解析几何精编讲义2018北京.doc

一、直线与方程基础：1、直线的倾斜角： 2、直线的斜率：；注意：倾斜角为90的直线的斜率不存在。3、直线方程的五种形式：点斜式：；斜截式：；一般式：；截距式：；两点式：注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。4、两直线平行与垂直的充要条件：，； .5、相关公式：两点距离公式：，；中点坐标公式：，则线段的中点；点到直线距离公式： ，则点到直线的距离；两平行直线间的距离公式：，则平行直线与之间的距离；到角公式：（补充）直线到直线的角为，则 .（两倾斜角差的正切）二、直线与圆，圆与圆基础：1、圆的标准方程：；确定圆的两个要素：圆心，半径；2、圆的一般方程：，（）；3、点与圆的位置关系：点在圆内 ；点在圆上 ；点在圆外 ；4、直线与圆的位置关系：从几何角度看：令圆心到直线的距离为，相离；相切；相交；若直线与圆相交于两点，则弦长；从代数角度看：联立与圆，消去（或）得一元二次方程，相离；相切；相交；相交时的弦长 .5、圆与圆的位置关系： 相离，外切，相交，内切，内含 .圆；圆，根据这三个量之间的大小关系来确定：，；相离；外切；相交；内切；内含；6、两圆；圆若相交，则相交弦所在的直线方程的求法：交轨法： 式式，整理化简即可得到相交弦所在直线方程 .三、椭圆：1、（第一）定义：；2、椭圆标准方程及离心率：焦点在轴上的椭圆标准方程为：；长半轴；：短半轴；半焦距 .椭圆中，的关系：；椭圆的离心率 .3、弦长公式：直线与椭圆交于两点，则相交时的弦长 .弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。4、中点弦结论（点差法）：椭圆上的两点，弦的中点，则 .5、焦点三角形面积：椭圆的两个焦点分别为、，点是椭圆上除左、右端点外的一点，令，则： .该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。6、直线与椭圆位置关系：联立与椭圆，消去（或）得一元二次方程，相离；相切；相交；7、与点坐标相关的面积公式：，点，不在一条直线上，则：.该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。四、双曲线：（类比椭圆来学习双曲线）1、定义：；2、双曲线标准方程及离心率、渐近线方程：焦点在轴上的双曲线标准方程为：；实半轴；：虚半轴；半焦距 .双曲线中，的关系：；双曲线的离心率 ；焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为；焦点到渐近线的距离 .焦点在轴上的双曲线相关性质可以类比。3、弦长公式：直线与双曲线交于两点，则相交时的弦长 .4、中点弦结论（点差法）：双曲线上的两点，弦的中点，则 .5、焦点三角形面积：双曲线的两个焦点分别为、，点是双曲线上除左、右端点外的一点，令，则： .6、直线与双曲线位置关系：当直线与双曲线的其中一条渐近线重合时，显然直线与双曲线无交点；当直线与双曲线的其中一条渐近线平行时，有且仅有一个交点，此时联立直线方程与双曲线方程，会得到一个一次方程（二次项系数为0）；当直线与双曲线的渐近线既不平行也不重合时，此时联立直线方程与双曲线方程，消去（或）得一元二次方程，相离；相切；相交；五、抛物线：1、定义： （到定点的距离等于到定直线的距离的这样的点的轨迹即为抛物线）.抛物线图12、标准方程：（开口朝右的抛物线，开口朝其它方向的抛物线方程及其它性质可以类比。）焦点，准线，离心率.3、常见性质： 普通的弦长公式：直线与抛物线相交于两点，则相交时的弦长 .抛物线图2过焦点的特殊弦长公式及与：（i）若弦过焦点，则弦长 （为倾斜角）；（ii）， .过抛物线的顶点作两条互相垂直的射线、分别与抛物线交于两点，弦与轴交于点，则，即：. 反之亦然，即：若，则.4、抛物线中过焦点弦的其它性质（补充，作为了解,切记不能死记硬背。如死记硬背，如下知识点不如不用掌握。可以尝试证明。）设是过抛物线焦点的弦，如图（抛物线图2），则：；以为直径的圆与准线相切；以或为直径的圆与轴相切 .5、直线与抛物线的位置关系：若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则有一个交点；若直线与抛物线的对称轴不平行，也不垂直，则根据判别式的符号来确定交点个数；若直线与抛物线的对称轴垂直，画图数形结合很容易判断交点个数。六、圆锥曲线的统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为定值，这样的点的轨迹为圆锥曲线。（i）若，轨迹为椭圆 .例如：定点为左焦点，定直线为左准线，离心率；（ii）若，轨迹为抛物线 .（iii）若，轨迹为双曲线 .七、圆锥曲线（椭圆与双曲线、圆）的第三定义到两定点,的斜率之积为定值 .例如：椭圆，左、右端点，椭圆上除左、右端点外任意一点，则 .八、椭圆、双曲线及抛物线的光学性质 .