2019届高三数学复习--立体几何与空间向量--空间几何体、空间中的位置关系(含答案)

实用精品文献资料分享 20192019 届高三数学复习届高三数学复习 立体几何与空间向量立体几何与空间向量 空间几何体 空间中空间几何体 空间中 的位置关系 含答案 的位置关系 含答案 第 12 讲 空间几何体 空间中的位置关系 1 1 2018 全国卷 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 构件的凸出部分叫榫头 凹 进部分叫卯眼 图 M4 12 1 中木构件右边的小长方体是榫头 若如图 摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体 则咬合时带卯眼 的木构件的俯视图可以是 图 M4 12 1 图 M4 12 2 2 2013 全国卷 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 画该四面体三 视图中的正视图时 以 zOx 平面为投影面 则得到的正视图可以为 图 M4 12 3 试做 命题角度 由直观图求三视图的问题 关键一 注意正视图 侧视图 和俯视图的观察方向 关键二 注意看到的轮廓线和棱是实线 看不 到的轮廓线和棱是虚线 2 2017 全国卷 某多面体的三视图如图 M4 12 4 所示 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组 成 正方形的边长为 2 俯视图为等腰直角三角形 该多面体的各个面 中有若干个是梯形 这些梯形的面积之和为 A 10 B 12 C 14 D 16 图 M4 12 4 试做 命题角度 与三视图有关的几何体的表面积和体积问题 1 关键一 由三视图想象几何体的结构特征 并画出该几何体的空间图形 关键 二 搞清楚几何体的尺寸与三视图尺寸的关系 关键三 利用外部补 形法 将几何体补成长方体或正方体等常见几何体 2 看三视图时 需注意图中的虚实线 3 求不规则几何体的表面积和体积时 通常 将所给几何体分割为基本的柱 锥 台体 3 1 2018 全国卷 已知圆锥的顶点为 S 母线 SA SB 所成角的余弦值为 SA 与圆锥底面 所成角为 45 若 SAB 的面积为 5 则该圆锥的侧面积为 2 2018 全国卷 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 AB BC 2 AC1 与平 面 BB1C1C 所成的角为 30 则该长方体的体积为 A 8 B 6 C 8 D 8 试做 命题角度 空间几何体的面积与体积 1 求规则几 何体的体积 只需确定底面与相应的高 而求一些不规则几何体的体 实用精品文献资料分享 积往往需采用分割或补形思想 转化求解 2 求组合体的表面积时 需注意组合体衔接部分的面积 分清侧面积和表面积 4 1 2017 全国卷 如图 M4 12 5 在下列四个正方体中 A B 为正方体的两个 顶点 M N Q 为所在棱的中点 则在这四个正方体中 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 A B C D 图 M4 12 5 2 2016 全国卷 是两个平面 m n 是两条直线 有下列四个 命题 如果 m n m n 那么 如果 m n 那么 m n 如果 m 那么 m 如果 m n 那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 其中 正确的命题有 填写所有正确命题的编号 试做 命题角 度 空间中线面位置关系的判定 关键一 逐个寻找反例作出否定的 判断 逐个进行逻辑证明作出肯定的判断 关键二 结合长方体模型 或实际空间位置作出判断 但要注意准确应用定理 考虑问题全面细 致 5 1 2018 全国卷 设 A B C D 是同一个半径为 4 的球的球 面上四点 ABC 为等边三角形且其面积为 9 则三棱锥 D ABC 体积 的最大值为 A 12 B 18 C 24 D 54 2 2016 全国卷 在封 闭的直三棱柱 ABC A1B1C1 内有一个体积为 V 的球 若 AB BC AB 6 BC 8 AA1 3 则 