 2 1 1 化三角形解行列式法 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形 其结果为行列式主对角线上 元素的乘积 因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法 化三角形法是将 原行列式化为上 下 三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法 这是计 算行列式的基本方法重要方法之一 因为利用行列式的定义容易求得上 下 三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算 原则上 每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式 但对于阶 数高的行列式 在一般情况下 计算往往较繁 因此 在许多情况下 总是先 利用行列式的性质将其作为某种保值变形 再将其化为三角形行列式 例例 3 3 abbb babb bbab bbba Dn 阶行列式 计算 解 解 这个行列式的特点是每行 列 元素的和均相等 根据行列式的性质 把第 2 3 列都加到第 1 列上 行列式不变 得n abb bab bba bbb bna abbbna babbna bbabna bbbbna D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 000 000 000 1 1 1 n babna ba ba ba bbb bna 例例 4 4 计算行列式 2101044 614753 12402 59733 13211 D 解 解 这是一个阶数不高的数值行列式 通常将它化为上 下 三角行列 式来计算 23 1 32 1 43 1 54 123 1123111231 0010202041 0204100102 0215302153 0022200222 D 43 52 342 1 12 3111231 0204 103041 00 10 200102 001 1200010 0022 200026 52 4 11231 02041 1 2 1 1 6 12 00102 00010 00006 符号说明 2 3 1 表示把第 1 行的 3 倍加到第 2 行上 3 2 1 表示第 3 行减去第 2 行的 2 倍 其他此类符号依此类推 2 1 2 降阶法 按行 列 展开法 降阶法是按某一行 或一列 展开行列式 这样可以降低一阶 更一般地 是用拉普拉斯定理 这样可以降低多阶 为了使运算更加简便 往往是根据行 列式的特点 先利用列式的性质化简 使行列式中有较多的零出现 然后再展 开 例例 5 5 计算行列式 a a a a a Dn 0001 0000 0000 0000 1000 解 解 按第 1 行展开 0001 000 000 000 1 000 000 000 000 a a a a a a a aD n n 222 1 1 1 n a n a n a n a n a nnn a 2 1 3 递 逆 推公式法 递推法是根据行列式的构造特点 建立起与的递推关系式 逐步推 n D 1 n D 下去 从而求出的值 有时也可以找到与 的递推关系 最后利用 n D n D 1 n D n D 得到的值 1 D 2 D n D 用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话 即很 难找出递推关系式 从而不能使用此方法 例例 6 6 计算行列式 1000 000 0010 001 000 n D 解解 将行列式按第展开 有n 21 nnn DDD 112 nnnn DDDD 112 nnnn DDDD 得 nn nnnn DDDDDD 12 2 32 2 1 同理 得 n nn DD 1 所以 1 11 nn n n n D 例例 7 7 计算 ayyy xayy xxay xxxa Dn 解 解 xaxyxy xaxy xa yDya ayyy xayy xxay xxxy ayy xay xxa xxxya D n n 1 01 001 0001 0 0 0 1 1 1 n n xayDya 同理 1 1 n nn yaxDxaD联立解得 yx yx xayyax D nn n 时当yx 121 12 211 2 2 2 1 nn nnn nnn Dax Dx axaxDx ax axDnx axaxanx 2 1 4 利用范德蒙行列式 根据行列式的特点 适当变形 利用行列式的性质 如 提取公因式 互换两行 列 一行乘以适当的数加到另一行 列 去等等 把所求行列式 化成已知的 或简单的形式 其中范德蒙行列式就是一种 这种变形法是计算行列式最常用 的方法 例例 8 8 计算行列式 21 n2 2 1 n 2 2 1 1 n 1 2 2 2 21 2 1 21 111 111 n nn nn nn n xxxxxx xxxxxx xxx D 解 解 把第 1 行的 1 倍加到第 2 行 把新的第 2 行的 1 倍加到第 3 行 以 此推直到把新的第行的倍加到第行 便得范德蒙行列式 1 nn 12 222 12 1 111 12 111 n nij n ij nnn n xxx Dxxxxx xxx 例例 9 9 计算行列式 xyxzyz zyx zyx D 222 解解 运用行列式的性质 对其进行处理 xyzyzxzyzyyzxzxy zyx zyx D zy 22 222 1 3 xzyzxyzxzyzxyyxzyzxyx zyx zyx x 222 222 1 3 yzxzxyxzyzxy 2 1 5 数学归纳法 当 与 是同型的行列式时 可考虑用数学归纳法求之 一般是利 n D 1 n D 用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值 再用数学归纳法给出猜想的证明 因 此 数学归纳法一般是用来证明行列式等式 例例 1010 计算行列式 xaaaaa x x x D nnn 1232 1000 0010 0001 解 解 结合行列式的性质与次行列式本身的规律 可以采用数学归纳法对此 行列式进行求解 当时 2 n 21 2 21 22 2 1 axaxaaxx axa x D 假设时 有 kn kk kkk k axaxaxaxD 1 2 2 1 1 则当时 把按第一列展开 得1 kn 1 k D 11 2 2 1 111 kkk kkk kkk aaxaxaxaxxaxDD 12 111 kk kkk xa xaxa xa 由此 对任意的正整数 有n nnn nn n axaxaxaxD 1 2 2 1 1 2 1 6 加边法 升阶法 加边法 又称升阶法 是在原行列式中增加一行一列 且保持原行列式不 变的方法 它要求 1 保持原行列式的值不变 2 新行列式的值容易计算 根据需要 和原行列式的特点选取所加的行和列 加边法适用于某一行 列 有一个相同 的字母外 也可用于其第 列 行 的元素分别为 n 1 个元素的倍数的情况 例例 1111 计算阶行列式 n n n n n n axaaa aaxaa aaaxa aaaax D 321 321 321 321 解解 1 1 0 0 n n n aa D D 12 1 100 2 1100 100 n i aaa x inx x 第行减第1行 12 1 1 000 000 000 n j n j a aaa x x x x 1 1 n jn j a x x 例例 1212 计算阶行列 其中 2 nn n n a a a a D 1111 1111 1111 1111 3 2 1 12 0 n a aa 解解 先将添上一行一列 变成下面的阶行列式 n D1 n n n a a a D 1110 1110 1110 1111 2 1 1 显然 nn DD 1 将的第一行乘以后加到其余各行 得 1 n D 1 n n a a a D 001 001 001 1111 2 1 1 因 将上面这个行列式第一列加第列的倍 得 0 i a 1 2 nii 1 1 i a 1 1 1 12 2 1 11111111 100 000 100 000 100 000 n i i nn n n a a a DDa a a a 1 2 12 11 00 00 11 1 1 00 nn n ii ii n a a a aa aa a 2 2 求解行列式的其它技巧 学习中还会有其他类型的行列式 下面对一些不是很常用的行列式的解法 如拆项法 因式分解法等进行归纳 2 2 1 拆项法 拆项法是将给定的行列式的某一行 列 的元素写成两数和的形式 再利 用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和 把一个复杂的行列式简化成两 个较为简单的 使