圆锥曲线大题常见题型（归纳总结）：题型一、求点的轨迹问题：常见方法：直接法：（设出所求点，根据题意列出等式，建立起与的关系。） 如椭圆的标准方程的求出，本身就是利用这种方法。几何定义法：根据题意画出图形，通过已知条件及所学知识（如三角形中位线、圆与圆内切与外切，直线与圆相切的等价条件）得出所求点满足圆的几何定义或椭圆、双曲线、抛物线的定义，从而求出点的轨迹方程；伴随动点转化法： 该类题型的特征往往是： 其中一个动点如点的轨迹方程是已知的，另有一个定点或多个定点，所求动点与定点和动点有着一定关系。这时只需这么做：根据已知条件得出：，代入到点的轨迹方程中，从而建立起与的关系，求出点的轨迹方程 . 交轨法： 如求两圆相交时的相交弦所在的直线方程，采用的就是这种方法。相交弦的两个端点同时在两个圆上，将这两个圆的方程相减，进行整理即得到所求直线方程 .交轨法常用于解决两动曲线交点的轨迹方程问题。通过消参来求点的轨迹方程。 参数方程法：求动点的轨迹方程，有时直接不能看出与的关系，但是设其中一个中间变量为，发现根据题目已知，能很好的建立起与和与的关系，即：，然后通过消去参数建立起与的关系从而求出点的轨迹方程 .题型二：直线与圆锥曲线的位置关系，相交弦长及最值问题通常的方法就是联立+韦达，结合弦长公式，将弦长表示为斜率的函数，结合均值不等式来求最值。在运用韦达定理时，如何表示，以及呢？因为交点也在直线上，故：，代入表示成与和相关.要注意：直线的斜率不存在的情况需单独讨论；验证判别式；题型三： 圆锥曲线中的恒过定点、定值问题直线或圆、椭圆恒过定点问题通常是先求出所求的曲线，一般都带有参数。如直线方程中带一个参数，就很容易找出定点。 但一般情况下，可能刚开始需设两个参数，然后求出曲线方程，灵活利用已知条件，最终的曲线方程是只含一个参数的情况。定值问题的求解思路，往往是：分析出一个点是哪两条曲线的交点，就联立哪两条曲线方程，用所设参数表示出动点或动直线，动中自有定数。无论怎样，“联立+韦达”的方法在解题时大量被应用到。解圆锥曲线综合题注意三个关键：分析相关点是由哪两种曲线相交得到的，就联立对应的这两种曲线方程 . 这里的曲线指广义上的曲线，包括直线 ；见到“，”这五个典型的“韦达特征式”，就要想到“联立+韦达”的数学方法（即联立直线方程与曲线方程，结合韦达定理）； 点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程 .只要掌握这三个关键，运用于圆锥曲线综合题解题中，结合基础知识，就一定能解决绝大部分圆锥曲线综合题（适用于北京地区） .题型一 定点定值问题例1、（北京实战高考P116，第18） 恒过定点问题已知为椭圆的右顶点，是椭圆上不同的两点（均异于点），且满足直线与直线斜率之积为 .（1）求椭圆的离心率及焦点坐标；（2）试判断直线是否过定点 . 若是，求出定点坐标；若不是，说明理由 .总结：直线恒过定点问题，通常是直线方程中含有一个参数。 本题中，设直线方程时我们设为，这里带两个参数与，建立与的线性关系，本质上这条直线就只含一个参数了 .针对性练习：（2018东城一模）已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上不同于点的两点，且直线，的斜率之积等于 . 试问直线是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由 .例2：（北京高考实战P148第19）已知椭圆的离心率为，且经过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，连接，并延长，分别交直线于，两点，设，分别为点，的纵坐标，且，证明：直线经过定点 .例3：温习2018海淀一模 题型：定值问题已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，设与平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴正半轴交于，两点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）判断的值是否为定值 . 并证明你的结论 .总结：定值问题的解题思路通常是将所求表达式表示为只含一个变量的表达式，利用已知条件最后相消是定值 .针对性练习：2、（北京实战高考P38第19题）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在椭圆上 .（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点 ，交直线于点，设，求证：为定值 .3、（北京实战高考P140第19题）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上 .（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，则是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交于两点、（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由 .