高考数学一轮复习 4.5三角函数的综合应用课件.ppt

课标版理数 4 5三角函数的综合应用 1 当函数y asin x a 0 0 x 0 表示一个振动量时 a叫做 振幅 t 叫做 周期 f 叫做 频率 x 叫做 相位 叫做 初相 2 三角函数模型的应用 1 根据图象建立解析式或根据解析式作出图象 2 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 3 利用收集到的数据作出散点图 并根据散点图进行函数拟合 从而得到函数模型 3 三角函数常与向量知识 其他函数知识 解三角形相结合 4 三角函数的最值求三角函数的最值 除了基本不等式 单调性等方法之外 结合三角函数的特点 还有如下常用方法 1 涉及正 余弦函数以及asin bcos sin 其中tan 都可考虑利用 有界性处理 2 y asin2x bsinxcosx cos2x c型y asin2x bcos2x c sin 2x c 其中tan 再利用有界性处理 3 形如y asin2x bsinx c或y acos2x bcosx c的函数求最值时都可通过 配方来求解 4 sinx cosx sinx cosx在关系式中时 可考虑用换元法处理 如令t sinx cosx 则sinx cosx 把三角问题化归为代数问题解决 5 形如y 的函数的最值可考虑数形结合 常用到直线斜率的几 何意义 1 函数y sinxsin sincos2x的最大值和最小正周期分别为 a 1 b 2 2 c 2 d 答案a y sin2x cos2x sin ymax 1 t 故选a 2 函数y sin x 0 的部分图象如图所示 设p是图象的最高点 a b是图象与x轴的交点 则tan apb a 10b 8c d 答案b如图 过p作pc x轴 垂足为c 设 apc bpc apb y sin x t 2 tan tan 则tan 8 故选b 3 已知函数y 2sin x 00 为偶函数 其图象与直线y 2的交点的横坐标为x1 x2 若 x1 x2 的最小值为 则 a 2 b c d 2 答案ay 2sin x 为偶函数且0 则 所以y 2cos x y 2 2 故y 2与y 2cos x的图象的交点为最高点 于是最小正周期为 所以 所以 2 故选a 4 函数y sinx cosx x 的值域是 答案 2 解析y sinx cosx 2sin x x sin y 2 5 函数f x cos2x 2sinx的值域是 答案解析因为函数f x cos2x 2sinx sin2x 2sinx 1 所以结合二次函数性质可知其值域为 6 已知函数f x 2sin 0 的图象与y轴交于点p 与x轴的相邻两个交点记为a b 若 pab的面积等于 则 答案解析f 0 2sin 2 1 即yp 1 又ab pab的面积等于 1 典例1 1 函数f x sin2x 2sin2x的最大值为 2 函数y sin2x sinx 1的值域是 3 当x 时 函数y 3 cosx 2sin2x的最小值是 最大值是 4 y 的值域是 答案 1 1 2 3 4 4 1 解析 1 f x sin2x 1 cos2x 三角函数的值域与最值 sin 1 当2x 2k k z 即x k k z 时 f x 取得最大值 1 2 令t sinx 则y t2 t 1 t 1 1 y 3 y 3 cosx 2sin2x 2cos2x cosx 1 2 由x 得 1 cosx 当cosx 时 ymin 当cosx 1时 ymax 4 4 由y 可得 1 2y cosx y cosx cosx 1 cos2x 1 1 即3y2 4y 1 0 y 或y 1 故y 的值域为 1 三角函数最值的求法 1 涉及正 余弦函数以及asinx bcosx 利用有界性处理 2 y asin2x bsinx c可利用换元法转化为二次函数 通过配方结合三角函数的有界性求解 3 形如y 的函数问题 一般利用直线的斜率 通过数形结合求解 4 其他常用的方法还有基本不等式法和单调性法等 1 1 1 求函数y 的值域 2 求函数y cos2x sinx cosx的最小值 3 已知函数f x 2asin b的定义域为 函数的最大值为1 最小值为 5 求a和b的值 解析 1 解法一 原函数变形为y 1 cosx 1 y 3或y 所求值域为 3 解法二 显然y 1 原函数整理得cosx cosx 1 1 解得y 3或y 所求值域为 3 2 y cos2x sinx cosx 1 cos2x sin2x sin2x cos2x sin 0 x 2x 当2x 时 ymin 0 3 0 x 2x sin 1 若a 0 则解得若a 0 则解得综上可知 a 12 6 b 23 12或a 12 6 b 19 12 典例2 2014辽宁大连二模 17 12分 已知函数f x sin2x sinx cosx 2cos2x x r 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 且f a 2 1 求函数f x 的单调增区间及其图象的对称中心 2 若a 求 abc面积的最大值 解析 1 f x sin2x 1 cos2x sin 2分 由2k 2x 2k k z 可得函数的单调增区间为 k z 4分 由2x k k z 解得x k z 易得函数图象的对称中心为 三角函数与解三角形交汇问题 k z 6分 2 f a 2 sin 2 sin 0 a 2a 2a a 又a a2 b2 c2 2bc cosa b2 c2 bc 3 bc 3 10分 s abc bc sina bc 当且仅当b c时取等 abc面积的最大值为 12分 以三角形为载体 以三角变换为核心 结合正 余 弦定理考查解三角形是高考的一个热点问题 根据所给式子 三角形的特点合理选择正弦或余弦定理是解题的关键 综合考查学生逻辑分析和计算推理能力 2 1在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 且f a 2cossin sin2 cos2 1 求函数f a 的最大值 2 若f a 0 c a 求b的值 解析 1 f a 2cossin sin2 cos2 sina cosa sin 因为角a为三角形的内角 所以0 a 所以 a 所以当a 即a 时 f a 取得最大值 且最大值为 2 由f a sin 0 得sin 0 因为 a 所以a 0 所以a 又因为c 所以b 所以由正弦定理得 b 3 典例3 2014湖北 17 11分 某实验室一天的温度 单位 随时间t 单位 h 的变化近似满足函数关系 f t 10 cost sint t 0 24 1 求实验室这一天的最大温差 2 若要求实验室温度不高于11 则在哪段时间实验室需要降温 解析 1 f t 10 2 10 2sin 因为0 t 24 三角函数模型的应用 所以 t 11时实验室需要降温 由 1 得f t 10 2sin 故有10 2sin 11 即sin 又0 t 24 因此 t 即10 t 18 故在10时至18时实验室需要降温 解三角函数模型的实际应用问题的一般步骤 1 审题 把问题提供的条件逐条翻译成数学语言 2 建立数学模型 三角函数模型 3 求出三角函数解析式 4 利用三角函数性质解题 并回归实际问题 3 1已知某海滨浴场的海浪高度y 米 是时间t 0 t 24 单位 小时 的函数 记作y f t 下表是某日各时的浪高数据 经长期观测 y f t 的曲线可近似地看成是函数y acos t b a 0 0 的图象 根据以上数据 你认为一日 24小时 内 该海滨浴场的海浪高度超过1 25米的时间为