V 的最大值是 A 4 B C 6 D 试做 命题角度 多面体与球 1 解决与球有关的组合体问题 关键一 分清球是内切还是外接 关键二 确定球心在多面体中的位 置 确定球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系 关键三 球 的每个截面都是圆 2 设正四面体的棱长为 a 则其外接球的半径 R a 内切球的半径 r a 6 2018 全国卷 已知正方体的棱长为 1 每条棱所在直线与平面 所成的角都相等 则 截此正方体所得 截面面积的最大值为 A B C D 试做 命题角度 解决 平面截正方体所形成的图形问题 关键一 根据已知条件确定所求平 面或与所求平面平行的平面 关键二 根据平面特点利用数形结合思 想确定截面形状 7 1 2018 全国卷 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 AB BC 1 AA1 则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 A B C D 2 2017 全国卷 已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中 ABC 120 AB 2 BC CC1 1 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦 实用精品文献资料分享 值为 A B C D 试做 命题角度 解决异面直线所成角问题 1 关键一 先通过作图 三角 形中位线 平行四边形补形 来构造平行线 再通过解三角形求解 关键二 补形法 补成长方体 正方体 求解 2 当异面直线所成角 为 时 两异面直线互相垂直 3 用空间向量法解决 小题 1 空间几 何体的三视图与直观图 1 1 如图 M4 12 6 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 E F G 分别为棱 CD CC1 A1B1 的中点 用过点 E F G 的 平面截正方体 则位于截面以下部分的几何体的侧视图为 A B C D 图 M4 12 6 图 M4 12 7 2 已知某几何体的三视图 如图 M4 12 8 所示 则该几何体最长棱的长为 图 M4 12 8 A B C D 2 听课笔记 考场点拨 识别三视图应注意以下几方 面 1 看线型 是线段 虚线还是曲线 确定此几何体是简单多面体 还是旋转体 2 分部分 想整体 看是简单几何体还是组合体 3 对 比一些熟悉的三视图模型分析 如正方体 圆锥 三棱锥的三视图模 型 自我检测 1 某几何体的正视图与俯视图如图 M4 12 9 则 其侧视图可能是 图 M4 12 9 A B C D 图 M4 12 10 2 某 几何体的三视图如图 M4 12 11 所示 则此几何体的各个面中最大面 的面积为 A 2 B 2 C 3 D 2 图 M4 12 11 3 2018 北京卷 某四棱锥的三视图如图 M4 12 12 所示 在此四棱锥的侧面中 直角三 角形的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 图 M4 12 12 4 如图 M4 12 13 所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 P 为 BD1 的中点 则 PAC 在该正方体各个面上的射影可能是 图 M4 12 13 图 M4 12 14 A B C D 小题 2 空间几何体的表面积与体积 2 1 已知矩形 ABCD 中 AB 2BC 把这个矩形分别以 BC AB 所在直线为轴旋转一周 所成几何体的侧面 积分别记为 S1 S2 则 S1 与 S2 的比值为 A B 1 C 2 D 4 2 在三棱锥 D ABC 中 CD 底面 ABC ABC 为正三角形 若 AE CD AB CD AE 2 则三棱锥 D ABC 与三棱锥 E ABC 的公共部分构 成的几何体的体积为 A B C D 听课笔记 考场点拨 高考中求几何体的表面积和体积易失分点 1 计算表 面积时 有些面没有计算到 有遗漏 2 求组合体的表面积时没注意 实用精品文献资料分享 