高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时 直线与平面垂直课件 新人教B版必修2.pptVIP

第1课时直线与平面垂直 第一章1 2 3空间中的垂直关系 学习目标1 理解直线与平面垂直的定义及性质 2 掌握直线与平面垂直的判定定理及推论 并会利用定理及推论解决相关的问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一直线与平面垂直的定义及性质 1 直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或相交于一点 并且交角为 则称这两条直线互相垂直 经过平移后 直角 垂线 任意一条 ab 垂面 任何直线都垂直 垂足 垂线段 距离 2 直线与平面垂直的定义及性质 知识点二直线和平面垂直的判定定理及推论 将一块三角形纸片abc沿折痕ad折起 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 bd dc与桌面接触 观察折痕ad与桌面的位置关系 思考1折痕ad与桌面一定垂直吗 答案不一定 思考2当折痕ad满足什么条件时 ad与桌面垂直 答案当ad bd且ad cd时 折痕ad与桌面垂直 梳理直线与平面垂直的判定定理及推论 相交 m n 平行 同一个 l m m 思考辨析判断正误 1 若直线l 平面 则l与平面 内的直线可能相交 可能异面 也可能平行 2 若直线l与平面 内的无数条直线垂直 则l 3 若a b b 则a 题型探究 例1如图 已知pa垂直于 o所在的平面 ab是 o的直径 c是 o上任意一点 求证 bc 平面pac 类型一直线与平面垂直的判定 证明 证明 pa 平面abc pa bc 又 ab是 o的直径 bc ac 而pa ac a bc 平面pac 引申探究若本例中其他条件不变 作ae pc交pc于点e 求证 ae 平面pbc 证明 证明由例1知bc 平面pac 又 ae 平面pac bc ae pc ae 且pc bc c ae 平面pbc 反思与感悟利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤 1 在这个平面内找两条直线 使它和这条直线垂直 2 确定这个平面内的两条直线是相交的直线 3 根据判定定理得出结论 跟踪训练1如图 直角 abc所在平面外一点s 且sa sb sc 点d为斜边ac的中点 1 求证 sd 平面abc 证明 证明因为sa sc d为ac的中点 所以sd ac 在rt abc中 ad dc bd 又因为sb sa sd sd 所以 ads bds 所以sd bd 又ac bd d 所以sd 平面abc 2 若ab bc 求证 bd 平面sac 证明 证明因为ba bc d为ac的中点 所以bd ac 又由 1 知sd 平面abc 所以sd bd 于是bd垂直于平面sac内的两条相交直线 所以bd 平面sac 类型二线面垂直的性质的应用 例2如图所示 在正方体a1b1c1d1 abcd中 ef与异面直线ac a1d都垂直相交 求证 ef bd1 证明 证明如图 连接ab1 b1c bd b1d1 dd1 平面abcd ac 平面abcd dd1 ac 又ac bd dd1 bd d ac 平面bdd1b1 ac bd1 同理 bd1 b1c bd1 平面ab1c ef a1d 且a1d b1c ef b1c 又 ef ac ac b1c c ef 平面ab1c ef bd1 反思与感悟平行关系与垂直关系之间的相互转化 跟踪训练2如图 已知平面 平面 l ea 垂足为a eb 垂足为b 直线a a ab 求证 a l 证明因为ea l 即l 所以l ea 同理l eb 又ea eb e 所以l 平面eab 因为eb a 所以eb a 又a ab eb ab b 所以a 平面eab 因此 a l 证明 证明 类型三线面垂直的综合应用 例3如图所示 已知pa 矩形abcd所在平面 m n分别是ab pc的中点 求证 mn cd 证明如图 取pd的中点e 连接ae ne 因为n为pc的中点 所以am ne am ne 即四边形amne是平行四边形 所以mn ae 因为pa 矩形abcd所在平面 所以pa cd 又四边形abcd为矩形 所以ad cd 又pa ad a 所以cd 平面pad ae 平面pad 所以cd ae 所以mn cd 反思与感悟若已知一条直线和某个平面垂直 证明这条直线和另一条直线平行 可利用线面垂直的性质定理 证明另一条直线和这个平面垂直 证明时注意利用正方形 平行四边形及三角形中位线的有关性质 跟踪训练3如图 abc是正三角形 ae和cd都垂直于平面abc 且ae ab 2a cd a f是be的中点 求证 1 df 平面abc 证明 证明取ab的中点g 连接fg cg cd 平面abc ae 平面abc cd ae fg cd fg cd fg 平面abc 四边形cdfg是矩形 df cg 又 cg 平面abc df 平面abc df 平面abc 2 af bd 证明在rt abe中 ae ab f为be的中点 af be abc是正三角形 cg ab df ab ae 平面abc cg 平面abc ae cg ae df 且ae ab a df 平面abe af 平面abe af df be df f be 平面bde df 平面bde af 平面bde af bd 证明 达标检测 答案 1 如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况 能保证该直线与平面垂直的是 三角形的两边 梯形的两边 圆的两条直径 正六边形的两条边 a b c d 1 2 3 4 5 解析 解析由线面垂直的判定定理知 直线垂直于 图形所在的平面 而 图形中的两边不一定相交 故该直线与它们所在的平面不一定垂直 2 空间中直线l和三角形的两边ac bc同时垂直 则这条直线和三角形的第三边ab的位置关系是a 平行b 垂直c 相交d 不确定 1 2 3 4 5 答案 解析由于直线l和三角形的两边ac bc同时垂直 而这两边相交于点c 所以直线l和三角形所在的平面垂直 又因三角形的第三边ab在这个平面内 所以l ab 解析 1 2 3 3 下列条件中 能使直线m 平面 的是a m b m c b c b m b b c m b a b d m b b 4 5 解析 解析由直线与平面垂直的判定定理的推论1知 选项d正确 答案 1 2 3 4 5 4 如图 设平面 ef ab cd 垂足分别是b d bd ef 则ac与ef的位置关系是 解析 解析 ab cd ab cd 故直线ab与cd确定一个平面 ab ef ab ef 又bd ef ab bd b ef 平面abdc ac 平面abdc ac ef 答案 垂直 5 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱ab bc的中点 o是底面abcd的中心 求证 ef 平面bb1o 证明 abcd为正方形 ac bo 又 bb1 平面abcd ac 平面abcd ac bb1 又 bo bb1 b ac 平面bb1o 又ef是 abc的中位线 ef ac ef 平面bb1o 证明 1 2 3 4 5 1 直线与平面