江苏省泰州市姜堰市2012-2013学年高三（上）期中数学试卷.doc

2012-2013学年江苏省泰州市姜堰市高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在相应位置上1（5分）已知点A（1，1），点B（3，5），则向量的模为2考点：向量的模专题：计算题分析：由题意可得向量的坐标，然后由向量的模长公式可得解答：解：由题意可得：向量的坐标为：=（3，5）（1，1）=（2，4），由模长公式可得：向量的模为=，故答案为：2点评：本题考查向量的模长公式，涉及向量的坐标运算，属基础题2（5分）已知集合M=x|x22x3=0，N=x|4x2，则MN=1考点：交集及其运算专题：计算题分析：通过二次方程求解推出集合M，然后直接求解MN解答：解：因为集合M=x|x22x3=0=1，3，N=x|4x2，所以MN=1故答案为：1点评：本题考查集合的交集的运算，确定集合的公共元素，是求解集合交集的关键3（5分）各项是正数的等比数列an中，a2，a3，a1成等差数列，则数列an公比q=考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式专题：计算题分析：由题意设等比数列an的公比为q（q0），由a2，a3，a1成等差数列可得到关于q的方程，解之即可解答：解：由题意设等比数列an的公比为q（q0），由a2，a3，a1成等差数列可得：a3=a2+a1，即q2q1=0，解得q=或q=（舍去）故答案为：点评：本题为等比数列公比的定义，利用等差数列的定义构造方程并注意公比为正是解决问题的关键，属基础题4（5分）已知函数y=sin（x+）（0，0），且此函数的图象如图所示，则点（，）的坐标是（2，）考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；y=Asin（x+）中参数的物理意义专题：计算题；数形结合分析：结合函数图象求出函数的周期，求出，然后利用图象与x轴的交点，结合的范围求出即可解答：解：由题意可知T=2（）=，所以=2，又因为函数过（）所以0=sin（+），0，所以=点（，）的坐标是（2，）故答案为：（2，）点评：本题考查三角函数的图象，确定y=sin（x+）的参数，是基础题5（5分）已知x1，则x+的最小值为2+1考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：将y=x+化为：y=（x1）+1，然后利用基本不等式解之即可解答：解：x1，y=x+=（x1）+12+1（当且仅当x1=，即x=+1时取得“=”），ymin=2+1故答案为：2+1点评：本题考查基本不等式的应用，y=x+化为：y=（x1）+1是关键，属于基础题6（5分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，则cosB=考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系专题：计算题分析：由a，b及sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b，利用大边对大角得到B小于A，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosB的值解答：解：a=5，由正弦定理=得：sinB=，ab，BA=，则cosB=故答案为：点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键7（5分）若函数f（x）=（x2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为5考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用分析：对函数f（x）=（x2）（x2+c）进行求导，根据函数在x=2处有极值，可得f（2）=0，求出c值，然后很据函数导数和函数切线的斜率的关系即可求解解答：解：函数f（x）=（x2）（x2+c）在x=1处有极值，f（x）=（x2+c）+（x2）2x，f（2）=0，（c+4）+（22）2=0，c=4，f（x）=（x24）+（x2）2x，函数f（x）的图象x=1处的切线的斜率为f（1）=（14）+（12）2=5，故答案为：5点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及函数的导数的求法，属基础题8（5分）已知cos=，cos（）=，且0，则cos=考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系专题：计算题；三角函数的求值分析：通过、的范围，求出的范围，然后求出sin，sin（）的值，即可求解cos解答：解：因为cos=，cos（）=，且0，所以sin=，（0，），sin（）=，cos=cos（）=coscos（）+sinsin（）=故答案为：点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查角的变化技巧，考查计算能力9（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（5）=1考点：函数的值专题：计算题；函数的性质及应用分析：由f（x）=，知f（5）=f（4）f（3）=f（2）=f（1）+f（0）=f（1），由此能够求出结果解答：解：f（x）=，f（5）=f（4）f（3）=f（3）f（2）f（3）=f（2）=f（1）+f（0）=f（0）+f（1）+f（0）=f（1）=log22=1故答案为：1点评：本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用10（5分）已知数列an的前n项和Sn满足Sn+2n=2an，则数列an的通项公式为an=2n+12考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由Sn+2n=2an，知Sn=2an2n当n=1 