例4： （北京实战高考P98）已知椭圆过点，且离心率 .（1）求椭圆的方程；（2）是否存在菱形，同时满足下列三个条件：点在直线上；点，在椭圆上；直线的斜率等于1 .如果存在，求出点坐标；如果不存在，说明理由 .总结：探索存在性问题，整体解题思路是：先假设符合条件的量存在，若能根据已知条件求出来，并符合题意，则存在； 若求不出来，或者求出来与已知和常理矛盾，则不存在 .例5：面积最值问题：（2016北京朝阳期末）已知圆的切线与椭圆相交于，两点 .（1）求椭圆的离心率；（2）求证：；（3）求面积的最大值 .总结: 面积最值问题的解题思路是：将面积表示为关于一个变量的函数，最后利用均值不等式或二次函数知识来求面积最值 . （其它省份可能会借助导数知识来求最值.）针对性练习：5、（2018朝阳二模）已知抛物线 .（1）写出抛物线的准线方程，并求出抛物线的焦点到准线的距离；（2）过点且斜率存在的直线与抛物线交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为 .（i）求点的坐标；（ii）求与面积之和的最小值 .北京五年高考：6、（2017北京）（北京高考实战P11）已知抛物线过点 . 过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，其中为原点 .（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点 .7、（2016北京高考）已知椭圆的离心率为，的面积为 .（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点 . 求证：为定值 .8、（2015北京高考）已知椭圆的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点 .（1）求椭圆的方程，并求点的坐标（用表示）；（2）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点 .问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由 .9、（2014高考）已知椭圆 .（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论 .10、（2013北京高考）已知，是椭圆上的三个点，是坐标原点 .（1）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由 .11、 （2015东城二模）（北京实战高考P107）12、（2015海淀二模）（北京实战高考P113）已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点 .（1）求圆和椭圆的方程；（2）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴的两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于两点，求证：为定值 .13、（2016朝阳二模）（北京实战高考P86）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为 .（1）求椭圆的离心率；（2）若直线与轴、轴分别相交于、两点，试求面积的最小值；（3）设椭圆的左、右焦点分别为，点与点关于直线对称，求证：、三点共线 . 14、15、（北京实战高考P71第19）面积最值问题16、（北京实战高考P74第19）面积最值问题17、（北京实战高考P155第19）定值问题18. （2017西城一模）19. （2017朝阳一模）20、（北京实战高考P65,第19，2016朝阳一模）21、（2017高二上人大附期中压轴题）已知，圆 .（I） 若圆为圆的内接正的内切圆，其中为圆与轴的左交点，求圆的半径；（II）若圆内含于圆，过点作圆的两条切线交圆于、两点 ，求证：直线的斜率为定值 .22、（2012北京）已知曲线， .（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点，求证：，三点共线 .23、（2018中关村三模）已知椭圆，椭圆短轴长为，且椭圆过点，（I）求椭圆的方程；（II）直线与椭圆相交于，两点，请问在椭圆上是否存在点，使得四边形为矩形，若存在，求出矩形的面积；若不存在，请说明理由 .24、（2018中国人民大学附中高三考前热身练习）已知椭圆的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为 .（I）求椭圆的标准方程及焦点坐标；（II）过椭圆长轴上任意一点（不含端点）作轴的垂线，交椭圆于，两点，过椭圆上不同于点，的任意一点，作直线、分别交轴于、两点 . 求证：点、的横坐标之积为定值