高考数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.32.3.4 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2.ppt

第二章 2 3直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 3直线与平面垂直的性质2 3 4平面与平面垂直的性质 学习目标 1 理解直线和平面垂直 平面与平面垂直的性质定理 并能用文字 符号和图形语言描述定理 2 会用线面垂直 面面垂直的性质定理证明相关问题 3 理解 平行 与 垂直 之间的相互转化 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一直线与平面垂直的性质定理 答案 平行 a b 思考 1 垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗 答案 答共面 由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的 故能确定一个平面 2 过一点有几条直线与已知平面垂直 答有且仅有一条 假设过一点有两条直线与已知平面垂直 由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行 即无公共点 这与过同一点相矛盾 故只有一条直线 知识点二平面与平面垂直的性质定理 答案 垂直 一个平面内 交线 a a l 思考 1 如果 则 内的直线必垂直于 内的无数条直线吗 答正确 若设 l a b b l 则a b 故 内与b平行的无数条直线均垂直于 内的任意直线 2 如果 过 内的任意一点作 与 交线的垂线 则这条直线必垂直于 吗 答错误 垂直于交线的直线必须在平面 内才与平面 垂直 否则不垂直 线面 答案 返回 题型探究重点突破 题型一直线与平面垂直的性质及应用例1如图 正方体a1b1c1d1 abcd中 ef与异面直线ac a1d都垂直相交 求证 ef bd1 解析答案 反思与感悟 证明如图所示 连接ab1 b1d1 b1c bd dd1 平面abcd ac 平面abcd dd1 ac 又ac bd dd1 bd d ac 平面bdd1b1 又bd1 平面bdd1b1 ac bd1 解析答案 反思与感悟 同理可证bd1 b1c 又ac b1c c bd1 平面ab1c ef a1d a1d b1c ef b1c 又 ef ac ac b1c c ef 平面ab1c ef bd1 反思与感悟 反思与感悟 证明线线平行常有如下方法 1 利用线线平行定义 证共面且无公共点 2 利用三线平行公理 证两线同时平行于第三条直线 3 利用线面平行的性质定理 把证线线平行转化为证线面平行 4 利用线面垂直的性质定理 把证线线平行转化为证线面垂直 5 利用面面平行的性质定理 把证线线平行转化为证面面平行 解析答案 跟踪训练1已知 ab pq 于点q po 于点o or 于点r 求证 qr ab 证明如图 因为 ab po 于点o 所以po ab 因为pq 于点q 所以pq ab 因为po pq p 所以ab 平面pqo 因为or 于点r 所以pq or 因为pq与or确定平面pqro qr 平面pqro ab 平面pqro 所以ab qr 解析答案 题型二平面与平面垂直的性质及应用例2如图 在三棱锥v abc中 平面vab 平面abc vab为等边三角形 ac bc且ac bc o m分别为ab va的中点 1 求证 vb 平面moc 证明 o m分别为ab va的中点 om vb vb 平面moc om 平面moc vb 平面moc 解析答案 2 求证 平面moc 平面vab 证明 ac bc o为ab的中点 oc ab 又 平面vab 平面abc 且平面vab 平面abc ab oc 平面abc oc 平面vab oc 平面moc 平面moc 平面vab 解析答案 反思与感悟 3 求三棱锥v abc的体积 ab 2 oc 1 oc 平面vab 反思与感悟 1 证明或判定线面垂直的常用方法 1 线面垂直的判定定理 2 面面垂直的性质定理 3 若a b a 则b a b为直线 为平面 4 若a 则a a为直线 为平面 2 两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直 方法是在其中一个面内作 找 与交线垂直的直线 解析答案 跟踪训练2如图 在三棱锥s abc中 平面sab 平面sbc ab bc 过点a作af sb 垂足为f 求证 bc sa 证明因为平面sab 平面sbc 平面sab 平面sbc sb af 平面sab af sb 所以af 平面sbc 又因为bc 平面sbc 所以af bc 因为ab bc af ab a 所以bc 平面sab 又因为sa 