时，S1=2a12，则a1=2，当n2时，Sn1=2an12（n1），故an=2an1+2，由此能够求出数列an的通项公式an解答：解：Sn+2n=2an，Sn=2an2n，当nN*时，Sn=2an2n，当n=1时，S1=2a12，则a1=2，则当n2，nN*时，Sn1=2an12（n1），得an=2an2an12，即an=2an1+2，an+2=2（an1+2）=2，an+2是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列an+2=42n1，an=2n+12故答案为：an=2n+12点评：本题考查等比数列的证明和求数列an的通项公式an，解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的合理运用11（5分）设函数f（x）=n1，xn，n+1），nN，则方程f（x）=log2x有3个根考点：函数的零点与方程根的关系专题：作图题分析：在同一个坐标系中作出函数f（x）和y=log2x的图象可得公共点的个数，即得方程的根的个数解答：解：由题意在同一个坐标系中作出函数f（x）和y=log2x的图象，（如图）可知两函数的图形仅有A、B、C三个公共点，故方程f（x）=log2x有3个根，故答案为：3点评：本题考查方程根的个数，转化为两函数的公共点利用数形结合是解决问题的关键，属中档题12（5分）已知函数f（x）=x3+2x，对任意的t3，3，f（tx2）+f（x）0恒成立，则x的取值范围是（1，）考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性专题：计算题；函数的性质及应用分析：确定f（x）为单调递增的奇函数，再利用对任意的t3，3，f（tx2）+f（x）0恒成立，建立不等式，即可求x的取值范围解答：解：f（x）=x3+2x，f（x）=x32x，函数是奇函数；f（tx2）+f（x）0，f（tx2）f（x）求导函数可得f（x）=x2+20，函数是R上的增函数tx2xtx2+x0对任意的t3，3，f（tx2）+f（x）0恒成立，1x故答案为：（1，）点评：本题考查恒成立问题，考查学生的计算能力，确定f（x）为单调递增的奇函数是关键13（5分）设等比数列an的公比q1，Sn表示数列an的前n项的和，Tn表示数列an的前n项的乘积，Tn（k）表示an的前n项中除去第k项后剩余的n1项的乘积，即Tn（k）=（n，kN+，kn），则数列的前n项的和是（n+nq）（用a1和q表示）考点：数列的求和专题：新定义；等差数列与等比数列分析：由题设知=，Sn=，故=，由此能求出数列的前n项的和解答：解：等比数列an的公比q1，Sn表示数列an的前n项的和，Tn表示数列an的前n项的乘积，Tn（k）=（n，kN+，kn），=，Sn=，=，数列的前n项的和S=（1+qq1）+（1+qq2q1）+（1+qq3q2）+（1+qqnq1n）=n+nq=（n+nq）故答案为：（n+nq）点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用14（5分）（2012天津模拟）已知函数f（x）的定义域为1，5，部分对应值如下表x1045f（x）1221f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示：下列关于f（x）的命题：函数f（x）是周期函数；函数f（x）在0，2是减函数；如果当x1，t时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点；函数y=f（x）a的零点个数可能为0、1、2、3、4个其中正确命题的序号是考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的周期性；函数的零点；利用导数研究函数的单调性专题：阅读型分析：先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案解答：解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：为假命题函数f（x）不能断定为是周期函数为真命题，因为在0，2上导函数为负，故原函数递减；为假命题，当t=5时，也满足x1，t时，f（x）的最大值是2；为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）a有2个零点，也可以是3个零点为真命题，动直线y=a与y=f（x）图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数y=f（x）a的零点个数可能为0、1、2、3、4个综上得：真命题只有故答案为：点评：本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减二、解答题：本大题共六小题，共计90分请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知各项均不相同的等差数列an的前四项和Sn=14，且a1，a3，a7成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设Tn为数列的前n项和，求T2012的值考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（）设公差为d，由Sn=14，且a1，a3，a7成等比数列，得，由此能求出数列an的通项公式（）由an=n+1，知=，由此能求出T2012的值解答：解：（）设公差为d，Sn=14，且a1，a3，a7成等比数列，（4分）解得d=0（舍）或d=1，所以a1=2，故an=n+1（7分）（）an=n+1，=，所以+=，（12分）所以T2012=（14分）点评：本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化16（14分）已知=（），=（sinx，cosx），设函数f（x）=，x（）求函数f（x）的零点；（）求函数f（x）的最大值和最小值考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数专题：计算题分析：（）直接利用向量的数量积求出函数的表达式，利用函数为0，即可求函数f（x）的零点；（）通过二倍角的余弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，结合x的范围，求出相位的范围，然后求出函数f（x）的最大值和最小值解答：（）解：由题意：函数f（x）=sin2x+sinxcosx，x（1分）令f（x）=0，得 sin2x+sinxcosx=0，所以sinx=0，或tanx=（2分）由sinx=0，x，得x=由tanx=，x，得x=综上，函数f（x）的零点为或 （6分）（）解：函数f（x）=sin2x+sinxcosx=（1cos2x）+sin2x=sin（2x）+ （8分）因为x，所以2x当2x=，即x=时，f（x）的最大值为； （12分）当2x=，即x=时，f（x）的最小值为1+（14分）点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦型函数的图象和性质，根据平面向量的数量积公式和辅助角公式，求出函数的解析式是解答本题的关键17（14分）已知函数g（x）=ax22ax+1+b（a0）在区间2，3上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）（）求实数a，b的值；（）若不等式f（log2k）f（2）成立，求实数k的取值范围；（）定义在p，q上的一个函数m（x），用分法T：p=x0x1xixn=q将区间p，q任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M0，使得和式恒成立，则称函数m（x）为在p，q上的有界变差函数，试判断函数f（x）是否为在1，3上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由（参考公式：+f（xn）考点：函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值专题：函数的性质及应用分析：（I）由已知中g（x）在区间2，3的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值；（）由（1）参数a，b的值，代入可得函数解析式，根据二次函数的图象和性质，可将问题转化为距离Y轴距离远的问题，进而构造关于k的方程求出K值（III）根据有界变差函数的定义，我们先将区间1，3进行划分，进而判断是否恒成立，进而得到结论解答：解：（）函数g（x）=ax22ax+1+b，因为a0，所以g（x）在区间2，3上是增函数，又函数g（x）故在区间2，3上的最大值为4，最小值为1，解得；（5分）（）由已知可得f（x）=g（|x|）=x22|x|+1为偶函数，所以不等式f（log2k）f（2）可化为|log2k|2，（8分）解得k4或0k；（10分）（）函数f（x）为1，3上的有界变差函数因为函数f（x）为1，3上的单调递增函数，且对任意划分T：1=x0x1xixn=3有f（1）=f（x0）f（x1）f（xI）f（xn）=f（3）所以=f（x1）f（x0）+f（x2）f（x1）f（xn）f（xn1）=f（xn）f（x0）=f（3）f（1）=4恒成立，所以存在常数M，使得恒成立（14分）点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值，新定义，其中（1）的关键是分析出函数的单调性，（2）要用转化思想将其转化为绝对值比较大小（3）的关键是真正理解新定义的含义18（16分）（2009浦东新区一模）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（RtFHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上已知AB=20米，米，记BHE=（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）问：当取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度考点：函数模型的选择与应用；正弦函数的定义域和值域专题：应用题分析：（1）由BHE=，H是AB的中点，易得，由污水净化管道的长度L=EH+FH+EF，则易将污水净化管道的长度L表示为的函数（2）若，结合（1）中所得的函数解析式，代入易得管道的长度L的值（3）污水净化效果最好，即为管道的长度最长，由（1）中所得的函数解析式，结合三角函数的性质，易得结论解答：解：（1），（2分）（4分）由于，（5分），（6分）（2）时，（8分）；（10分）（3）=设sin+cos=t则（12分）由于，所以（14分）在内单调递减，于是当时L的最小值米（15分）答：当时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为米（16分）点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型及解三角形，根据已知条件构造出L关于的函数，是解答本题的关键19（16分）已知常数a0，函数（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若0a2，求f（x）在区间1，2上的最小值g（a）；（3）是否存在常数t，使对于任意时，f（x）f（2tx）+f2（t）f（x）+f（2tx）f（t）恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；函数的单调性与导数的关系专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）分段确定函数的单调递增区间，即可得到函数f（x）的单调递增区间；（2）根据函数的通项，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得函数的最小值；（3）由f（x）f（2tx）+f2（t）f（x）+f（2tx）f（t），可得f（t）f（x）f（t）f（2tx）0，从而可得t为极小值点，或t为极大值点，根据，即可求得结论解答：解：（1）当时，为增函数 （1分）当时，f（x）=3x2令f（x）0，得xa或xa（3分）f（x）的增区间为（，a），和（a，+）（4分）（2）函数的图象如图，由图可知，当1a2时，f（x）在区间1，a上递减，在a，2上递增，最小值为f（a）=4a3；（6分）当0a1时，f（x）在区间1，2为增函数，最小值为f（1）=1+3a4；（8分）当a=2时，f（x）在区间1，2为减函数，最小值为f（a）=4a3； （9分）综上，f（x）最小值 （10分）（3）由f（x）f（2tx）+f2（t）f（x）+f（2tx）f（t），可得f（t）f（x）f（t）f（2tx）0，（12分）即或成立，所以t为极小值点，或t为极大值点又时，f（x）没有极大值，所以t为极小值点，即t=a（16分）（若只给出t=a，不说明理由，得1分）点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确理解题意是关键20（16分）已知等比数列an 的首项a1=2011，公比，数列an 前n项和记为sn，前n项积记为（1）证明s2sns1（2）判断与的大小，n为何值时，取得最大值（3）证明an 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d1，d2，d3，dn，证明：数列dn为等比数列（参考数据210=1024）考点：等比数列的性质；数列的应用；等比关系的确定专题：分类讨论分析：（1）由等比数列an 的首项和公比，利用等比数列的前n项和公式表示出数列an 前n项和sn，然后分n为奇数和偶数两种情况即可得到sn的最大值和最小值，得证；（2）由（n）表示前n项之积，表示出，根据n等于10时其值大于1，n等于11时其值小于1，得到|（n）|最大值等于|（11）|，但是（11）小于0，而（10）小于0，（9）大于0，（12）大于0，所以（n）的最大值是（9）与（12）中的较大者，利用做商的方法即可判断出（n）的最大