重合部分的面积 自我检测 1 某几何体的三视图如图 M4 12 15 所示 则该几何体的表面积为 图 M4 12 15 A 12 8 B 12 6 C 14 6 D 16 8 2 在三棱柱 ABC A1B1C1 中 D E 分别为棱 BC A1C1 的中点 过 A D E 的截面把三棱柱分成两部分 则这两部分的体积之 比为 A 5 3 B 2 1 C 17 7 D 3 1 3 九章算术 是我 国古代数学名著 它在几何学中的研究比西方早一千多年 例如 堑 堵 指的是底面为直角三角形 且侧棱垂直于底面的三棱柱 阳马 指的是底面为矩形 一侧棱垂直于底面的四棱锥 如图 M4 12 16 所示 在 堑堵 ABC A1B1C1 中 AC BC A1A AB 2 当堑堵 ABC A1B1C1 的侧面积 取得最大值时 阳马 B A1ACC1 的体积为 图 M4 12 16 A B C 4 D 小题 3 多面体与球 角度 1 外接球问题 3 在矩形 ABCD 中 AB 4 BC 3 将 ABC 沿 AC 折起 当平面 ABC 平面 ACD 时 四面体 ABCD 的外接球的体积是 A B C D 听课笔 记 考场点拨 解决多面体的外接球问题 关键是确定球心位置 方法是先选择多面体中的一面 确定此面多边形外接圆的圆心 再过 此圆心作垂直于此面的垂线 则球心一定在此垂线上 最后根据其他 顶点情况确定球心的准确位置 对于特殊的多面体还可以通过补成正 方体或长方体的方法找到球心位置 自我检测 1 在三棱锥 S ABC 中 SB BC SA AC SB BC SA AC AB SC 且三棱锥 S ABC 的体 积为 则该三棱锥的外接球半径是 A 1 B 2 C 3 D 4 2 设 直三棱柱 ABC A1B1C1 的所有顶点都在一个球面上 且球的表面积是 40 若 AB AC AA1 BAC 则此直三棱柱的高是 角 度 2 内切球问题 4 设正三棱锥 P ABC 的高为 H 且此三棱锥内切球 的半径为 R 若二面角 P AB C 的正切值为 则 A 5 B 6 C 7 D 8 听课笔记 考场点拨 解决多面体的内切球问题 一般 是将多面体分割为以球心为顶点 多面体的各面为底面的棱锥 利用 多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径 自我 检测 1 在三棱锥 P ABC 中 侧棱 PA PB 2 PC 当三棱锥 P ABC 的三个侧面的面积之和最大时 三棱锥 P ABC 内切球的表面积是 A 32 8 B 32 16 C 40 8 D 40 16 2 已知圆 锥的高为 3 侧面积为 20 若此圆锥内有一个体积为 V 的球 则 V 的 实用精品文献资料分享 最大值为 小题 4 空间线面位置关系的判断 角度 1 线面 位置关系 5 1 已知直线 l m 平面 且 l m 给出下列 说法 若 则 l m 若 则 l m 若 l m 则 若 l m 则 其中正确说法的序号是 A B C D 2 如图 M4 12 17 在正方形 ABCD 中 E F 分别是 AB BC 的中点 G 是 EF 的中点 沿 DE EF FD 将正方形 折起 使 A B C 重合于点 P 构成四面体 则在四面体 P DEF 中 给出 下列结论 PD 平面 PEF PD EF DG 平面 PEF DF PE 平面 PDE 平面 PDF 其中正确结论的序号是 图 M4 12 17 A B C D 听课笔记 考场 点拨 判断空间点 线 面的位置关系 主要依赖于四个公理 平行 关系和垂直关系的有关定义及定理 具体处理时可以构建长方体或三 棱锥等模型 把要考查的点 线 面融入模型中 使判断简洁明了 如 要否定一结论 只需找到一个反例即可 自我检测 1 已知 是两个不同的平面 l 是一条直线 给出下列说法 若 l 则 l 若 l 则 l 若 l 则 l 若 l 则 l 其中正确说 法的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 2 若 l m 为两条不同的直线 为一个平面 且 l 则 m 是 m l 的 A 充分 不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条 