天津科技大学线性代数试题库.doc

2010-2011学年第二学期本科试卷 学 院: 专 业: 学号: 姓名: 装订线 学院课程名称:线性代数(A)题号一二三四五六七八九十总成绩核分人得分阅卷人复核人得分一、填空题（共15分，每小题3分）1.设a，b为实数，则当 a= 0 ,且b= 0 时，.（难度系数0-0.1）2. n阶行列式A的第i行各元素与第j行对应元素的代数余子式的乘积之和= . （难度系数0-0.1）3.=， 则= （难度系数0-0.1）4.设三阶矩阵，三维列向量，已知与线性相关，则a= -1 （难度系数0.1-0.2）5.设四阶矩阵A相似于B，A的特征值为2，3，4，5，E为四阶单位矩阵，则= （难度系数0.2-0.4）得分二、选择题（共15分，每小题3分）1. 设行列式,则n不可以取下面的值是 （ A ）. （难度系数0.1-0.2）(A) 7； (B) 2 n -1 (C) 2 n；(D) 17.2. 设为阶方阵，满足等式，则必有（B ）. （难度系数0-0.1）(A)；(B)；(C)； (D) 3.已知矩阵为3阶非0矩阵，且满足，则 ( D ）. （难度系数0.1-0.2）(A)t=6时，p的秩必为1； (B) t=6时，p的秩必为2；(C) 时，p的秩必为2； (D). 时，p的秩必为14.设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于( B ). （难度系数0.1-0.2）(A) ；(B) ；(C)；(D) 5.设均为n维列向量，A是矩阵，下列选项正确的是 ( A ). （难度系数0.4-0.6 ）(A) 若线性相关，则线性相关； (B) 若线性相关，则线性无关；(C) 若线性无关，则线性相关；(D) 若线性无关，则线性相关得分三、（7分）设求解：（难度系数0-0.1）所以（3分）（5分）=（7分）得分四、（9分）已知（难度系数0.1-0.2 ）解：（2分）（5分）（8分）所以 （9分）得分五、（12分）解线性方程组的通解。（难度系数0-0.1）解：. （6分） 原方程可化为,令,得原方程组的一个特解.（8分）对应齐次方程组的基础解系为,（10分）所以原方程组的通解为.（12分）得分六、（10分）用施密特正交化方法把向量组 ，规范正交化. （难度系数0.1-0.2)解：先正交化,得:,（6分）再单位化,得:,（9分）即为所求（10分）得分七、（10分）设有向量组（难度系数0-0.1)求它的秩和该向量组的一个极大无关组,并将其余向量表示为最大无关组的线性组合.解： （6分）所以向量组的秩为2,为它的一个极大无关组,.（10分）得分八、（9分）判断矩阵是否可对角化,若能,求出相似变换矩阵,将其对角化. （难度系数0.2-0.4)解：.因此A的特征值为,.（3分）对于特征值,解齐次线性方程组得一个基础解系为对于特征值,解齐次线性方程组得一个基础解系（6分）因此A可对角化,且令,则（9分）得分九、（7分）设向量是齐次线性方程组的一个基础解系,向量不是齐次线性方程组的解,即证明：向量组线性无关.（难度系数0.2-0.4）证明：设有一组数使得 (1)由于是齐次线性方程组的解,所以 (i=1,2,t),用A左乘(1),则有 （2分）即,而,所以而由(1) 式整理可得:所以,而是齐次线性方程组的一个基础解系,从而线性无关,所以（5分）又,所以（6分）从而向量组线性无关. （7分）得分十、(6分) 证明：矩阵A是正交阵的充要条件是，且时，;时，.（难度系数0.4-0.6