平面sab 所以bc sa 解析答案 题型三线线 线面 面面垂直的综合应用例3如图 直四棱柱abcd a1b1c1d1中 ab cd ad ab ab 2 ad aa1 3 e为cd上一点 de 1 ec 3 1 证明 be 平面bb1c1c 证明过b作cd的垂线交cd于f 在 bec中 因为be2 bc2 9 ec2 故be bc 由bb1 平面abcd得be bb1 又bb1 bc b 所以be 平面bb1c1c 解析答案 2 求点b1到平面ea1c1的距离 反思与感悟 解三棱锥e a1b1c1的体积 设点b1到平面a1c1e的距离为d 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 反思与感悟 证明线面垂直 一种方法是利用线面垂直的判定定理 另一种方法是利用面面垂直的性质定理 本题已知面面垂直 故可考虑面面垂直的性质定理 利用面面垂直的性质定理 证明线面垂直的问题时 要注意以下三点 1 两个平面垂直 2 直线必须在其中一个平面内 3 直线必须垂直于它们的交线 解析答案 跟踪训练3如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是边长为a的菱形 dab 60 侧面pad为等边三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 证明设g为ad的中点 连接pg bg 如图 因为 pad为等边三角形 所以pg ad 在菱形abcd中 dab 60 g为ad的中点 所以bg ad 又因为bg pg g 所以ad 平面pgb 因为pb 平面pgb 所以ad pb 解析答案 2 若e为bc边上的中点 能否在pc棱上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解当f为pc的中点时 满足平面def 平面abcd 如图 设f为pc的中点 则在 pbc中 ef pb 在菱形abcd中 gb de 而ef 平面def de 平面def ef de e 所以平面def 平面pgb 由 1 得pg 平面abcd 而pg 平面pgb 所以平面pgb 平面abcd 所以平面def 平面abcd 解析答案 解后反思 例4如图 在直四棱柱a1b1c1d1 abcd中 当底面四边形abcd满足什么条件时 有a1c b1d1 注 写出一个你认为正确的条件即可 不必考虑所有可能的情形 返回 条件开放型 解题技巧 解因为bd b1d1 所以要使a1c b1d1 需a1c bd 又因为a1a 平面abcd a1a bd a1a a1c a1 所以bd 平面a1ac 因为ac 平面a1ac 所以ac bd 由以上分析 知要使a1c b1d1 需使ac bd或任何能推导出ac bd的条件 如四边形abcd是正方形 菱形等 解后反思 解后反思 此题是对条件开放的 因此解决此类问题时一般从结论入手 分析得到该结论所需的条件 逐步使问题简化 最终得证 这种解决问题的技巧在今后的学习中经常会用到 注意掌握 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 在空间中 下列命题正确的是 a 垂直于同一条直线的两直线平行b 平行于同一条直线的两个平面平行c 垂直于同一平面的两个平面平行d 垂直于同一平面的两条直线平行 解析a项中垂直于同一条直线的两直线可能平行 异面或相交 b项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交 c项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交 d项正确 d 解析答案 2 关于直线m n与平面 有下列四个命题 若m n 且 则m n 若m n 且 则m n 若m n 且 则m n 若m n 且 则m n 其中真命题的序号是 a b c d d 解析 m n可能异面 相交或平行 m n可能平行 异面或相交 所以 错误 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 3 若平面 平面 平面 平面 则 a b c 与 相交但不垂直d 以上都有可能 d 解析两个平面都垂直于同一个平面 则这两个平面可能平行 也可能相交 故a b c都有可能 故选d 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知a b为直线 为平面 在下列四个命题中 正确的命题是 若a b 则a b 若a b 则a b 若a a 则 若 b b 则 解析由 垂直于同一平面的两直线平行 知 真 由 平行于同一平面的两直线平行或异面或相交 知 假 由 垂直于同一直线的两平面平行 知 真 易知 假 1 2 3 4 5 解析答案 5 如图 在三棱锥p abc内 侧面pac 底面abc