件 角度 2 异面直线所成的角 线面角 6 1 已知 ABC 与 BCD 均为正三角形 且 AB 4 若平面 ABC 与平面 BCD 垂直 且异面直线 AB 与 CD 所成的角为 则 cos A B C D 2 已知三 棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱与底面垂直 体积为 底面是边长为 的正三 角形 若 P 为底面 A1B1C1 的中心 则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 A B C D 听课笔记 考场点拨 1 求异面直线所 成的角 一般是通过平移构建三角形求解 要注意异面直线所成的角 是锐角或直角 若计算出钝角 其补角才是异面直线所成的角 2 求 直线与平面所成角的关键是过直线上一点作出这个平面的垂线 进而 直线与直线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角 3 当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系 利用向量求解 实用精品文献资料分享 自我检测 1 如图 M4 12 18 所示为一个半圆柱 ADE 是等腰直 角三角形 F 是线段 CD 的中点 AB 4 该半圆柱的体积为 18 则异面 直线 AB 与 EF 所成角的正弦值为 图 M4 12 18 A B C D 2 在四边形 ABCD 中 AD AB 2 CD CB 且 AD AB 现将 ABD 沿 BD 翻折到 A BD 的位置 则在 ABD 折起至与平面 BCD 重合的过程中 直线 A C 与平面 BCD 所成角最大时的正弦值为 A B C D 角度 3 截面问题 7 1 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中 E 为棱 AD 的中点 过点 B1 且与平面 A1BE 平行的截面面积为 A 5 B 2 C 2 D 6 2 已知棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中 球 O 与该正方体的各面都相切 则平面 ACD1 截此球所得的截面面积为 A B C D 听课笔记 考场点拨 几何体截面面积问题 关键 是确定截面图形的位置 形状 所经过的点 截面面积根据有关数量 进行计算 自我检测 1 已知一个棱长为 2 的正方体被一个平面 截后所得几何体的三视图如图 M4 12 19 所示 则该截面的面积为 A B 4 C 3 D 图 M4 12 19 2 过半径为 4 的球 O 表面上一点 A 作 球 O 的截面 若 OA 与该截面所成的角为 30 则该截面的面积是 模块四 立体几何与空间向量 第 12 讲 空间几何体 空间中的位 置关系 典型真题研析 1 1 A 2 A 解析 1 卯眼的空间立体 图如图 同时需要注意 在三视图中看不见的线用虚线表示 故选 A 2 在空间直角坐标系 O xyz 中画出三棱锥 由已知可知三棱锥 O ABC 为题中所描叙的四面体 而其在 zOx 平面上的投影为正方形 EBDO 故 选 A 2 B 解析 该几何体为一个三棱柱和一个三棱锥的组合体 其直观图如图所示 各个面中有两个全等的梯形 其面积之和为 2 2 12 3 1 40 2 C 解析 1 设圆锥的底面圆的半径为 r 因为 SA 与圆锥底面所成角为 45 所以 SA r 由 cos ASB 得 sin ASB 所以 SA SB sin ASB r r 5 所以 r2 40 所以圆锥的侧面积为 r2 40 2 如图 连接 BC1 易知 AC1B 即为 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角 由题易知 AC1B 30 易得 AC1 2AB 4 设 BB1 h 则有 42 22 22 h2 解得 h 2 所以该长方体 的体积 V 2 2 2 8 4 1 A 2 解析 因为 M N Q 分别为对应棱的中点 所以在选项 B C 中均有 AB MQ 在选项 D 中 实用精品文献资料分享 有 AB NQ 所以在选项 B C D 中均有 AB 与平面 MNQ 