第二节 导数在实际问题中的应用.doc

金太阳新课标资源网 第二节 导数在实际问题中的应用2.2最大值与最小值问题 学习目标1借助函数的图象，直观地理解函数的最大值最小值概念；2弄清函数的最大值最小值与极大值极小值的区别与联系，理解在闭区间上连续的函数必有最大值和最小值，并熟练掌握求解的方法。 学法指导 本节学习要特别注意数形结合思想的运用。通过图像直观理解最大值最小值与极大值极小值的区别与联系；通过例题学习理解解题的一般步骤：确定定义域求导并求出临界点列表展现函数的单调性和极值点借助函数的草图确定可能的最值点比较函数值的大小确定最值。然后通过练习牢固掌握，这是高考重点考察的知识点。 知识点归纳 1如果函数在给定区间上是一条连续不断的曲线，称函数在这个区间上是 ；2如果函数 在闭区间 上是连续函数，那么函数在上必有 ，但在开区间上的连续函数 有最大值和最小值；3闭区间上的连续函数的最大值和最小值必是这个区间内的 ；5求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最大值与最小值的步骤是：（1） ；（2） ； 重难点剖析重点：理解最值的概念；理解闭区间上连续函数必有最大值和最小值；掌握求闭区间上连续开区间上可导函数的最值问题的方法；难点：含参数的最值问题；剖析：1 函数的最值与极值的区别与联系函数的极值表示函数在某一点附近的情况，而函数的最值则表示函数在定义区域上的整体情况。函数在定义区域上的极大值可能不止一个，也可能没有，且函数的极大值不一定比它的极小值大；但函数在其定义区域上的最大值和最小值最多各有一个，且最大值必须是整个定义区域上所有函数值中最大的，最小值必须是整个定义区域上所有函数值中最小的；函数的极值是在局部对函数值的比较，它只能是函数定义区域中的内点，而不能是端点；而最值是在整个定义区域上对函数值的比较，它可以在端点处取得；函数有极值未必有最值，有最值也未必有极值。2 求闭区间上连续，开区间上可导函数区间上的最大值与最小值的步骤：求出函数在内的极值；比较函数的极值与端点处的函数值的大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；特别地，若函数在上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数 在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值。 典例分析 例1设，函数的最大植为1，最小值为，求常数分析：利用导数先求出的最大、小值，再列方程组解之。变式练习求下列函数的最值：（1），（2） 例2 已知函数，对于 定义区域内任意的恒成立，求的取值范围。分析：要使恒成立，只需，接下来求出的最大值即可。变式练习已知函数，若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围 基础训练 1已知在区间上的最小值为，则的值为_；2已知函数，若，则的最大值为_；3函数，且在区间1，2上的最小值为0，则的最大值为_；4当半径为的球的内接圆锥的体积最大时，高为_；5某工厂需要围一个面积为立方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其它三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为；6设函数为奇函数，图像在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。 （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。 能力提高 1如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值2已知定义在正实数集上的函数，其中，设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同。（1）用表示 ,并求的最大值；（2）求证： 学后反思 参考答案：例1：解：，令得：或，如下表：极大值极小值由上表可看出：与中有一个为最小值，与中有一个为最大值。因为，所以，所以，解得：，。变式练习1：（1）解： 令 得：因为：（2）答案：。例：解：令，令得：，易得：时，所以：变式练习：解：是偶函数，由对称性可知：对恒成立对恒成立。当时，对恒成立，所以，在上增。，；当时，令得：，易得：由得：。综上所述：的取值范围是。基础训练：、；、；、；、；、米、米；、解：（）为奇函数，依题意：，且慢，（），令得：，或时，；时，。的单调递增区间是：和，单调递减区间是：。由上面的结论可知：的单调递减，的单调递增，又，。能力提高：、解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为（II）记，则令，得因为当时，；当时，所以是的最大值因此，当时，也取得最大值，最大值为即梯形面积的最大值为、解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即