平行 所以选 A 2 对于 m n m n 则 的位置关系无法确定 故错 误 对于 因为 n 所以可过直线 n 作平面 与平面 相交于 直线 c 则 n c 因为 m 所以 m c 所以 m n 故正确 对于 由两个平面平行的性质可知其正确 对于 由线面所成角的定义和 等角定理可知其正确 故正确的有 5 1 B 2 B 解析 1 由题易知当点 D 到平面 ABC 的距离最大时 三棱锥 D ABC 的体积 最大 S ABC AB2 9 AB 6 设 ABC 的中心为 M 由等边三角 形的性质得 AM BM CM 2 设球心为 O 则 OA OB OC 4 OM 2 点 D 到平面 ABC 的距离的最大值为 OM 4 6 故三棱锥 D ABC 体积 的最大值为 9 6 18 2 当球与三侧面相切时 设球的半径为 r1 AB BC AB 6 BC 8 8 r1 6 r1 10 解得 r1 2 不合题意 当 球与直三棱柱的上 下底面相切时 设球的半径为 r2 则 2r2 3 即 r2 球的体积 V 的最大值为 6 A 解析 平面 与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等 只需与过同一顶点的三 条棱所成的角相等即可 如图 AP AR AQ 则平面 PQR 与正方体过点 A 的三条棱所成的角相等 若点 E F G H M N 分别为相应棱的中点 易 证得平面 EFGHMN 平行于平面 PQR 且六边形 EFGHMN 为正六边形 正 方体棱长为 1 所以正六边形 EFGHMN 的边长为 可得此正六边形的 面积为 而在四个选项中 选项 B C D 中的值都小于 所以选 A 7 1 C 2 C 解析 1 方法一 以 D 为坐标原点 DA DC DD1 所 在直线分别为 x y z 轴建立空间直角坐标系 如图所示 则 A 1 0 0 D1 0 0 B1 1 1 所以 1 0 1 1 所以 cos 所以异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 方法二 如图 在 长方体 ABCD A1B1C1D1 的面 ABB1A1 的一侧再补填一个完全一样的长 方体 ABC2D2 A1B1B2A2 连接 AB2 B2D1 易知 AB2 DB1 所以异面直 线 AD1 与 DB1 所成的角即为 AD1 与 AB2 所成的角 因为 AB BC 1 AA1 所以 AD1 2 AB2 B2D1 在 AB2D1 中 cos D1AB2 所以异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 2 方 法一 建立如图所示的空间直角坐标系 则 A 2 0 0 B 0 0 0 B1 0 0 1 C1 所以 2 0 1 故异面直线 AB1 与 BC1 所成角 实用精品文献资料分享 的余弦值 cos 方法二 如图 将该直三棱柱补充成直四 棱柱 其中 CD AB 且 CD AB 则可得 AB1 DC1 且 AB1 DC1 图中 BC1D 即为异面直线 AB1 与 BC1 所成的角或所成角的补角 在 BC1D 中 BC1 DC1 BD 所以 cos BC1D 故异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 考点考法探究 小题 1 例 1 1 C 2 B 解析 1 取 AA1 的中点 H 连接 GH 则 GH 为过点 E F G 的平面 与平面 A1B1BA 的交线 延长 GH 交 BA 的延长线于点 P 连接 EP 交 AD 于点 N 连接 HN 则 NE 为过点 E F G 的平面与平面 ABCD 的交线 同理 连接并延长 EF 交 D1C1 的延长线于点 Q 连接 GQ 交 B1C1 于点 M 连接 FM 则 FM 为过点 E F G 的平面与平面 BCC1B1 的交线 所以 过点 E F G 的平面截正方体所得的截面为图中的正六边形 EFMGHN 故可得位于截面以下部分的几何体的侧视图为选项 C 中的图 故选 C 2 根据三视图作出几何体的直观图如图所示 可计算得 PB PD BC PC 故该几何体最长棱的长为 自我检测 1 B 解析 由 俯视图与正视图可知 该几何体是一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余的 部分 因此其侧视图是矩形且内部有一条虚线 虚线靠近矩形的左边 部分 只有选项 B 符合题意 故选 B 2 B 解析 由三视图可得 该 几何体为如图所示的三棱锥 A1 BCD 结合三视图中的数据可得 S BCD 22 2 2 2 2 2 2 故此几何体的各个 面中最大面的面积为 2 故选 B 3 C 解析 由三视图可得该几何 体的直观图如图所示 且 PD 平面 ABCD PAD 和 PDC 均为直角 三角形 又 PD AB AB AD PD AD D AB 平面 PAD AB PA PAB 为直角三角形 故选 C 4 A 解析 从上下 方向看 PAC 的射影为图 所示的情况 从左右方向看 PAC 的射 影为图 所示的情况 从前后方向看 PAC 的射影为图 所示的情 况 故选 A 小题 2 例 2 1 B 2 B 解析 1 设 BC a AB 2a 则 S1 2 2a a S2 2 a 2a 1 故选 B 2 根据题意画出如图 所示的几何体 三棱锥 D ABC 与三棱锥 E ABC 的公共部分构成的几 何体为三棱锥 F ABC ABC 为正三角形 AB 2 S ABC 2 2 CD 底面 ABC AE CD CD AE 2 四边形 AEDC 为 矩形 则 F 为 EC 与 AD 的中点 三棱锥 F ABC 的高为 CD 1 三 实用精品文献资料分享 棱锥 F ABC 的体积 V 1 故选 B 自我检测 1 A 解 析 根据三视图可得 该几何体为如图所示的四棱锥 E DD1C1C 则该 几何体的表面积 S 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 4 8 12 8 2 C 解析 根据题中的条件可知 截面与 B1C1 的交点为靠近 C1 的四等分点 所以该截面将三棱柱分成了一个 三棱台和一个几何体 设三棱柱的体积 V Sh 而三棱台的体积 V1 h Sh 所以几何体的体积 V2 V 所以所得的两部分的体积之比为 17 7 故选 C 3 A 解析 根据题意 设 AC x BC y 则有 x2 y2 4 堑 堵 ABC A1B1C1 的侧面积 S 侧 2 x y 2 4 2 x y 4 2 4 4 当 且仅当 x y 时取等号 此时阳马 B A1ACC1 的体积 V AC CC1 BC 2 故选 A 小题 3 例 3 C 解析 设 矩形 ABCD 的对角线 AC BD 的交点为 O 由矩形的性质结合题意可知 OA OB OC OD 在翻折过程中 OA OB OC OD 的长度不变 据此 可知点 O 为四面体 ABCD 外接球的球心 外接球的半径 R OA 外 接球的体积 V R3 自我检测 1 C 解析 取 SC 的中点 O 连接 OA OB 则 OA OB OC OS 即 O 为三棱锥的外接球球 心 设外接球的半径为 r 则 2r r2 r 3 故选 C 2 2 解 析 设 AB AC AA1 a 球的半径为 R 由题意知 BAC 外接圆的半径为 a 4 R2 40 R2 10 又 R2 a2 10 a 2 故直三棱柱的 高是 2 例 4 C 解析 取线段 AB 的中点 D 设 P 在底面 ABC 内 的射影为 O 连接 PD OD 设 AB a 则 OD a a 易知 PDC 为二面 角 P AB C 的平面角 tan PDC PD 6OD a 设三棱锥的表面积 为 S 体积为 V 则 V SR 即 a2H R 化简得 7 自我检 测 1 D 解析 其中一个侧面的面积 S PAB PA PB sin APB 2sin APB 要使此面积最大 则 APB 90 同 理可知 当 PA PB PC 两两垂直时 三棱锥 P ABC 的三个侧面的面积之 和最大 设三棱锥的内切球的球心为 O 则 O 到三棱锥的四个面的距 离与球的半径 r 相等 因为 PA PB 2 PC 所以 BC AC AB 2 可得 ABC APC APB BPC 的面积分别为 4 2 所以 V 三棱锥 P ABC 4 2 r 2 解得 r 2 所以内切球的表面积 S 40 16 2 解析 设圆锥的母线长为 l 底面圆的半径为 实用精品文献资料分享 r 则 rl 20 即 rl 20 又 l2 r2 9 所以 l 5 r 4 当球的体积最 大时 该球为圆锥的内切球 设内切球的半径为 R 则 5 5 8 R 3 8 故 R 所以 Vmax 小题 4 例 5 1 B 2 C 解析 1 由 l l 而 m 所以 l m 正确 l m 时 l m 的位置关系不确定 不正确 由 l l m m 而 m 所以 正确 l m l m 时 的位置关系不确定 不正确 故选 B 2 构成的四面体如图所示 因为 DA AE DC CF 所以折叠后 DP PE DP PF 又 PE PF P 所以 DP 平面 PEF 所以 正确 由 DP 平面 PEF EF 平面 PEF 可知 DP EF 所以 正确 因为 DP 平 面 PEF 且过一点有且只有一条直线垂直于一个平面 所以 DG 平面 PEF 是不正确的 所以 不正确 连接 PG 由题意知 PG EF 且 PE EG 所以 PE PF 又 PE DP DP PF P 所以 PE 平面 DPF 又因为 DF 平面 DPF 所以 PE DF 所以 正确 因为 PE 平面 DPF 且 PE 平面 PDE 所以平面 PDE 平面 DPF 所以 正确 综上可知 正确结 论的序号为 故选 C 自我检测 1 C 解析 若 l 则 l 或 l 不正确 若 l 则 l 或 l 不正确 若 l 则 l 正确 若 l 则 l 或 l 或 l 与 相交 不正确 故 选 C 2 A 解析 由 l 且 m 能推出 m l 充分性成立 若 l 且 m l 则 m 或 m 必要性不成立 因此 m 是 m l 的充分不必要条件 故选 A 例 6 1 D 2 B 解析 1 方 法一 取 BC 的中点 O 连接 AO DO 正三角形 ABC 与正三角形 BCD 所在平面互相垂直 AO OD 分别取 BD AD 的中点 M N 连接 MN OM ON 则 MN AB OM CD 则 OMN 为异面直线 AB 与 CD 所成的角 易 得 MN OM 2 ON 在 OMN 中 由余弦定理得 cos OMN 即 cos 方法二 如图所示 取 BC 的中点 O 连接 AO DO 正三角形 ABC 与正三角形 BCD 所在平面互相垂直 AO BC BC OD AO DO 以 O 为原点 OD OC OA 所在直线分别为 x y z 轴 建立如图所示的空 间直角坐标系 则 A 0 0 2 B 0 2 0 C 0 2 0 D 2 0 0 0 2 2 2 2 0 故 cos cos 2 取 实用精品文献资料分享 B1C1 的中点 D 连接 A1D 则由题易知点 P 在 A1D 上 AA1 底面 A1B1C1 APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成的角 又平面 ABC 平面 A1B1C1 APA1 的大小等于 PA 与平面 ABC 所成角的大小 2 AA1 AA1 解得 AA1 又 P 为正三角形 A1B1C1 的中心 A1P A1D 1 在 Rt AA1P 中 tan APA1 APA1 故选 B 自我检测 1 B 解析 设底面半圆的半 径为 r 由 4 18 得 r 3 易得 DE 3 DF 2 DF DE 所以 EF 又 AB CD 所以异面直线 AB 与 EF 所成的角为 EFD 易知 sin EFD 2 D 解析 设 AC 与 BD 交于点 O 因为 AB AD CB CD 所以 AC BD 因此在翻折过程中 A C 在平面 BCD 内的 射影在直线 CO 上 所以 A CO 是直线 A C 与平面 BCD 所成的角 由 已知可得 OA OA OC 2 在 A OC 中 设 A C x 则由余弦定理得 cos A CO 因为 x 0 所以 2 当且仅当 x 时取等号 此 时 A CO 最大 且 sin A CO 例 7 1 C 2 D 解析 1 取 BC 的中点 M A1D1 的中点 N 则四边形 B1MDN 即为所求的截面 根 据正方体的性质 可得 MN 2 B1D 2 易知四边形 B1MDN 为菱形 所以其面积 S 2 2 2 故选 C 2 由题知 ACD1 是边长为 2 的等边三角形 所以所求截面为 ACD1 的内切圆 可得截面圆的半径 为 所以截面圆